利用希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)單邊帶調(diào)制

希爾伯特變換與單邊帶幅度調(diào)制摘要:本文主要分析和討論了希爾伯特變換、單邊帶調(diào)制及利用希爾伯特變換進(jìn)行的單邊調(diào)制的方法，并用MATLAB進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和仿真。仿真的結(jié)果驗(yàn)證了前面理論分析部分的正確性。關(guān)鍵詞：希爾伯特變換單邊帶調(diào)制MATLAB引言希爾伯特變換（Hilbert）在通訊等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，它是信號(hào)分析與處理的重要工具，可以用來進(jìn)行信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)、對(duì)信號(hào)功率的測(cè)量、對(duì)窄帶信號(hào)的檢測(cè)、實(shí)現(xiàn)對(duì)瞬時(shí)頻率的估計(jì)等，并且它可以用來統(tǒng)一的描述各種模擬調(diào)制方式（DSB、SSB、AM、FM）的原理，揭示這些方式之間的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化理論分析。希爾伯特變換是一種將信號(hào)相移90度的運(yùn)算，與其他變換不同，它是屬于相同域的變換。它有著一些很好的性質(zhì)，如正交性、卷積特性等。特別的，對(duì)于任意的一個(gè)因果系統(tǒng)，它的實(shí)部和虛部、模與幅角，都存在著一定的希爾伯特變換關(guān)系。繼而，由希爾伯特變換得出的任一信號(hào)的解析信號(hào)，其頻率響應(yīng)總是因果的，即其頻率響應(yīng)僅含有正頻率項(xiàng)。單邊帶調(diào)制（英文是Single-sidebandmodulation，縮寫為SSB），是一種可以更加有效的利用電能和帶寬的調(diào)幅技術(shù)。單邊帶調(diào)制與殘留邊帶調(diào)制（VSB）有密切的關(guān)系。調(diào)幅技術(shù)輸出的調(diào)制信號(hào)帶寬為源信號(hào)的兩倍。單邊帶調(diào)制技術(shù)可以避免帶寬翻倍，同時(shí)避免將能量浪費(fèi)在載波上，不過因?yàn)樵O(shè)備變得復(fù)雜，成本也會(huì)增加。單邊帶調(diào)制技術(shù)是原有頻率分量的相對(duì)關(guān)系保持不變的調(diào)制技術(shù)，也可看作是調(diào)幅（AM）的一種特殊形式。調(diào)幅信號(hào)頻譜由載頻fc和上、下邊帶組成,被傳輸?shù)南趦蓚€(gè)邊帶中，而且每一邊帶包含有完整的被傳輸?shù)南?。因此，只要發(fā)送單邊帶信號(hào)，就能不失真地傳輸消息。顯然,把調(diào)幅信號(hào)頻譜中的載頻和其中一個(gè)邊帶抑制掉后，余下的就是單邊帶信號(hào)的頻譜。一種生成單邊帶調(diào)制信號(hào)的方法是將其中一個(gè)邊帶通過濾波去除，只留下上邊帶或者下邊帶。而且載波一般也需要經(jīng)過衰減或者完全濾除（抑制）。這通常稱為抑制單邊帶載波。假如原調(diào)制信號(hào)的兩個(gè)邊帶是對(duì)稱的，那么經(jīng)過這一變換后，并不會(huì)造成任何的信息遺失。因?yàn)樽罱K的射頻放大器只發(fā)射一個(gè)邊帶，這樣有效輸出功率就會(huì)比普通的調(diào)幅方式大。因此單邊帶調(diào)制具有使用帶寬小、節(jié)省能量的優(yōu)點(diǎn),但是它無法被普通的調(diào)幅檢波器解調(diào)。單邊帶調(diào)制的實(shí)現(xiàn)方法有很多種，其中常用的一種就是利用希爾伯特變換，對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行頻移，系統(tǒng)中包括載波信號(hào)和兩個(gè)頻移后的調(diào)制信號(hào)。兩個(gè)頻移后的調(diào)制信號(hào)分別在載波信號(hào)的兩側(cè)，其中頻率較低的那個(gè)信號(hào)是頻率反轉(zhuǎn)后的信號(hào)。原理分析在單邊帶幅度調(diào)制中，可以保留上邊帶，也可以保留下邊帶。信號(hào)單邊帶調(diào)制可以提高信道的利用率。信號(hào)單邊調(diào)制（SSB）有上邊帶（USB）和下邊帶（LSB）兩種，一般利用希爾伯特變換來實(shí)現(xiàn)。1-利用希爾伯特實(shí)現(xiàn)單邊帶調(diào)制的原理框圖如下所示：圖1利用希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)單邊帶調(diào)制框圖圖中H(jw)為希爾伯特變換器。2.單邊帶幅度調(diào)制的時(shí)域表達(dá)式為yUSB(t)=2X(t)cos(wct)-2xh(t)sin(wct)尸LSB(t)=2X(t)cos(wct)+2xh(t)sin(wct)式中：xh(t)為信號(hào)x(t)的希爾伯特變換。3-希爾伯特變換器的時(shí)域特性h(t)為1

h(t)=—兀t對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變化，可得希爾伯特變換器的頻率特性H(jw)為：f~j苗>0[■疽"^>0職理)=_燉映)=’=.時(shí)、J苗<0&孫^<0由以上可知，希爾伯特變換器的幅度響應(yīng)為IH(jw)|=1,相位響應(yīng)為e(w)=-\sgn(w),因此，希爾伯特變換器是一個(gè)全2通系統(tǒng)，稱為90度相移器。4-希爾伯特變換器的輸入與輸出之間的關(guān)系在時(shí)域可表示為：][00xh(t)=x(t)*h(t)二x仕)*二一』dxhnt71t~T—00x(t)二x(t)*[-h(t)]=x代)*(一)二一Jnnnt71f—T—00對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換，便可知希爾伯特變換器的輸入X仕)與輸出xh(t)在頻域具有以下關(guān)系：\(jw)二X(jw)H(jw)二X(jw)[-jsgn(w)]X(jw)二Xjjw)[-H(jw)]二\(jw)[jsgn(w)]5.如果調(diào)制信號(hào)的頻譜為x(jw),則對(duì)yUSB(t)及yLSB(t)的時(shí)域表達(dá)式兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得下式：Y(jw)二usb'J'1111一x_X(Jw)^ti\8(w+w)+5(w-w)]-一x_X(頂翔*jk[5(w+w)-5(w-w)]2ji2cc2n2hcc[?=丁[X/(w+w))+X(J(w-w(j(w+w))-X(j(w-w))]4cc4hh利用上面Xh(jw)與X(jw)的關(guān)系，將Xh(jw)用X(jw)替換得：Y(jw)二USB'J"—Ex(j(w+w))+X(j(w-w))1-—[X(j(w+w))sgn(w+w)-X(j(w-w))sgn(w-w)]4cc4右cYLSB(jw)二TOC\o"1-5"\h\z1111_x_X(/w)^k[5(w+w)+5(w-w)]+x_X(jw)*jn[8(w+w)-5(w-w)]\o"CurrentDocument"2ji2cc2^2hcc=1[^(j(w+w))+X^^(w-w))]+j[X(j(w+w))-X(j(w-w))]=4cc4hh4lx(j(w+w))+X(j(w-w))]+4[X(j(w+w))sgn(w+w)-X(j(w-w))sgn(w-w)]所以，單邊帶一條信號(hào)的頻譜為：Iwl^wcYusb(jw)=2X(j(w-wc))+2X(j(w+wc))Iw|Wwc丫lsb(jw)=2X(j(w-wIwl^wcIw|Wwc至u此，便可實(shí)現(xiàn)利用希爾伯特變換對(duì)任一調(diào)制信號(hào)進(jìn)行的單邊帶幅度調(diào)制。實(shí)驗(yàn)與仿真利用希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的單邊帶調(diào)制，并用MATLAB進(jìn)行仿真。1.程序如下：function[M,m,df]=fftseq(m,ts,df)%[M,m,df]=fftseq(m,ts,df)%[M,m,df]=fftseq(m,ts)fs=1/ts;ifnargin==2n1=0;elsen1=fs/df;endn2=length(m);n=2"(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2)));M=fft(m,n);m=[m,zeros(1,n-n2)];df=fs/n;function[M,m,df1,f]=T2F(m,ts,df,fs)[M,m,df1]=fftseq(m,ts,df);f=[0:df1:df1*(length(m)-1)]-fs/2;M=M/fs;%已知調(diào)制信號(hào)被調(diào)信號(hào)%當(dāng)0<t<t0/3時(shí)為+1,當(dāng)t0/3<t<2t0/3為-2,其它情況下為零echoont0=.15;%信號(hào)的持續(xù)時(shí)間ts=0.001;%抽樣間隔fc=250;%載波頻率snr=10;%用dB表示信噪比fs=1/ts;%抽樣頻率t=[0:ts:t0];%時(shí)間向量df=0.2;%所需的頻率分辨率Lt=length(t);snr_lin=10"(snr/10);%信噪比%被調(diào)信號(hào)m=[ones(1,t0/(3*ts)),-2*ones(1,t0/(3*ts)),zeros(1,t0/(3*ts)+1)]；L=2*min(m);R=2*max(abs(m));pauseclffigure(1)subplot(5,2,1);plot(t,m(1:length(t)));axis([0t0-R/2R/2]);xlabel('t');ylabel('調(diào)制信號(hào)');pause%按任意鍵可看到調(diào)制信號(hào)的曲線c1二cos(2*pi*fc*t);c2二sin(2*pi*fc*t);subplot(5,2,5);u1=m(1:Lt).*c1(1:Lt)+hilbert(m(1:Lt)).*c2(1:Lt);plot(t,u1);axis([0t0-RR]);xlabel('t');ylabel('單邊帶信號(hào)-下邊帶');subplot(5,2,6);[U1,u1,df1,f]=T2F(u1,ts,df,fs);plot(f,fftshift(abs(U1)));xlabel('f');ylabel('單邊帶信號(hào)-下邊頻譜');pausesubplot(5,2,9);u2=m(1:Lt).*c1(1:Lt)-hilbert(m(1:Lt)).*c2(1:Lt);plot(t,u2);axis([0t0-RR]);xlabel('t');ylabel('單邊帶信號(hào)-上邊帶');subplot(5,2,10);[U2,u2,df1,f]=T2F(u2,ts,df,fs);plot(f,fftshift(abs(U2)));xlabel('f');ylabel('單邊帶信號(hào)-上邊頻譜');pause2.仿真結(jié)果如下圖所示：仿真結(jié)果中顯示了調(diào)制信號(hào)、單邊帶信號(hào)下邊帶及其頻譜、單邊帶信號(hào)上邊帶及其頻譜。

總結(jié)希爾伯特變換在信號(hào)分析與處理中發(fā)揮著非常重要的作用，利用它可以很簡(jiǎn)便的得到信號(hào)的幅值、相位、頻率等信息，它也因此在通信等很多場(chǎng)合得到了廣泛的應(yīng)用。單邊帶調(diào)制的傳輸帶寬不會(huì)大于消息帶寬，為調(diào)幅的一半；載頻被抑制；節(jié)省功率，大大減小了電臺(tái)相互間的干擾。此外，單邊帶傳輸受傳播中頻率選擇性衰落的影響也較調(diào)幅為小，而且沒有門限效應(yīng)等。這些優(yōu)點(diǎn)就使單邊帶技術(shù)的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了短波通信的范圍。所以，應(yīng)用希爾伯特變換進(jìn)行的單邊帶調(diào)制也有著非常明顯的優(yōu)點(diǎn)，在通信技術(shù)