線性代數(shù)第2講 行列式的計(jì)算,克萊姆法則

線性代數(shù)第2講行列式的計(jì)算,克萊姆法則4/22/20231編輯ppt例1

上三角行列式(i>j時(shí),aij=0)這是因?yàn)樯先切辛惺降霓D(zhuǎn)置是下三角行列式.4/22/20232編輯ppt例2計(jì)算4階行列式解4/22/20233編輯ppt4/22/20234編輯ppt4/22/20235編輯ppt例34/22/20236編輯ppt4/22/20237編輯ppt例4行列式D=的元素滿足aij=-aji(i,j=1,2,...,n),就稱(chēng)D是反對(duì)稱(chēng)行列式,證明奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式的值為零.

證設(shè)將D轉(zhuǎn)置再每一行都乘-1.4/22/20238編輯ppt4/22/20239編輯ppt例5證明證把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得4/22/202310編輯ppt例6計(jì)算n階行列式解把各列都加到第一列,提出第一列的公因子[x+(n-1)a],然后將第一行乘-1分別加到其余各行,D就化為上三角行列式.4/22/202311編輯ppt4/22/202312編輯ppt例8證明范德蒙行列式4/22/202313編輯ppt例如4/22/202314編輯ppt證用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階范德蒙行列式成立,證明對(duì)n階范德蒙行列式結(jié)論也成立.在Vn中,從第n行起,依次將前一行乘-x1加到后一行,得4/22/202315編輯ppt按第一列展開(kāi),并分別提取公因子,得4/22/202316編輯ppt根據(jù)歸納假設(shè)可得結(jié)論.4/22/202317編輯ppt1.3克萊姆(Cramer)法則4/22/202318編輯ppt定理(Cramer法則)設(shè)線性齊次方程組或簡(jiǎn)記為4/22/202319編輯ppt其系數(shù)行列式則方程組(1.23)有唯一解4/22/202320編輯ppt其中Dj是用常數(shù)項(xiàng)b1,b2,...,bn替換D中第j列所成的行列式,即4/22/202321編輯ppt證先證(1.25)是方程組(1.23)的解,根據(jù)(1.26)式,其中Akj是系數(shù)行列式中元素akj的代數(shù)余子式.將4/22/202322編輯ppt得4/22/202323編輯ppt證解的唯一性,設(shè)c1,c2,...,cn是一組解,即在上面n個(gè)等式兩端,分別依次乘A1j,A2j,...,Anj,然后再把這n個(gè)等式的兩端相加,得4/22/202324編輯ppt上式左端除cj的系數(shù)為D外c1,...,cn的系數(shù)全為零,右端等于Dj,因此Dcj=Dj,故分別取j=1,2,...,n就證明了解的唯一性.4/22/202325編輯ppt推論1若齊次線性方程組推論2齊次線性方程組4/22/202326編輯ppt用Cramer法則求解系數(shù)行列式不等于零的n元非齊次線性方程組,需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式,它的計(jì)算工作量很大.實(shí)際上關(guān)于數(shù)字系數(shù)的線性方程組(包括系數(shù)行列式等于零及方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)不相同的線性方程組)的解法,一般都采用第2章中介紹的高斯消元法.Cramer法則主要是從理論上具有重要意義,特別是它明確地揭示了方程組的解和系數(shù)之間的關(guān)系.4/22/202327編輯ppt例1

已知三次曲線y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四個(gè)點(diǎn)x=1,x=2處的值為:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)=-6,試求其系數(shù)a0,a1,a2,a3.

解將三次曲線在4點(diǎn)處的值代入其方程,得到關(guān)于a0,a1,a2,a3的非齊次線性方程組4/22/202328編輯ppt它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式4/22/202329編輯ppt4/22/202330編輯ppt4/22/202331編輯ppt所以a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1,即所求的三次曲線方程為

f(x)=8-x-2x2+x3.

由上述解題過(guò)程可知,過(guò)n+1個(gè)x坐標(biāo)不同的點(diǎn)(xi,yi),i=1,2,...,n+1,可以唯一地確定一個(gè)n次曲線的方程y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.4/22/202332編輯ppt例2求四個(gè)平面aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一點(diǎn)的充分必要條件.

解把平面方程寫(xiě)成

aix+biy+ciz+dit=0,

其中t=1,于是四個(gè)平面交于一點(diǎn),即x,y,z,t的齊次線性方程組4/22/202333編輯ppt有唯一的一組非零解(x0,y0,z0,1),