線性代數(shù) 矩陣的特征值和特征向量

線性代數(shù)矩陣的特征值和特征向量第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六§3.1矩陣的特征值和特征向量

在經(jīng)濟管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常遇到矩陣特征值和特征向量問題。引言例如例1定量分析污染與工業(yè)發(fā)揮水平的關(guān)系模型：，設是某地區(qū)目前的污染水平，是目前的工業(yè)發(fā)展水平。若干年后的污染述評和工業(yè)發(fā)展水平分別為，它們之間具有關(guān)系或

第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六記有當有，，，。，由此，可預測出污染水平和工業(yè)發(fā)展水平的狀態(tài)具有倍數(shù)關(guān)系。這是所謂矩陣特征值與特征向量問題。

。下面給出特征值與特征向量概念，除特別聲明，均在實數(shù)域上討論矩陣特征值與特征向量問題。時第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六一、矩陣的特征值、特征向量概念定義3.1設是階矩陣，如果存在一個數(shù),相應地有非零向量,使得（3.1.1）,那么就稱是矩陣的一個特征值,稱為的一個特征向量.的屬于特征值注1)矩陣的特征值、特征向量有兩個前提條件:（1）特征值是一個數(shù)；（2）特征向量是非零向量,且滿足；（3）對任何數(shù),有,但0不是的特征向量,也不能說不是的特征值.第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六注2)特征值與特征向量是相互聯(lián)系的兩個概念,即有特征值一定有相應的特征向量,有特征向量一定有相應的特征值.注3)等式刻劃特征向量的特性:對作用只發(fā)生數(shù)量倍的變化.對于普通的幾何空間而言,上述特性有明顯的幾何意義:與共線.一般地，向量經(jīng)過線性變換后，表明是共線的。注4）對給定矩陣，并不是隨便那個數(shù)都是它的特征值的。第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六二、特征值、特征向量的求法、特征多項式設矩陣有一個特征值,是的屬于特征值的特征向量，則,于是有.這表明是齊次線性方程組(3.1.2)的一個非零解（向量）。因而由齊次線性方程組理論，于是其系數(shù)矩陣的行列式。第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六設為階矩陣,命題是矩陣一個特征值充分必要條件是為以為變量的一元次代數(shù)方程(3.1.3)的根。稱為A的特征矩陣，其行列式定義3.2含有未知數(shù)的矩陣稱為矩陣的特征多項式,記作.

第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六稱為矩陣的特征方程。是A的屬于特征值的特征向量的充分必要條件是為特征方程的根，設為階矩陣,代數(shù)方程（證明略）定理3.1則是A的特征值，是齊次線性方程組的非零解（向量）。注1)

的特征多項式是一個次且首項系數(shù)是1；多項式,注2)

如果是A的特征值，常常稱為A的特征根；第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六注3)

根據(jù)定理3.1和齊次方程組理論，可以得到推論1如果是A的屬于特征值的特征向量，則對任意常數(shù)，也是A的屬于特征值的特征向量。且，則推論2如果都是A的屬于特征值的特征向量，也是A的屬于特征值的特征向量。

為數(shù)值。推論3如果都是A的屬于特征值的特征向量，則也是A的屬于特征值的特征向量，其中第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六(它就是的屬于特征值的全部特征值、特征向量的求法

注4)第一步對給定下的矩陣，計算特征多項式;第二步求出特征方程中的全部根(即的全部特征值，其中可能有重根或成對出現(xiàn)、重數(shù)相同的復數(shù)根);第三步對每一個特征值,求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系的極大無關(guān)的特征向量組),由此可求出的屬于的全部特征向量，其中為數(shù)值.第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六例2．求矩陣的特征值和相應的特征向量.解：矩陣的特征多項式為

因此由可得的全部特征值為.即求解對于，解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系，

第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六，這里為任意常數(shù)。于是的屬于的全部特征向量為即求解對于，解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系，這里為任意常數(shù)。

于是的屬于的全部特征向量為，第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六例3．求矩陣的特征值和相應的特征向量.解：矩陣的特征多項式為

因此沒有實數(shù)解，在實數(shù)域上無特征值，但在復數(shù)域上，可得的全部特征值為解齊次線性方程組,對于，即求解

得到一個基礎(chǔ)解系，第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六全部特征向量為，解齊次線性方程組,對于，的于是的屬于

的全部特征向量為，這里為任意常數(shù)。即求解得到一個基礎(chǔ)解系，于是的屬于這里為任意常數(shù)。

特征值與討論數(shù)域有關(guān)，如果限制在實數(shù)域上，矩陣的特征值可能不存在或者不夠多。注5）本例表明，對于給定的實數(shù)矩陣，其特征值可能不是實數(shù)，這時它的所有特征值全為復數(shù)。第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六對于，例4．求矩陣特征值和相應的特征向量.解:矩陣的特征多項式為

因此由可得的全部特征值為（二重根），.即求解解齊次線性方程組,第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六得到一個基礎(chǔ)解系，于是的屬于的全部特征向量為這里為不全為零的任意常數(shù)。即求解對于，解齊次線性方程組,于是的屬于的全部特征向量為得到一個基礎(chǔ)解系，這里，為任意常數(shù)。第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六求矩陣特征值和相應的特征向量.例5．解:矩陣的特征多項式為（二重根），.因此由可得的全部特征值為即求解對于，解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系

第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六解齊次線性方程組,的屬于的全部為非零任意常數(shù)。于是特征向量為，這里即求解對于，,于是的屬于得到一個基礎(chǔ)解系，的全部特征向量為，為任意常數(shù)。這里第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六對于給定的階矩陣A，記為。

的解空間。注6）A最多有個不同的特征值，每個特征值可以確定一簇特征向量。階矩陣A屬于特征值的特征向量全體再添加零向量構(gòu)成的一個子空間，稱為矩陣A對應特征值的特征子空間，它就是齊次線性方程組第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六證明：設是矩陣A的屬于的一個特征向量，則于是的一個特征向量。由此可知，是階矩陣的一個特征值，并且是矩陣的屬于例6．設是階矩陣A的一個特征值，證明是階矩陣的一個特征值。第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六三、矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)特征多項式、特征值.定理3.2設是階方陣,則與有相同的有

證明：根據(jù)行列式性質(zhì)和特征多項式定義，此即與有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六則，假定不可逆，是它的任一特征值都不等于零。定理3.3階方陣可逆的充分必要條件于是證明：必要性：設階方陣可逆，則，的任一特征值都不為零。即0不是的特征值，亦即于是充分性：設的任一特征值都不為零，這表明0是的特征值，與已知條件矛盾。故必然可逆。第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六個彼此不同的特征值，線性無關(guān)。定理3.4設是階方陣,是的個彼此不同的特征值，分別是的屬于的特征向量，則證明略屬于的線性無關(guān)的特征向量組，定理3.5設是階方陣,是的是的則證明略是線性無關(guān)向量組。第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六個特征值為,設,例如例4中情形。根據(jù)定理3.5，是的個所有不同的特征值，則特征子空間的基向量組合起來的向量組線性無關(guān)。