2018年秋新課堂高中數(shù)學(xué)人教B版必修四學(xué)案第2章21213向量的減法

向量的減法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義．(重點)2.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．(難點)3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算．(易混點)[自主預(yù)習(xí)·探新知]1．向量的減法(1)向量減法的定義：已知向量a，b(如圖2-1-27)，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，作eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則b＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，向量eq\o(BA,\s\up8(→))叫做向量a與b的差，并記作a－b，即eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)).圖2-1-27(2)向量減法的兩個重要結(jié)論：①如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點的向量．②一個向量eq\o(BA,\s\up8(→))等于它的終點相對于點O的位置向量eq\o(OA,\s\up8(→))減去它的始點相對于點O的位置向量eq\o(OB,\s\up8(→))，或簡記“終點向量減始點向量”．2．相反向量(1)相反向量的定義：與向量a方向相反且等長的向量叫做a的相反向量，記作－a.(2)相反向量的性質(zhì)：①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.(3)向量減法的理解：在向量減法的定義式b＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝a的兩邊同時加(－b)，由b＋(－b)＝0得eq\o(BA,\s\up8(→))＝a＋(－b)，這就是說，從一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．思考：“向量的減法實質(zhì)是向量加法的逆運算”，這種說法對嗎？[提示]對．利用相反向量的定義，就可以把向量減法化為向量加法．[基礎(chǔ)自測]1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)設(shè)b是a的相反向量，判斷下列說法的正誤．(1)a與b的長度必相等．()(2)a∥b.()(3)a與b一定不相等．()(4)a是b的相反向量．()[解析]由相反向量的定義可知|a|＝|b|，a∥b，a也是b的相反向量，故(1)(2)(4)正確．當(dāng)a＝0時，0＝－0，此時b＝0，所以可以有a＝b＝0.故(3)錯誤．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up8(→))的相反向量是()【導(dǎo)學(xué)號：79402054】A．a(chǎn)－b B．b－aC．a(chǎn)＋b D．－a－bA[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－a，所以eq\o(BD,\s\up8(→))的相反向量為a－b.]3．下列等式中，正確的個數(shù)為()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3 B．4C．5 D．6C[只有⑥不正確，故選C.]4．在△ABC中，D為BC的中點，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝d，則d－a＝________.[解析]d－a＝d＋(－a)＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝c.[答案]c[合作探究·攻重難]向量減法及其幾何意義(1)eq\o(AC,\s\up8(→))可以寫成：①eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))；②eq\o(AO,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))；③eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))；④eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)).其中正確的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④(2)化簡：①eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝________；②eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(CO,\s\up8(→))＝________.(3)已知菱形ABCD的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))的模為________，|eq\o(AC,\s\up8(→))|的范圍是________．[思路探究]運用向量減法的三角形法則及相反向量求解．[解析](1)因為eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，所以選D.(2)①eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝0；②eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(CO,\s\up8(→))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))－(eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→)).(3)因為eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2.又因為eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，且在菱形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2，所以||eq\o(AB,\s\up8(→))|－|eq\o(AD,\s\up8(→))||<|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))|<|eq\o(AB,\s\up8(→))|＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|，即0<|eq\o(AC,\s\up8(→))|<4.[答案](1)D(2)①0②eq\o(AB,\s\up8(→))(3)2(0,4)[規(guī)律方法]1．向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系：(1)如圖所示，平行四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up8(→))＝a－b.(2)類比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量減法的三角形法則，即把減向量與被減向量的起點重合，則差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點．3．向量加減法化簡的兩種形式：(1)首尾相連且為和．(2)起點相同且為差．做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應(yīng)用．[跟蹤訓(xùn)練]1．下列各式中不能化簡為eq\o(AD,\s\up8(→))的是()【導(dǎo)學(xué)號：79402055】A．(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))－eq\o(CB,\s\up8(→))B．eq\o(AD,\s\up8(→))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))C．－(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→)))－(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))D．－eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))D[選項A中(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))；選項B中eq\o(AD,\s\up8(→))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－0＝eq\o(AD,\s\up8(→))；選項C中－(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→)))－(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))＝－eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→))－eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＝(eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→)))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).]利用已知向量表示其他向量如圖2-1-28所示，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，eq\o(OE,\s\up8(→))＝e，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，試用a，b，c，d，e，f表示：圖2-1-28(1)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))；(2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))；(3)eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)).[思路探究]運用三角形法則和平行四邊形法則，將所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和與差來表示．[解](1)∵eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，∴eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝d－b.(2)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝b＋f－a－c.(3)∵eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，∴eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))＝f－d.[規(guī)律方法]1．解決此類問題應(yīng)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、平行向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．2．通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決問題時，運算過程中，將“－”改為“＋”，只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up8(→))”改為“eq\o(BA,\s\up8(→))”．[跟蹤訓(xùn)練]2.如圖2-1-29，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AE,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))及eq\o(CE,\s\up8(→)).圖2-1-29[解]∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＝c，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝b－a＋c.向量減法的三角不等式及其取等條件[探究問題]1．若|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up8(→))|的取值范圍是什么？[提示]由eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))及三角不等式，得|eq\o(BA,\s\up8(→))|－|eq\o(AC,\s\up8(→))|≤|eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|≤|eq\o(BA,\s\up8(→))|＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|，又因為|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝8，所以3≤|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|≤13，即|eq\o(BC,\s\up8(→))|∈[3,13]．2．已知向量a，b，那么|a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？[提示]它們之間的關(guān)系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)當(dāng)a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立．(2)當(dāng)a，b不共線時，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OB,\s\up8(→))，如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可證||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法同上，如圖(2)所示，此時|a＋b|＝|a|＋|b|.②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法同上，如圖(3)所示，此時|a＋b|＝|a|－|b|.綜上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.設(shè)a和b的長度均為6，夾角為eq\f(2π,3)，則|a－b|等于________．[思路探究]畫出平行四邊形數(shù)形結(jié)合求解．[解析]如圖，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|，在Rt△BCO中，∠BOC＝eq\f(π,3)，|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝6，∴|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝3eq\r(3)，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝6eq\r(3).[答案]6eq\r(3)[規(guī)律方法]利用“三角形法則、平行四邊形法則”把向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題，然后利用平面幾何中的方法進行數(shù)量的計算或位置關(guān)系的判斷也是本節(jié)的一個解題技巧，采用數(shù)形結(jié)合的方法?？梢院喕\算，達到巧解的目的.[跟蹤訓(xùn)練]3．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【導(dǎo)學(xué)號：79402056】[解]如圖，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，再以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則有eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b，即|a＋b|與|a－b|是平行四邊形的兩條對角線的長度，又因為|a＋b|＝|a－b|，所以該四邊形為矩形，從而|a－b|＝eq\r(62＋82)＝10.[當(dāng)堂達標(biāo)·固雙基]1．化簡eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))所得結(jié)果是()A．eq\o(MP,\s\up8(→)) B.eq\o(NP,\s\up8(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up8(→))C[本題考查向量的加法與減法．法一利用減法做，要注意①共始點，②方向指向被減向量．Peq\o(M,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝0；法二把減法轉(zhuǎn)化為加法：eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝0；法三利用結(jié)合律先計算加法：eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝(eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→)))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝0.]2．如圖2-1-30所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是()【導(dǎo)學(xué)號：79402057】圖2-1-30A.eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)) B.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→)) D.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0C[A項顯然正確，由平行四邊形法則知B項正確.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(DB,\s\up8(→))，故C項錯誤．D項中eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝0.]3．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) B.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))C.eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) D.eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))B[因為O，E，F(xiàn)三點不共線，所以在△OEF中，由向量減法的幾何意義，得eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq