2013年湖南省高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2013?湖南）復(fù)數(shù)z=i?（1+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法3．（5分）（2013?湖南）在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b．若2asinB=b，則角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013?湖南）若變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013?湖南）函數(shù)f（x）=2lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x2﹣4x+5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013?湖南）已知，是單位向量，，若向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．7．（5分）（2013?湖南）已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB邊上異于AB的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖1），若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP等于（）A．2B．1C．D．二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，第小題5分，共35分．（一）選做題（請(qǐng)考生在第9，10，11三題中任選兩題作答、如果全做，則按前兩題記分）（二）必做題（12～16題）9．（2013?湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：，（t為參數(shù)）過(guò)橢圓C：（θ為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_(kāi)________．10．（5分）（2013?湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為_(kāi)________．11．（5分）（2013?湖南）如圖，在半徑為的⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=PB=2，PD=1，則圓心O到弦CD的距離為_(kāi)________．12．（5分）（2013?湖南）若，則常數(shù)T的值為_(kāi)________．13．（5分）（2013?湖南）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a=1，b=2，則輸出的a的值為_(kāi)________．14．（5分）（2013?湖南）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_(kāi)________．15．（5分）（2013?湖南）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，n∈N*，則（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013?湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對(duì)應(yīng)的f（x）的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)________．（2）若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是_________．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②?x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）（2013?湖南）已知函數(shù)，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013?湖南）某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米．（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）（2013?湖南）如圖，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）證明：AC⊥B1D；（II）求直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013?湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱(chēng)為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”．某地有三個(gè)新建居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）處．現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心．（I）寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小．21．（13分）（2013?湖南）過(guò)拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2．l1與E交于點(diǎn)A，B，l2與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l．（I）若k1＞0，k2＞0，證明：；（II）若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．22．（13分）（2013?湖南）已知a＞0，函數(shù)．（I）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；（II）是否存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】z=i·(1+i)=i–1,所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)(-1,1).選B選B2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法【答案】D【解析】因?yàn)槌闃拥哪康呐c男女性別有關(guān)，所以采用分層抽樣法能夠反映男女人數(shù)的比例。選D3.在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若A．B．C．D．【答案】D【解析】選D4.若變量滿(mǎn)足約束條件，A．B．C．D．【答案】C【解析】區(qū)域?yàn)槿切?，直線u=x+2y經(jīng)過(guò)三角形頂點(diǎn)選C5.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，在x軸上方，對(duì)稱(chēng)軸為x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln4>1.所以g(2)<f(2),從圖像上可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2選B6.已知是單位向量，.若向量滿(mǎn)足A．B．C．D．【答案】A【解析】的模為1，可以在單位圓中解得。選A7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知，正方體的棱長(zhǎng)為1，。選C8.在等腰三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）.若光線經(jīng)過(guò)的中心，則等A．B．C．D．【答案】D【解析】使用解析法。。選D二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，若右頂點(diǎn)，則常數(shù)3.【答案】3【解析】10.已知12.【答案】12【解析】.11.如圖2，在半徑為的中,弦.【答案】【解析】必做題（12-16題）12.若3.【答案】3【解析】13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入9.【答案】9【解析】14．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若且的最小內(nèi)角為，則C的離心率為_(kāi)__?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)P點(diǎn)在右支上，15．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（1）_____；（2）___________?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)P點(diǎn)在右支上，16．設(shè)函數(shù)（1）記集合，則所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)___?！敬鸢浮俊窘馕觥?。所以f(x)的零點(diǎn)集合為（2）若=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③若【答案】=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③【解析】1所以=1\*GB3①正確。所以=2\*GB3②正確。。所以=3\*GB3③正確。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)。（=1\*ROMANI）若是第一象限角，且。求的值；（=2\*ROMANII）求使成立的x的取值集合?！敬鸢浮浚?1\*ROMANI） （=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）.（=2\*ROMANII）.(完)18．（本小題滿(mǎn)分12分）某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。（=1\*ROMANI）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（=2\*ROMANII）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）【解析】(Ⅰ)由圖知，三角形邊界共有12個(gè)格點(diǎn),內(nèi)部共有3個(gè)格點(diǎn).從三角形上頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始，分別有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1對(duì)格點(diǎn)，共8對(duì)格點(diǎn)恰好“相近”。所以，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率（Ⅱ）三角形共有15個(gè)格點(diǎn)。與周?chē)顸c(diǎn)的距離不超過(guò)1米的格點(diǎn)數(shù)都是1個(gè)的格點(diǎn)有2個(gè)，坐標(biāo)分別為(4,0),(0,4)。與周?chē)顸c(diǎn)的距離不超過(guò)1米的格點(diǎn)數(shù)都是2個(gè)的格點(diǎn)有4個(gè)，坐標(biāo)分別為(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。與周?chē)顸c(diǎn)的距離不超過(guò)1米的格點(diǎn)數(shù)都是3個(gè)的格點(diǎn)有6個(gè)，坐標(biāo)分別為(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，3,)。與周?chē)顸c(diǎn)的距離不超過(guò)1米的格點(diǎn)數(shù)都是4個(gè)的格點(diǎn)有3個(gè)，坐標(biāo)分別為(1，1),(1,2),(2,1)。如下表所示：X1234Y51484542頻數(shù)2463概率P. (完)19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖5，在直棱柱（=1\*ROMANI）證明：；（=2\*ROMANII）求直線所成角的正弦值?！敬鸢浮浚á瘢┮?jiàn)下 （Ⅱ）【解析】(Ⅰ).(證畢)（Ⅱ）。(完)20．（本小題滿(mǎn)分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)處?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。（=1\*ROMANI）寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（=2\*ROMANII）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小?！敬鸢浮浚á瘢ヾ=|x–3|+|y–20|，（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足P(3,1)時(shí),其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小為45【解析】(Ⅰ),，其中（Ⅱ）本問(wèn)考查分析解決應(yīng)用問(wèn)題的能力，以及絕對(duì)值的基本知識(shí)。點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值d=水平距離之和的