初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程分析

初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程分析

初中學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知特點(diǎn)、年齡特征決定其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有自身的發(fā)展規(guī)律和模式.初中數(shù)學(xué)教學(xué)要有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就必須在充分分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各種因素的基礎(chǔ)上，針對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)業(yè)績具有影響力的本質(zhì)因素進(jìn)行教學(xué).學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知心理特征和由不同性質(zhì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容所決定的不同學(xué)習(xí)方式，是影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最本質(zhì)的因素.本文擬就初中學(xué)生的認(rèn)知心理和知識結(jié)構(gòu)兩方面，對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程作一些初步分析.一、從認(rèn)知心理角度分析初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段（一）感知階段初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，首先是對當(dāng)前所學(xué)知識的存在背景、描述知識的語言符號、說明知識的幾何圖形等材料直接感知；其次是在感知過程中，對反映知識各個方面屬性的特征進(jìn)行選擇、過濾，從中篩選出最能反映知識的本質(zhì)屬性的特征.比如學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的高：首先是對各式各樣的幾何圖形、描述三角形的高的文字語言直接感知；其次在感知過程中，對圖形的各個部分，語言中的基本詞句進(jìn)行選擇、過濾.從中區(qū)分出三角形的高在整個圖形中的位置和形狀，和語言中最能反映三角形的本質(zhì)特征的關(guān)鍵詞句，從而在大腦中初步形成三角形的高的形、意對應(yīng)的大致輪廓，為進(jìn)一步理解三角形的高的抽象概括意義奠定基礎(chǔ).在感知階段，學(xué)生形成的關(guān)于知識的大致印象一般都有明顯的特征；學(xué)生對知識的初步認(rèn)識，不能作為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的依據(jù).比如，在學(xué)生對三角形的高的感知階段，就讓其畫各式各樣的三角形的高，學(xué)生就會出現(xiàn)圖1的一些錯誤.忽略本質(zhì)特征中的重要詞句（如，頂點(diǎn)到……，對邊……，垂線段……），從而導(dǎo)致了這樣的錯誤.生活中的經(jīng)驗(yàn)和已有知識也可對學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)定向，如認(rèn)為圖2中水平的直線才是直線，兩直線水平位置的垂直才是垂直，即把非本質(zhì)特征當(dāng)成本質(zhì)特征，這也反映出在教學(xué)中用標(biāo)準(zhǔn)圖形呈現(xiàn)對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)遷移.（二）理解階段在感知階段，學(xué)生形成的知識的初步印象是模糊的和不穩(wěn)定的，還需要進(jìn)一步理解深化.要向?qū)W生提示數(shù)學(xué)概念、定理等的本質(zhì)特征，通過向?qū)W生呈現(xiàn)變式材料，而從感知過渡到理解階段.由于數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性一般都具有較強(qiáng)的抽象概括性，因此學(xué)生在形成知識的初步印象時，還需對構(gòu)成知識的各主要因素間的相互聯(lián)系進(jìn)行充分地比較和分析，找出各要素間的最本質(zhì)的聯(lián)系，從而把握知識的本質(zhì)屬性.比如，學(xué)生對三角形的高的基本特征，在大腦中形成初步印象后，通過對各式各樣的三角形的高與三角形的頂點(diǎn)和邊之間的相互聯(lián)系進(jìn)行充分比較、分析，確定出三角形的高是以三角形的頂點(diǎn)為一個端點(diǎn)，并且與這個頂點(diǎn)所對的邊（或延長線）垂直，是三角形的高與三角形的邊和頂點(diǎn)的本質(zhì)聯(lián)系，這一聯(lián)系不依賴于三角形的形狀和大小.作三角形的高，必須先明確以三角形的哪個頂點(diǎn)為端點(diǎn)，與三角形的哪一條邊（或延長線）垂直.這就是我們通常所說的理解三角形的高的意義.（三）應(yīng)用階段學(xué)生理解當(dāng)前所學(xué)的知識的意義之后，還需要通過知識的應(yīng)用來加深對知識的本質(zhì)屬性的認(rèn)識.由于初中學(xué)生對知識的理解，在很大程度上還帶有直觀、形象的特征，對一些抽象概括性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識還可能在某些方面理解得不徹底，有時會把對知識的個別方面的理解誤認(rèn)為是全面的理解，以致在知識的應(yīng)用過程中或多或少地出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.學(xué)生通過知識在各個方面的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)自己理解知識在某些方面的不足，及時修正、完善自己對所學(xué)知識的認(rèn)識，達(dá)到對知識的準(zhǔn)確、全面的理解.這就是說，學(xué)生應(yīng)用知識的過程，不僅是學(xué)生對所學(xué)知識加深理解的過程，同時也是學(xué)生對所學(xué)知識的認(rèn)識不足的逐步暴露的過程.比如，學(xué)生對三角形的高的理解，在應(yīng)用面積公式時，還要明確哪一邊上的高.在學(xué)習(xí)了提公因式分解因式，由于對因式分解和整式的乘法的關(guān)系認(rèn)識不徹底，或者對公因式實(shí)質(zhì)上是指最大公因式認(rèn)識不深，他們在提取公因式法的初步應(yīng)用中，常會出現(xiàn)如下錯誤.（四）反思、確認(rèn)階段初中學(xué)生在理解知識的過程中，有時可能出現(xiàn)這樣的情況，由于對知識的認(rèn)識方式或策略不當(dāng)，在理解后期產(chǎn)生了某種理解困惑，這時就需對知識的認(rèn)識進(jìn)行反思，找出產(chǎn)生理解困惑的環(huán)節(jié)，從而對認(rèn)識方式或策略進(jìn)行調(diào)整，消除對知識的理解困惑.比如，在學(xué)習(xí)弧的相等關(guān)系時，由于把兩條弧相等認(rèn)識為長度相等，對圓周角定理的推論“同弧或等弧所對的圓周角相等”產(chǎn)生了理解困惑.這是線段的相等概念產(chǎn)生了負(fù)遷移.如圖3，中的弧AB和弧CD被誤認(rèn)為是等弧，但圓周角∠α、∠β又確實(shí)不等.這時，就需要對弧的相等關(guān)系的認(rèn)識進(jìn)行反思，將原來把長度相等作為弧相等的認(rèn)識，糾正到在同圓或等圓中能完全重合的弧才是相等的弧的正確認(rèn)識上來，從而真正掌握兩條弧相等的本質(zhì)屬性.（五）發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)階段學(xué)生掌握知識是為了更好地應(yīng)用知識，知識的應(yīng)用應(yīng)以任何時候、任何問題中都能靈活自如地應(yīng)用為標(biāo)準(zhǔn).要達(dá)到這一標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生必須把當(dāng)前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識納入已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.就是學(xué)生對知識的同化和順應(yīng)：一方面，通過對新知識的理解加深對原有的知識的理解，擴(kuò)展、深化對原有知識的認(rèn)識；另一方面，通過新舊知識間的相互作用，對原有數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)加以改造，提高其概括化程度.后者對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識體系，較其他學(xué)科更具有聯(lián)系性和邏輯性，一般來說，學(xué)生掌握知識的系統(tǒng)化程度越高，知識就記得越牢，知識的應(yīng)用也就越靈活.由于學(xué)生對知識系統(tǒng)的構(gòu)建能力還處于低級水平，初中數(shù)學(xué)教學(xué)，在進(jìn)行基礎(chǔ)知識教學(xué)的同時，可適當(dāng)補(bǔ)充一些有關(guān)知識系統(tǒng)的邏輯構(gòu)建、聯(lián)系線索設(shè)計等方法性知識，以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，能比較順利地自我構(gòu)建，發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高知識的質(zhì)量，增強(qiáng)知識的應(yīng)用能力.比如，在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，就應(yīng)建立二次函數(shù)、二次三項式、一元二次方程、一元二次不等式之間的邏輯聯(lián)系，提示它們之間的轉(zhuǎn)化過程，建立函數(shù)、方程、不等式三個體系之間的橫向聯(lián)系.二、從知識結(jié)構(gòu)角度分析初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程（一）數(shù)學(xué)概念及其定義的學(xué)習(xí)過程初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，首先是對概念所代表的具體的數(shù)學(xué)對象逐個進(jìn)行觀察、分析，把反映數(shù)學(xué)對象各方面性質(zhì)的本質(zhì)和非本質(zhì)的特征從整體中分離出來，然后對這些特征進(jìn)行綜合比較，抽象出各對象共有的本質(zhì)特征.由于初中生的數(shù)學(xué)思維，在一定程度上還依賴于直觀、具體的感性材料，對數(shù)學(xué)概念的意義的理解一般都是具體化的理解，對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)抽象常表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)型的抽象.這就決定了他們學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念的過程，只能是一個由特殊到一般、由具體到抽象的漸進(jìn)過程，整個過程表現(xiàn)出明顯的認(rèn)識階段性和階段依賴性.下面就平方根概念為例，對初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程作一個大致的分析.學(xué)生學(xué)習(xí)平方根，首先是從如下的一些具體的數(shù)學(xué)關(guān)系式的認(rèn)識開始.從理解平方根概念到形成平方根概念的觀念意識，還要通過平方根的具體化應(yīng)用來逐步過渡.在應(yīng)用過程中，通過各式各樣的有關(guān)平方根概念的數(shù)學(xué)問題的解決，進(jìn)一步認(rèn)清平方根概念與相關(guān)知識（如有理數(shù)、平方運(yùn)算等）之間的相互聯(lián)系和區(qū)別，理順?biāo)鼈冎g的相互關(guān)系.通過平方運(yùn)算和開方運(yùn)算的對比，明確開方運(yùn)算在數(shù)式運(yùn)算體系中的地位和作用，區(qū)別平方與開方、冪與平方根這樣一些相近概念.隨著平方根概念的應(yīng)用不斷深入，認(rèn)識也就逐漸加深，平方根概念的觀念意識也就逐漸形成，平方根概念的認(rèn)識也就被納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.（二）數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)過程初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)技能，往往不重視思維對操作的指導(dǎo)作用，總是試圖通過操作找出解決問題的方法.他們對操作規(guī)則的記憶往往是形式的，不是在理解的基礎(chǔ)上記住操作規(guī)則，這是初中數(shù)學(xué)技能教學(xué)值得重視的一個問題.比如，初中學(xué)生學(xué)習(xí)作三角形的外接圓技能.在技能的形成階段，起初總是試圖通過作圖來確定出三角形的外心.即使他們可以通過作圖確定某些特殊的三角形的外心位置，這樣的作圖規(guī)則也不能應(yīng)用于一般的三角形.要能確定出一般三角形的外心的位置，必須先進(jìn)行分析思維，認(rèn)識到三角形的外心必須在三角形的三邊的垂直平分線上，在這一認(rèn)識的指導(dǎo)下，再作三角形三邊的垂直平分線.思維又在三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)這一作圖結(jié)果的基礎(chǔ)上，得出三邊的垂直平分線的交點(diǎn)就是三角形的外心這一普遍性的結(jié)論.在三角形的外心確定好之后，思維又以三角形的外心作為基礎(chǔ)，進(jìn)一步確定三角形的外接圓半徑.作為作三角形的外接圓技能形成到應(yīng)用的過渡階段，學(xué)生還須從作圖的第一步開始，逐步進(jìn)行一般性的作圖規(guī)則概括，直到完成最后一步的作圖規(guī)則的概括為止.學(xué)生作三角形的外接圓技能的應(yīng)用過程，實(shí)際上是作圖規(guī)則的逐漸熟悉的過程，學(xué)生作三角形的外接圓達(dá)到自動化的程度，作三角形的外接圓技能也就完全掌握了.（三）數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則、公式抽象概括性知識的學(xué)習(xí)過程數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則、公式抽象概括性，決定了學(xué)生學(xué)習(xí)它們的過程，主要是對數(shù)學(xué)對象的數(shù)形特征以及相互聯(lián)系規(guī)律的逐漸抽象概括的過程.對初中學(xué)生來說，這個抽象概括過程又表現(xiàn)出明顯的階段性、層次性.比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)平方差公式時是按有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)律概括、字母的運(yùn)算規(guī)律概括、整式的運(yùn)算規(guī)律概括的順序，逐步過渡到一般的代數(shù)式的運(yùn)算規(guī)律概括.此外，學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)抽象，由于受學(xué)生知識水平和認(rèn)知能力的限制，對某些數(shù)學(xué)對象的較高層次的性質(zhì)抽象，在學(xué)生不具備相關(guān)知識時，就不能進(jìn)行抽象認(rèn)識，只有當(dāng)學(xué)生具備有關(guān)知識后，才能對這些數(shù)學(xué)對象再次進(jìn)行抽象認(rèn)識.學(xué)生理解數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式、法則的抽象概括意義要進(jìn)行性質(zhì)、法則、公式在各個方面的具體化應(yīng)用練習(xí).對性質(zhì)、公式、法則的抽象概括意義的認(rèn)識不足或偏差，就會在某個問題的解決過程中暴露出來，學(xué)生在強(qiáng)烈的解決問題的愿望驅(qū)使下，就會主動地對數(shù)學(xué)對象在某個方面的性質(zhì)或某種聯(lián)系規(guī)律進(jìn)行重新認(rèn)識，直到問題得以順利解決為止.在應(yīng)用練習(xí)的同時，數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性以及對象間的本質(zhì)聯(lián)系規(guī)律由于得到反復(fù)多次的應(yīng)用而得以強(qiáng)化認(rèn)識，非本質(zhì)屬性以及非本質(zhì)聯(lián)系規(guī)律由于不能用于解決問題而逐漸淡化，最后促成學(xué)生準(zhǔn)確地理解掌握數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式、法則的抽象概括意義.（四）數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程數(shù)學(xué)思想方法屬認(rèn)知策略的范疇，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起執(zhí)行、監(jiān)控、優(yōu)化認(rèn)知過程的作用.數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中主要表現(xiàn)為：如何選擇性感知、如何分步理解、如何編碼記憶、如何設(shè)計解題線索、如何優(yōu)化解題過程等形式.由于數(shù)學(xué)思想方法帶有較強(qiáng)的技術(shù)性，數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn).初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，首先是從解決具體數(shù)學(xué)問題的方法分析開始.他們在對問題的已知和未知因素、問題的知識結(jié)構(gòu)與問題有聯(lián)系的其他知識內(nèi)容有了基本了解之后，就把思維轉(zhuǎn)到解決問題的策略設(shè)計上來.初中生的解題策略設(shè)計，是通過對已經(jīng)了解的相似問題的解決方案的套用，在套用過程中，對方案進(jìn)行必要的修改和補(bǔ)充，直到問題得以解決為止.他們對方案的可行性缺乏主動、優(yōu)化性的改造，對方案的各個環(huán)節(jié)缺乏科學(xué)、合理性的理解.只有當(dāng)該方案經(jīng)過反復(fù)多次的應(yīng)用之后，對方案的主動、優(yōu)化性改造，對各環(huán)節(jié)的科學(xué)、合理性理解才逐步加強(qiáng).學(xué)生要能把解決問題的方案升華成一般性的數(shù)學(xué)思想方法，還需經(jīng)過相當(dāng)一段時期的變式應(yīng)用和理性認(rèn)識.比如，學(xué)生學(xué)習(xí)方程組的消元解法，先是通過對具體的二元一次方程組的解法分析開始，形式地記住教師示范的解法步驟.在獨(dú)立運(yùn)用消元法解二元一次方程組的初期，一般都是照搬消元法的具體步驟，對消元法的每一個步驟缺乏科學(xué)、合理性的理解，甚至把類似于如下的二元一次方程組的消元解法誤認(rèn)為是別的解法.只有當(dāng)學(xué)生通過各式各樣的二元一次方程組、三元一次方程組的求解練習(xí)，對各種類型的消元解法的科學(xué)、合理性逐步理解，學(xué)生對消元法的理性認(rèn)識才能升華為一般性的數(shù)學(xué)方法的觀念意識.（五）邏輯推理的學(xué)習(xí)過程初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)推理的基本形式，是以三段式的演繹推理開始.三段式的數(shù)學(xué)演繹推理，大前提一般被省略，具體表現(xiàn)為一步推理的形式.即利用小前提結(jié)論的因果聯(lián)系，直接由小前提得出結(jié)論的形式.如，因?yàn)閮芍本€平行，所以同位角相等；因?yàn)橥唤窍嗟?，所以兩直線平行等.學(xué)生掌握一步推理之后，就過渡到兩步推理的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)兩步推理，不是兩個一步推理的簡單組合，而是省略第二步推理的前提.以第一步推理的結(jié)論來代替.如圖4，因?yàn)椤?=∠2，所以AB//CD，所以∠3=∠4，就是一個兩步推理.其中第二步推理：因?yàn)锳B//CD，所以∠3=∠4的前提“因?yàn)锳B//CD”被省略，以第一步推理的結(jié)論AB//CD作為第二步