淺談導數(shù)在函數(shù)和不等式中的應用 論文

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題目:淺談導數(shù)在函數(shù)和不等式中的應用單位:霍邱縣馮瓴鎮(zhèn)塘莊小學姓名：韓謀報申報專業(yè)：數(shù)學2022年9月8日【摘要】此文旨在將高中階段數(shù)學中與導數(shù)有關聯(lián)的知識進行整理并加以應用進行了討論，為解決高中階段學習的函數(shù)和不等式內(nèi)容給與了簡便的手段，同時為我們做題時找出知識點和知識點的關聯(lián)和用處，在解題的時候提供了合理的思路和技巧，為解題節(jié)省了較多的時間。要求學生熟練掌握用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，為今后在高考可能會出現(xiàn)的導數(shù)問題作為踏板。通過對導數(shù)知識在函數(shù)、不等式中的應用，把此類問題可以很好的聯(lián)系起來，并對題目中的關鍵條件加以運用，這在高中階段解題過程中是一個非常重要的解題方法。關鍵詞：導數(shù)函數(shù)不等式應用目錄1引言12求導在高中階段中的函數(shù)使用12.1求解函數(shù)中圖像趨勢：單調(diào)性12.2高中函數(shù)中最大值和最小值的問題33單獨變量在不等式滿足的條件下一直成立問題54結束語 75參考文獻 71.引言

在我們學習微積分的時候就知道，導數(shù)是其中的基礎，為研究函數(shù)單調(diào)性和最值，以及圖像問題起到非常重要的作用，并在歷年的高考中已經(jīng)占據(jù)了相當高的地位，是高考和各地區(qū)大小模擬常考的類型，2003年，2006年以及2009年全國各地區(qū)高考卷子中都有與導數(shù)有關的綜合問題。在高考里面導數(shù)與解析幾何以及函數(shù)，會同時出現(xiàn)，涉及的知識點也是比較多，考查運用實際數(shù)學知識解決高中數(shù)學的綜合問題為高考命題的聚焦點。因此本文就導數(shù)在各方面的應用依次進行簡單的討論。在歷年高考中，很多學生會為解答數(shù)學題產(chǎn)生困惱，其一是因為公式比較多，相比較初中要多的多，其二是因為公式比較晦澀難懂，需要大量的時間去消化，這就導致了學習數(shù)學有很大的難度，同時再加上學生做題不夠靈活也會導致此類的結果，所以我們在掌握公式的同時也需要掌握各種解題的思路，我們學習了導數(shù)，就要把導數(shù)的各種知識點串聯(lián)在一塊，在做題的時候需要多去聯(lián)想，把頭腦中固定的知識點用的靈活得當，而不是固定思維，不去拓展思考。在這里我們也需要知道導數(shù)的真正的含義，它在數(shù)學上的形態(tài)以及在數(shù)學上代表的真正的意義。在這篇文章中，我會列舉出高中?？嫉念}型進行深入剖析，了解導數(shù)在函數(shù)中起到的關鍵作用。2.求導在高中階段函數(shù)中的使用利用導數(shù)解析函數(shù)的形態(tài)是一種非常常用的方法。在解析函數(shù)的圖象、判別函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值這些方面，使用導數(shù)可以使復雜問題簡單化、條例化。2.1求解函數(shù)中圖像趨勢：單調(diào)性

函數(shù)的基本性質(zhì)大家都了解，就是單調(diào)性，單調(diào)性是解決函數(shù)需要必備的最基礎的知識。用單調(diào)性的定義來解決單調(diào)性問題有較強的技術性，不是很好掌握，如果用導數(shù)知識來判別函數(shù)的單調(diào)性，相比較而言就顯得十分的簡便了。對于初等函數(shù)的單調(diào)性，我們都是非常的了解了，在對于特定區(qū)間上的單調(diào)性也是非常容易確定的。每當大家所論證的函數(shù)是特別基初等函數(shù)，都是想到利用復合的函數(shù)來判斷他的單調(diào)性，這個方法也是我們經(jīng)常用到的。單調(diào)性，遵循“同增異減”的法則來獲得，若為比較復雜的復合函數(shù)時，利1用導數(shù)可化難為易，輕松求解[1]。我們在做此類題目，一定注意區(qū)間，切記不要急躁，一定想到導數(shù)在其中的作用。我們不僅要掌握知識，還需要靈活的運用知識。高中的導數(shù)，在這里面起到很關鍵的步驟，那我們?nèi)タ纯聪铝械念}目，看看導數(shù)在里面運用的簡便方法，同時全面透析導數(shù)的意義以及導數(shù)在函數(shù)的地位。例1．求下列題目中函數(shù)涉及到的單調(diào)區(qū)間范圍 ex(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝ ； x－2解：(1)函數(shù)f(x)的區(qū)間范圍為0到＋∞．1 （2x－1）（2x＋1）f′(x)＝2x－＝ .x x因為x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x> 2

，所以此函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為2 2

到＋∞，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間2為0到 2

。

2(2)f(x）函數(shù)區(qū)間為－∞到2∪2到＋∞．ex（x－2）－ex ex（x－3）f′(x)＝ ＝ .（x－2）2 （x－2）2因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，因此函數(shù)f(x)的區(qū)間－∞到2和2到3．例2．已知函數(shù)f(x)的函數(shù)表達式為x3－ax－1：

(1)若f(x)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a合理范圍；

(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取 值范圍；若不存在，說明理由；

【解】(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2對x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，

又a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立．∵得a≥3x2在x∈(－1，1)時恒成立．在x∈(－1，1)時，3x2<3，∴只需a≥3.當a＝3時，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1，1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)，∴a≥3.在實數(shù)a≥3中，函數(shù)f(x)在－1到1里面是遞減單調(diào)的．我們在判定函數(shù)圖像遞增還是遞減的時候，最多的是借助圖像在平面直角坐標系里面的走向。如果對于未知的函數(shù)，或者分段函數(shù)時，就會手足無措，毫無思路，或者說對于圖像是什么樣子的，也不得而知，這就需要我們擁有很強的數(shù)2學功底去解決此類問題。但是學習了導數(shù)之后，我們可以通過求導的方式，對于問題中函數(shù)的單調(diào)性進行求導，把函數(shù)的斜率算出來之后就可以知道函數(shù)的圖像在平面直角坐標系里面變化趨勢或者判斷在固定區(qū)間的上升或者下降，這樣就把復雜的函數(shù)單調(diào)性問題，利用科學而又嚴謹?shù)臄?shù)學手段，將問題更加簡單化，對于在高考考試，節(jié)省了很多解題時間，為高考取得高分奠定基礎。所以在考試中對于這類問題比較適合用更加簡單的求導的方法，在解決問題的同時也節(jié)省了很多做題時間，而且會使自己的思路更加明朗清晰。掌握了此類解題技巧與方法，在我們平時做題的時候應當常加應用，那么在考試做題時就會如老虎添翼，如魚得水，像是在做順風船一樣，一路上做題流暢。所以在高考時間緊張情況下，可以騰出更多時間去解決其他題目，大家在平時的訓要得以重視，不要太過于拘泥于形式，解題應當靈活變通，發(fā)散思維，不要做題的時候，腦子一片死水，毫無解題邏輯，只想當然，而且遇到難題，就不去動腦思考，遇難則退。這樣只會讓基礎更加薄弱，所以在學習求導知識的同時，還要真正理解導數(shù)的含義，理解求導的由來和背景，這樣才能充分的利用求導知識，做到不迷惑，知識點不遺忘，總而言之求導方法，是高中階段比較強有力的手段，學習求導可以大大節(jié)省解題時間，同時讓思路更加清晰流暢。2.2高中函數(shù)中最大值和最小值的問題

類似于這樣求函數(shù)最大值和最小的值問題在高中知識的學習中是非常重要的，也是經(jīng)常提到的。這就需要我們將高中數(shù)學知識進行融會貫通，解決這類問題經(jīng)常要很強的思考能力，利用導數(shù)解決此類問題就是其中一種簡單而又具有程序化的方法。用求導方法求函數(shù)的最大值和最小值問題簡便之處在于我們能通過導函數(shù)判斷出原函數(shù)的圖像變化趨勢，通常閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值能在極值點或端點處取得，這樣把問題就可以化成求函數(shù)的極值點和各端點處的函數(shù)值問題。求值域、最值有很多的方法,主要有：換元法、不等式法、配方法、定義法、判別式法、反函數(shù)法等等[2]，但利用導函數(shù)的方法永遠是最經(jīng)典的方法！下面我們通過具體的題目來看一下求導是如何在解決此類函數(shù)問題中合理利用的。已知函數(shù)f(x)＝x-1/x－lnx。(1)求f(x)在坐標系的單調(diào)區(qū)間；3(2)函數(shù)f(x)在[1/e,e]的最值。解析：(1)f(x)＝x-1/x－lnx＝1－1/x－lnx，f(x)的x取值范圍是（0，＋∞）?！遞′(x)＝1/x2－1/x-1-x/x2，

由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1，

∴f(x)＝x-1/x－lnx在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減。(2)由(1)得f(x)在[1/e,1)上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)在[1/e,e]上的最大值為f(1)＝(1－1)/1－ln1＝0。又f(1/e)＝1－e－ln(1/e)＝2－e，f(e)＝1－1/e－lne＝－1/e，且f(1/e)<f(e)，

∴f(x)在(1/e,e)上的最小值為f(1/e)＝2－e，

∴f(x)在[1/e,e]上最大值是0，最小值是2－e。這類題目難度中等，需要大家對于知識掌握充分，并會靈活運用即可！我們在解決此類題目的時候，應當注意區(qū)間。先確定正確的區(qū)間，在正確的區(qū)間判定函數(shù)圖像在平面直角坐標系中的走向以及圖像性質(zhì)和圖像大致位置。同時也要注意每個字母代表的符號含義，切不要著急做題。我們看看這題是如何使用求導的方式，去把題目中的問題進行合理的簡便化。首先第一步，對于問題分析，確定正確的區(qū)間。在這前提下實施第二步，把問題考察的知識點要看透，分析完畢。我們可以用導數(shù)的形式確定函數(shù)圖像的斜率，確定函數(shù)圖像的遞增或者遞減區(qū)間，我們在判定某一段的圖像后確定某一臨界點，我們對于這一臨界點，分析出最大值和最小值的位置[3]。這個時候需要我們非常的細心，心思也需要縝密，切不可，隨意判斷，同時還要考慮實際的情況，把不符合的答案可以率先排除，這道題就可以用求導的方式的完美的解答出來，這類題目作為高中的題目，在大大小小的考試都會涉及到，所以我們需要多利用求導的方式，進行解析，注意此題的重難點，要清晰認識，不要盲目的做題，并把求導的知識合理利用在題目中。高考的題目比較注重基礎，同時此題也遵循這個理念，但是如果沒有用合理的手段，是很容易把問題復雜化的。如果利用求導的方法，可以使問題中的矛盾4點一一解釋出來和梳理出來，并且還可以節(jié)省很多的時間，所以求導作為強有力的解題手段，大家一定要對于這個方法，進行熟練的掌握，并熟背于心，滾瓜爛熟，在解題的時候才能游刃有余，手到擒來。我們在數(shù)學嚴謹?shù)谋尘爸?，多多利用求導的方法，不要因為問題簡單，就可以忽略這類方法，簡單的題目或許還可以用其他合適方法做的，但是復雜的題目就需要一定技巧，可是復雜的題目也是由簡單的題目改編或者拼湊而成?？偠灾?，不管題目難度，我們率先想到求導方法，對于問題的把控就會有更加信心，更加有策略性，使解題的步驟更加完美和突出，使我們對解題的思路會有更加清晰的認識，我們也應該對于問題的細節(jié)把握更加精準。所以對于一些比較復雜的函數(shù)問題，求導這樣的方法用處更加突出，作用更大，所以我們需要多運用求導的方法！3.單獨變量在不等式滿足的條件下恒成立問題對于恒成立條件求函數(shù)區(qū)間：

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的遞增或者遞減區(qū)間范圍；

(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍． 1解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a. x

①當a≤0時，f′(x)＞0恒成立，則f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)． 1 1②當a＞0時，由f′(x)＞0，得0＜x＜；由f′(x)＜0，得x＞； a a 1

所以f(x)的遞增趨勢范圍是0到.a

(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立． 1

設g(x)＝lnx－a(x－1)，x＞0，則g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0， x

①當a≥1時，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，

則g(x)在x∈1到＋∞期中遞減趨勢的，

所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1時滿足題意． 1②當0＜a＜1時，令g′(x)＞0，得0＜x＜； a5 1

令g′(x)＜0，得x＞.a則g(x)在(1，a)上遞增趨勢的，所以當x∈(1，a)時，g(x)＞g(1)＝0，即0＜a＜1時不滿足題意(舍去)． 1

③當a≤0時，g′(x)＝－a＞0，則g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， x

所以當x∈(1，＋∞)時，g(x)＞g(1)＝0，即a≤0時不滿足題意(舍去)．綜上所述，實數(shù)a的范圍為1到＋∞．這類題目難度比較大，涉及的高中知識比較多，同樣也是非常重要的知識。比如函數(shù)與不等式，函數(shù)在平面直角坐標系位置關系以及同時涉及到初中學到的不等式的性質(zhì)還有恒成立的關鍵條件以及恒成立的結果。所以此類問題綜合性還是很大的，如果對于其中一個或者多個知識點不了解的話，解題就會出現(xiàn)毫無思路，或者出現(xiàn)短路，知識點焊接不起來，這也也是非常嚴重的。所以我們在學會求導的方法的同時，對于知識點把握也要有很強的掌控能力，在這些知識點都掌握的情況下我們再去分析導數(shù)在期中的作用，就可以判定函數(shù)在平面直角坐標系的走向以及最值的在直角坐標系中的位置特點，這樣我們就能夠很清晰的理解不等式恒成立的條件了。在了解恒成立的條件之后，我們再去利用不等式的性質(zhì)，就能得到需要的區(qū)間，導數(shù)在這個題目的用處也就得以體現(xiàn)。我們舉一個簡單的例子，我們在喝一個封閉的牛奶時，有的學生可以把蓋子打