求解線性方程組

求解線性方程組第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六§1引言與預備知識第七章解線性代數方程組的直接法一、引言線性方程組的來源線性方程組的分類線性方程組的兩類解法：

1、直接法

2、迭代法二、向量和矩陣(略)第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六三、特殊矩陣對角矩陣三對角矩陣上三角矩陣Hessenberg陣對稱矩陣埃爾米特矩陣對稱正定矩陣正交矩陣酉矩陣初等置換陣置換陣第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六定理1設A∈Rnⅹn,A非奇異?…?定理2若A∈Rnⅹn對稱正定矩陣，則?…?定理3若A∈Rnⅹn對稱矩陣，則對稱正定矩陣<=…?定理4(若當標準型)…其中對角化的條件：1）…；2）….第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六求解§1高斯消去法高斯消去法：思路首先將A化為上三角陣，再回代求解。=第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六消元記Step1：設，計算因子將增廣矩陣第i行mi1

第1行，得到其中Stepk：設，計算因子且計算共進行？步n

1主元第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六回代定理若A的所有順序主子式均不為0，則高斯消元無需換行即可進行到底，得到唯一解。注：事實上，只要A

非奇異，即A1

存在，則可通過逐次消元及行交換，將方程組化為三角形方程組，求出唯一解。第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六§2高斯消去法一、高斯消去法設有線性方程組：AX=b一般地,順序高斯消去法:第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六（1）消元過程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到第二步：若用…….……第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第n-1步：……（2）回代過程若則第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六說明:

若線性方程組的系數矩陣非奇異，則它總可以通過帶行交換的高斯消去法進行求解。定理7.1可以通過高斯消去法求解.(2)系數矩陣非奇異，總可以通過帶行交換的高斯消去法進行求解。列主元高斯消去法的必要性,簡例:(1)第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六算法.第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六二、矩陣的三角分解下面建立高斯消去法與矩陣的因式分解的關系.第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六課堂練習第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六§3高斯主元素消去法例3’采用3位十進制，用消元法求解

解法1：第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六解法2：全主元消去法;列主元消去法.第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六一、全主元消去法第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六首先選取系數矩陣中絕對值最大的元素作為主元素重復上述過程，設已完成第k-1步的選主元素，交換兩行及兩列，消元計算得：第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第k步選主元素，交換行列，消元計算；最后將原方程化為回代求解選主元計算量太大第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六二、列主元消去法設有線性方程組：AX=b第一步:先在A的第一列選取絕對值最大的元素作主元素,然后交換第1行和第i1行(當i1≠1時),再進行第1次消元.第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六……第k步選主元素,然后交換第k行和第ik行(當ik≠k時),再進行第k次消元.……第n-1步第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六回代求解算法(列主元消去法).……第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六下面用矩陣描述列主元消去法見課后習題8第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六說明:

L,U,Ip的存貯.第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六二、高斯—若當消去法第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六算法(高斯—若當消元法).第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例4采用高斯—若當消去法求矩陣的逆A-1.第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六選主元消去法例：單精度解方程組/*精確解為和*/8個8個用高斯消元法計算：8個小主元可能導致計算失敗。第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六

全主元消去法每一步選絕對值最大的元素為主元素，保證。Stepk:①選取②Ifik

k

then交換第k行與第ik

行;Ifjk

k

then交換第k列與第jk

列;③消元注：列交換改變了xi

的順序，須記錄交換次序，解完后再換回來。列主元消去法省去換列的步驟，每次僅選一列中最大的元。第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例：注：列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。例：注意：這兩個方程組在數學上嚴格等價。標度化列主元消去法對每一行計算。為省時間，si

只在初始時計算一次。以后每一步考慮子列中最大的aik

為主元.注：穩(wěn)定性介于列主元法和全主元法之間。第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六高斯-若當消去法與高斯消元法的主要區(qū)別：

每步不計算mik

，而是先將當前主元akk(k)

變?yōu)?;把akk(k)

所在列的上、下元素全消為0;不需要回代。第38頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六運算量由于計算機中乘除運算的時間遠遠超過加減運算的時間，故估計某種算法的運算量時，往往只估計乘除的次數，而且通常以乘除次數的最高次冪為運算量的數量級。高斯消元法:Stepk：設，計算因子且計算共進行n

1步(nk)次(nk)2

次(nk)次(nk)(nk+2)

次消元乘除次數：1次(ni+1)次回代乘除次數：高斯消元法的總乘除次數為，運算量為級。第39頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六全主元消去法:比高斯消元法多出比較，保證穩(wěn)定，但費時。列主元消去法:比高斯消元法只多出比較，略省時，但不保證穩(wěn)定。標度化列主元消去法

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