2015年廣東省茂名市中考數(shù)學試卷

2015年廣東省茂名市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個答案，其中只有一個是正確的）1．（3分）|﹣3|等于（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣2．（3分）如圖是一個正方體的平面展開圖，折疊成正方體后與“建”字所在面相對的面的字是（）A．創(chuàng) B．教 C．強 D．市3．（3分）下列各式計算正確的是（）A．5a+3a＝8a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a3?a7＝a10 D．（a3）2＝a74．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B＝70°，則∠D的度數(shù)是（）A．110° B．90° C．70° D．50°5．（3分）在等腰三角形、平行四邊形、直角梯形和圓中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．等腰三角形 B．平行四邊形 C．直角梯形 D．圓6．（3分）下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個三角形全等 B．矩形的四條邊一定相等 C．一個圖形和它旋轉后所得圖形的對應線段相等 D．隨機投擲一枚質地均勻的硬幣，落地后一定是正面朝上7．（3分）為了幫扶本市一名特困兒童，某班有20名同學積極捐款，他們捐款的數(shù)額如下表：捐款的數(shù)額（單位：元）205080100人數(shù)（單位：名）6743對于這20名同學的捐款，眾數(shù)是（）A．20元 B．50元 C．80元 D．100元8．（3分）如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PD＝6，則點P到邊OB的距離為（）A．6 B．5 C．4 D．39．（3分）在平面直角坐標系中，下列函數(shù)的圖象經過原點的是（）A．y＝ B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x2+1 D．y＝5x10．（3分）張三和李四兩人加工同一種零件，每小時張三比李四多加工5個零件，張三加工120個這種零件與李四加工100個這種零件所用時間相等，求張三和李四每小時各加工多少個這種零件？若設張三每小時經過這種零件x個，則下面列出的方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）﹣8的立方根是．12．（3分）一個多邊形的內角和是720°，那么這個多邊形是邊形．13．（3分）不等式x﹣4＜0的解集是．14．（3分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與C′重合．若AB＝3，則C′D的長為．15．（3分）為了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M＝1+3+32+33+…+3100，則3M＝3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M＝3101﹣1，所以M＝，即1+3+32+33+…+3100＝，仿照以上推理計算：1+5+52+53+…+52015的值是．三、用心做一做（本大題共3小題，每小題7分，共21分）16．（7分）計算：（﹣）﹣1﹣|﹣4|++（sin30°）0．17．（7分）設y＝ax，若代數(shù)式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化簡的結果為x2，請你求出滿足條件的a值．18．（7分）補充完整三角形中位線定理，并加以證明：（1）三角形中位線定理：三角形的中位線；（2）已知：如圖，DE是△ABC的中位線，求證：DE∥BC，DE＝BC．四、沉著冷靜，縝密思考（本大題共2小題，每小題7分，共14分）19．（7分）某校為了豐富學生的第二課堂，對學生參與演講、舞蹈、書法和攝影活動的興趣情況進行調查，學校采取隨機抽樣的方法進行問卷調查（每個被調查的學生必須選擇而且只能選擇其中最感興趣的一項），對調查結果進行統(tǒng)計后，繪制了如下兩個統(tǒng)計圖：（1）此次調查抽取的學生人數(shù)m＝名，其中選擇“書法”的學生占抽樣人數(shù)的百分比n＝；（2）若該校有3000名學生，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該校對“書法”最感興趣的學生人數(shù)．20．（7分）在一個不透明的袋中裝有2個黃球，3個黑球和5個紅球，它們除顏色外其他都相同．（1）將袋中的球搖均勻后，求從袋中隨機摸出一個球是黃球的概率；（2）現(xiàn)在再將若干個紅球放入袋中，與原來的10個球均勻混合在一起，使從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是，請求出后來放入袋中的紅球的個數(shù)．五、滿懷信心，再接再厲（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．（8分）如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經過C地，圖中AC＝20千米，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設一條筆直的輸電線路．（1）求新鋪設的輸電線路AB的長度；（結果保留根號）（2）問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米？（結果保留根號）22．（8分）在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標是橫坐標的2倍的點稱之為“理想點”，例如點（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想點”，顯然這樣的“理想點”有無數(shù)多個．（1）若點M（2，a）是反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）圖象上的“理想點”，求這個反比例函數(shù)的表達式；（2）函數(shù)y＝3mx﹣1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”嗎？若存在，請求出“理想點”的坐標；若不存在，請說明理由．23．（8分）某公司生產的某種產品每件成本為40元，經市場調查整理出如下信息：①該產品90天內日銷售量（m件）與時間（第x天）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：時間（第x天）13610…日銷售量（m件）198194188180…②該產品90天內每天的銷售價格與時間（第x天）的關系如下表：時間（第x天）1≤x＜5050≤x≤90銷售價格（元/件）x+60100（1）求m關于x的一次函數(shù)表達式；（2）設銷售該產品每天利潤為y元，請寫出y關于x的函數(shù)表達式，并求出在90天內該產品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【提示：每天銷售利潤＝日銷售量×（每件銷售價格﹣每件成本）】（3）在該產品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于5400元，請直接寫出結果．六、靈動管理，超越自我（本大題共2小題，每小題8分，共16分）24．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．25．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）兩點，與y軸相切于點B（0，4）．（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切；（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標．

2015年廣東省茂名市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個答案，其中只有一個是正確的）1．【分析】絕對值的性質：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值是0．【解答】解：根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，得|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．故選A．【點評】本題考查了絕對值的意義．2．【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．【解答】解：∵正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，∴“建”與“強”是相對面．故選：C．【點評】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．3．【分析】利用冪的運算性質、合并同類項及完全平方公式進行計算后即可確定正確的選項．【解答】解：A、5a+3a＝8a，故錯誤；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故錯誤；C、a3?a7＝a10，正確；D、（a3）2＝a6，故錯誤．故選：C．【點評】本題考查了冪的運算性質、合并同類項及完全平方公式，解題的關鍵是能夠了解有關冪的運算性質，難度不大．4．【分析】先根據(jù)圓內接四邊形的對角互補得出∠D+∠B＝180°，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°，故選：A．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形對角互補的性質是解答此題的關鍵．5．【分析】利用軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質判斷即可．【解答】解：在等腰三角形、平行四邊形、直角梯形和圓中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是圓．故選：D．【點評】此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．6．【分析】直接根據(jù)全等三角形的判定定理、矩形的性質、旋轉的性質以及概率的知識對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、面積相等的兩個三角形不一定全等，此選項錯誤；B、矩形的對邊相等，此選項錯誤；C、一個圖形和它旋轉后所得圖形的對應線段相等，此選項正確；D、隨機投擲一枚質地均勻的硬幣，落地后不一定是正面朝上，此選項錯誤；故選：C．【點評】本題主要考查了命題與定理的知識，解答本題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性質、旋轉的性質以及概率的知識，此題難度不大．7．【分析】眾數(shù)指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，結合題意即可得出答案．【解答】解：由題意得，所給數(shù)據(jù)中，50元出現(xiàn)了7次，次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為50元．故選：B．【點評】此題考查了眾數(shù)的定義及求法，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)．8．【分析】過點P作PE⊥OB于點E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PE＝PD，從而得解．【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB于點E，∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D，∴PE＝PD，∵PD＝6，∴PE＝6，即點P到OB的距離是6．故選：A．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，是基礎題，比較簡單，熟記性質是解題的關鍵．9．【分析】將（0，0）代入各選項進行判斷即可．【解答】解：A、當x＝0時，y＝無意義，不經過原點，故本選項錯誤；B、當x＝0時，y＝3，不經過原點，故本選項錯誤；C、當x＝0時，y＝1，不經過原點，故本選項錯誤；D、當x＝0時，y＝0，經過原點，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象、反比例函數(shù)圖象及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，注意代入判斷，難度一般10．【分析】根據(jù)每小時張三比李四多加工5個零件和張三每小時加工這種零件x個，可知李四每小時加工這種零件的個數(shù)，根據(jù)張三加工120個這種零件與李四加工100個這種零件所用時間相等，列出方程即可．【解答】解：設張三每小時加工這種零件x個，則李四每小時加工這種零件（x﹣5）個，由題意得，＝，故選：B．【點評】本題考查的是列分式方程解應用題，根據(jù)題意準確找出等量關系是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．【分析】利用立方根的定義即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了立方根的概念．如果一個數(shù)x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么這個數(shù)x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．讀作“三次根號a”其中，a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)．12．【分析】n邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，設這個正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝720°，解得：n＝6．則這個正多邊形的邊數(shù)是六，故答案為：六．【點評】考查了多邊形內角和定理，此題比較簡單，只要結合多邊形的內角和公式，尋求等量關系，構建方程求解．13．【分析】根據(jù)不等式的性質移項后即可得到答案．【解答】解：x﹣4＜0，移項得：x＜4．故答案為：x＜4．【點評】本題主要考查對不等式的性質，解一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能根據(jù)不等式的性質正確解一元一次不等式是解此題的關鍵．14．【分析】根據(jù)矩形的對邊相等可得CD＝AB，再根據(jù)翻折變換的性質可得C′D＝CD，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊后點C和點C′重合，∴C′D＝CD，∴C′D＝AB，∵AB＝3，∴C′D＝3．故答案為3．【點評】本題考查了矩形的對邊相等的性質，翻折變換的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．15．【分析】根據(jù)題目信息，設M＝1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相減計算即可得解．【解答】解：設M＝1+5+52+53+…+52015，則5M＝5+52+53+54…+52016，兩式相減得：4M＝52016﹣1，則M＝．故答案為．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，讀懂題目信息，理解求和的運算方法是解題的關鍵．三、用心做一做（本大題共3小題，每小題7分，共21分）16．【分析】本題涉及負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．【解答】解：（﹣）﹣1﹣|﹣4|++（sin30°）0＝﹣3﹣4+5+1＝﹣1．【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．17．【分析】先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）＝（x+y）2，再把當y＝ax代入得到原式＝（a+1）2x2，所以當（a+1）2＝1滿足條件，然后解關于a的方程即可．【解答】解：原式＝（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）＝（x+y）2，當y＝ax，代入原式得（1+a）2x2＝x2，即（1+a）2＝1，解得：a＝﹣2或0．【點評】本題考查了因式分解的運用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．18．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理填寫即可；（2）延長DE到F，使FE＝DE，連接CF，利用“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A＝∠ECF，全等三角形對應邊相等可得AD＝CF，然后求出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質證明即可．【解答】（1）解：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；故答案為：平行于第三邊，且等于第三邊的一半；（2）證明：如圖，延長DE到F，使FE＝DE，連接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出全等三角形和平行四邊形．四、沉著冷靜，縝密思考（本大題共2小題，每小題7分，共14分）19．【分析】（1）利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖得出參與演講的人數(shù)和所占百分比，進而求出總人數(shù)，再求出參加書法的人數(shù)，進而求出占抽樣人數(shù)的百分比；（2）利用（1）中所求得出該校對“書法”最感興趣的學生人數(shù)．【解答】解：（1）由題意可得：此次調查抽取的學生人數(shù)m＝30÷20%＝150，選擇“書法”的學生占抽樣人數(shù)的百分比n＝（150﹣30﹣60﹣15）÷150×100%＝30%；故答案為：150，30%；（2）由（1）得：3000×30%＝900（名），答：該校對“書法”最感興趣的學生人數(shù)為900名．【點評】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的綜合應用，根據(jù)已知圖形得出正確信息是解題關鍵．20．【分析】（1）用黃球的個數(shù)除以所有球的個數(shù)即可求得概率；（2）根據(jù)概率公式列出方程求得紅球的個數(shù)即可．【解答】解：（1）∵共10個球，有2個黃球，∴P（黃球）＝＝；（2）設有x個紅球，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝5．故后來放入袋中的紅球有5個．【點評】此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．五、滿懷信心，再接再厲（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．【分析】（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與AD的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，由AD+DB求出AB的長即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的長，由AC+CB﹣AB即可求出輸電線路比原來縮短的千米數(shù)．【解答】解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在Rt△ACD中，CD＝AC?sin∠CAD＝20×＝10（千米），AD＝AC?cos∠CAD＝20×＝10（千米），在Rt△BCD中，BD＝＝＝10（千米），∴AB＝AD+DB＝10+10＝10（+1）（千米），則新鋪設的輸電線路AB的長度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：BC＝＝10（千米），∴AC+CB﹣AB＝20+10﹣（10+10）＝10（1+﹣）（千米），則整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了10（1+﹣）千米．【點評】此題考查了解直角三角形的應用，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．22．【分析】（1）根據(jù)“理想點”，確定a的值，即可確定M點的坐標，代入反比例函數(shù)解析式，即可解答；（2）假設函數(shù)y＝3mx﹣1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx﹣1＝2x，整理得：（3m﹣2）x＝1，分兩種情況討論：當3m﹣2≠0，即m≠時，解得：x＝，當3m﹣2＝0，即m＝時，x無解，即可解答．【解答】解：∵點M（2，a）是反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）圖象上的“理想點”，∴a＝4，∵點M（2，4）在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）圖象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）假設函數(shù)y＝3mx﹣1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx﹣1＝2x，整理得：（3m﹣2）x＝1，當3m﹣2≠0，即m≠時，解得：x＝，當3m﹣2＝0，即m＝時，x無解，綜上所述，當m≠時，函數(shù)圖象上存在“理想點”，為（）；當m＝時，函數(shù)圖象上不存在“理想點”．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，解決本題的關鍵是理解“理想點”的定義，確定點的坐標．23．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出一次函數(shù)解析式即可；（2）設利潤為y元，則當1≤x＜50時，y＝﹣2x2+160x+4000；當50≤x≤90時，y＝﹣120x+12000，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結論；（3）直接寫出在該產品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元．【解答】解：（1）∵m與x成一次函數(shù)，∴設m＝kx+b，將x＝1，m＝198，x＝3，m＝194代入，得：，解得：．所以m關于x的一次函數(shù)表達式為m＝﹣2x+200；（2）設銷售該產品每天利潤為y元，y關于x的函數(shù)表達式為：，當1≤x＜50時，y＝﹣2x2+160x+4000＝﹣2（x﹣40）2+7200，∵﹣2＜0，∴當x＝40時，y有最大值，最大值是7200；當50≤x≤90時，y＝﹣120x+12000，∵﹣120＜0，∴y隨x增大而減小，即當x＝50時，y的值最大，最大值是6000；綜上所述，當x＝40時，y的值最大，最大值是7200，即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元；（3）在該產品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元．【點評】本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是正確寫出分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題．六、靈動管理，超越自我（本大題共2小題，每小題8分，共16分）24．【分析】（1）根據(jù)題意得出BM，CN，易得BN，BA，分類討論當△BMN∽△BAC時，利用相似三角形的性質得，解得t；當△BMN∽△BCA時，，解得t，綜上所述，△BMN與△ABC相似，得t的值；（2）過點M作MD⊥CB于點D，利用銳角三角函數(shù)易得DM，BD，由BM＝3tcm，CN＝2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性質得，解得t．【解答】解：（1）由題意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝（8﹣2t）cm，BA＝＝10（cm），當△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t＝；當△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t＝，∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM＝BMsinB＝3t＝（cm），BD＝BMcosB＝3t＝t（cm），BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴CD＝（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴＝，解得t＝或t＝0（舍棄）．∴t＝．【點評】本題主要考查了動點問題，相似三角形的判定及性質等，分類討論，數(shù)形結合是解答此題的關鍵．25．【分析】（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函數(shù)的解析式即可得到結果；（2）由y＝x2+x