2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計一輪復(fù)習(xí)浙江專版講義第三章第四節(jié)函數(shù)的圖象

第四節(jié)函數(shù)的圖象1．描點法作圖其基本步驟是列表、描點、連線，具體為：(1)①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性)．(2)列表(注意特殊點、零點、最大值點、最小值點以及坐標軸的交點)．(3)描點，連線．2．圖象變換(1)平移變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a＞0，右移a個單位),\s\do5(a＜0，左移|a|個單位))y＝f(x－a)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(b＞0，上移b個單位),\s\do5(b＜0，下移|b|個單位))y＝f(x)＋b的圖象．(2)對稱變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱),\s\do5())y＝－f(x)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱),\s\do5())y＝f(－x)的圖象；③y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱),\s\do5())y＝－f(－x)的圖象；④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對稱),\s\do5())y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象．(3)伸縮變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a＞1，橫坐標縮短為原來的\f(1),\s\do5(a)，縱坐標不變,0＜a＜1，橫坐標伸長為原來的\f(1,a)倍，縱坐標不變))y＝f(ax)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a＞1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do5(0＜a＜1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變))y＝af(x)的圖象．(4)翻折變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象．[小題體驗]1．(2018·湖州模擬)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1的圖象關(guān)于直線y＝x對稱的圖象大致是()解析：選A函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1的圖象如圖所示，關(guān)于y＝x對稱的圖象大致為A選項對應(yīng)圖象．2．已知圖①中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C1．函數(shù)圖象的每次變換都針對自變量“x”而言，如從f(－2x)的圖象到f(－2x＋1)的圖象是向右平移eq\f(1,2)個單位，其中是把x變成x－eq\f(1,2).2．明確一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱與兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的不同，前者是自身對稱，且為偶函數(shù)，后者是兩個不同函數(shù)的對稱關(guān)系．如函數(shù)y＝f(|x|)的圖象屬于自身對稱，而y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱是兩個函數(shù)．[小題糾偏]1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)．(1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．()(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．()(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．()答案：(1)×(2)×(3)√2．將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)________的圖象．答案：y＝f(－x＋1)3．把函數(shù)y＝f(2x)的圖象向右平移________個單位得到函數(shù)y＝f(2x－3)的圖象．答案：eq\f(3,2)eq\a\vs4\al(考點一作函數(shù)的圖象)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)[題組練透]分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.解：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0＜x＜1.))圖象如圖1.(2)將y＝2x的圖象向左平移2個單位．圖象如圖2.(3)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0.))圖象如圖3.[謹記通法]畫圖的3種常用方法eq\a\vs4\al(考點二識圖與辨圖)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．若對任意的x∈R，y＝eq\r(1－a|x|)均有意義，則函數(shù)y＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))的大致圖象是()解析：選B由題意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0＜a＜1.y＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－loga|x|是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選B.2．如圖，矩形ABCD的周長為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動，且MN＝1，當(dāng)N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()解析：選D法一：由題意可知點P的軌跡為圖中虛線所示，其中四個角均是半徑為eq\f(1,2)的扇形．因為矩形ABCD的周長為8，AB＝x，則AD＝eq\f(8－2x,2)＝4－x所以y＝x(4－x)－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，且當(dāng)x＝2時，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故選D.法二：在判斷出點P的軌跡后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝1時，y＝3－eq\f(π,4)∈(2,3)，故選D.[由題悟法]識圖3種常用的方法[即時應(yīng)用]1．(2018·浙江名校聯(lián)考信息卷三)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1＋ex)))sinx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))在[－2π，2π]上圖象的大致形狀是()解析：選A因為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1＋ex)))sinx＝eq\f(ex－1,ex＋1)sinx，f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)sin(－x)＝eq\f(1－ex,1＋ex)(－sinx)＝eq\f(ex－1,ex＋1)sinx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項C、D，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞0，可排除選項B.故選A.2．如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為()解析：選B當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會是直線段，從而排除A、C.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2).∵2eq\r(2)＜1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，從而排除D，故選B.eq\a\vs4\al(考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——多角探明)[鎖定考向]函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．常見的命題角度有：(1)研究函數(shù)的性質(zhì)；(2)求參數(shù)的值或取值范圍；(3)求不等式的解集．[題點全練]角度一：研究函數(shù)的性質(zhì)1．已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)解析：選C將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減．角度二：求參數(shù)的值或取值范圍2．若不等式(x－1)2＜logax(a＞0，且a≠1)在x∈(1,2)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(1,2]B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)解析：選A要使當(dāng)x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函數(shù)y＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在y＝logax的圖象的下方即可．當(dāng)0＜a＜1時，顯然不成立；當(dāng)a＞1時，如圖，要使x∈(1,2)時，y＝(x－1)2的圖象在y＝logax的圖象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故實數(shù)a的取值范圍為(1,2]．角度三：求不等式的解集3．如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}解析：選C令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}．[通法在握]函數(shù)圖象應(yīng)用的常見題型與求解策略(1)研究函數(shù)性質(zhì)：①根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象，從最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值．②從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性．③從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．④從圖象與x軸的交點情況，分析函數(shù)的零點等．(2)研究方程根的個數(shù)或由方程根的個數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．[演練沖關(guān)]1．(2018·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若實數(shù)a，b滿足f(a)＝f(b)(a≠b)，則ab的值為()A．2 B．eC.eq\f(1,e) D．1解析：選D作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，若f(a)＝f(b)(a≠b)，設(shè)a＜b，則0＜a＜1，b＞1，即|lna|＝|lnb|，則－lna＝lnb，則lna＋lnb＝lnab＝0，即ab＝1，故選D.2．(2018·廣州五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≥0，,x2－2x，x＜0，))若f(3－a2)＜f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：如圖，畫出f(x)的圖象，由圖象易得f(x)在R上單調(diào)遞減，∵f(3－a2)＜f(2a)，∴3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.答案：(－3,1)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2018·金華期末)若函數(shù)y＝f(x)定義域為實數(shù)集R，則函數(shù)y＝f(1－x)與y＝f(x－1)的圖象關(guān)于()A．直線y＝0對稱 B．直線x＝0對稱C．直線y＝1對稱 D．直線x＝1對稱解析：選D假設(shè)f(x)＝x2，則f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(1－x)2＝(x－1)2，它們是同一個函數(shù)，此函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱．2．函數(shù)f(x)＝xe－|x|的圖象可能是()解析：選C因為函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除A、B；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝xe－x，因為e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)時，其圖象恒在x軸上方，排除D，故選C.3．(2019·臺州三校適考)函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3x－1)的大致圖象是()解析：選C由函數(shù)f(x)的解析式可知，f(x)的定義域為{x|x≠0}，排除選項A；當(dāng)x＜0時，x3＜0,3x－1＜0，所以f(x)＞0，排除選項B；當(dāng)x→＋∞時，f(x)→0，排除選項D.故選C.4．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)的定義域是________．解析：當(dāng)f(x)＞0時，函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖象知滿足f(x)＞0時，x∈(2,8]．答案：(2,8]5．(2018·金華名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ax2＋bx＋c)的部分圖象如圖所示，則a＋b＋c＝________.解析：由圖象知2,4是y＝ax2＋bx＋c的兩根，又由二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的對稱性和圖象知頂點為(3,1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，,c＝－8.))則a＋b＋c＝－3.答案：－3二保高考，全練題型做到高考達標1．(2019·紹興模擬)已知f(x)＝x2cosx，則f(x)的部分圖象大致是()解析：選B因為函數(shù)f(x)＝x2cosx，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，排除A、C，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)＞0，排除D，故選B.2．下列函數(shù)f(x)圖象中，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＞f(3)＞f(2)的只可能是()解析：選D因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＞f(3)＞f(2)，所以函數(shù)f(x)有增有減，排除A，B.在C中，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＜f(3)，排除C，選D.3．(2018·寧波模擬)在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝ax，y＝sinax的部分圖象，其中a＞0且a≠1，則下列所給圖象中可能正確的是()解析：選D當(dāng)a＞1時，y＝sinax的周期小于2π，排除A、C，當(dāng)0＜a＜1時，y＝sinax的周期大于2π，故選D.4．(2017·臺州期中)函數(shù)y＝eq\f(x,x2＋a)的大致圖象如圖所示，則()A．a(chǎn)∈(－1,0) B．a(chǎn)∈(0,1)C．a(chǎn)∈(－∞，1) D．a(chǎn)∈(1，＋∞)解析：選B當(dāng)x＝0時，y＝0，故a≠0，當(dāng)x＞0時，y＝eq\f(x,x2＋a)＞0恒成立，即a＞－x2恒成立，所以a＞0，所以y＝eq\f(x,x2＋a)＝eq\f(1,x＋\f(a,x))≤eq\f(1,2\r(a))，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(a)時取等號，由圖知，當(dāng)x＞0時，函數(shù)取得最大值時相應(yīng)的x的值小于1，所以0＜eq\r(a)＜1，所以0＜a＜1.5．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍為()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(0,1) D．(－∞，＋∞)解析：選Ax≤0時，f(x)＝2－x－1，0＜x≤1時，－1＜x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.故x＞0時，f(x)是周期函數(shù)，如圖所示．若方程f(x)＝x＋a有兩個不同的實數(shù)根，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同交點，故a＜1，即a的取值范圍是(－∞，1)．6．(2018·稽陽聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x≤0，,logc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,9)))，x＞0))的圖象如圖所示，則a＋b＋c＝________.解析：由圖象可求得直線的方程為y＝2x＋2，又函數(shù)y＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,9)))的圖象過點(0,2)，將其坐標代入可得c＝eq\f(1,3)，所以a＋b＋c＝2＋2＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3).答案：eq\f(13,3)7．(2018·金華名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log21－x|，x＜1，,－x－32＋5，x≥1，))若直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象交于四點，且四點的橫坐標從左至右分別是x1，x2，x3，x4，則z＝(x1－1)(x2－1)(x3－1)(x4－1)的取值范圍是________．解析：作出直線y＝m和函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由題意知x1＜1，x2＜1，且|log2(1－x1)|＝|log2(1－x2)|，即log2(1－x1)＝－log2(1－x2)，得0＝log2(1－x1)＋log2(1－x2)＝log2(1－x1)(1－x2)，∴(x1－1)(x2－1)＝1.易知x3，x4＞1，結(jié)合f(x)＝－(x－3)2＋5(1≤x≤5)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，得eq\f(x3＋x4,2)＝3，x3∈[1,3)，則(x3－1)(x4－1)＝(x3－1)(6－x3－1)＝－xeq\o\al(2,3)＋6x3－5＝－(x3－3)2＋4∈[0,4)，故z＝(x1－1)(x2－1)(x3－1)(x4－1)∈[0,4)．答案：[0,4)8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：如圖，作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)9．已知函數(shù)f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)x∈[0,1]時，由圖象寫出f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－a，x≥0，,－xx－a，x＜0，))其圖象如圖所示．(2)由圖知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))).(3)由圖象知，當(dāng)eq\f(a,2)＞1，即a＞2時，f(x)min＝f(1)＝1－a；當(dāng)0＜eq\f(a,2)≤1，即0＜a≤2時，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).綜上，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,4)，0＜a≤2，,1－a，a＞2.))10．若關(guān)于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)對于任意的x＞2恒成立，求a的取值范圍．解：不等式4ax－1＜3x－4等價于ax－1＜eq\f(3,4)x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq\f(3,4)x－1，當(dāng)a＞1時，在同一直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖(1)所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)0＜a＜1時，在同一直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖(2)所示，當(dāng)x≥2時，f(2)≤g(2)，即a2－1≤eq\f(3,4)×2－1，解得a≤eq\f(1,2)，所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·杭州二中聯(lián)考)如圖，P是正方體ABCD-A1B1C1D1對角線AC1上一動點，設(shè)AP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是()解析：選A設(shè)正方體的棱長為1，連接AC交BD于O，連接PO，則PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面積為f(x)＝eq\f(1,2)BD×PO.在三角形PAO中，PO＝eq\r(PA2＋AO2－2PA×AOcos∠PAO)＝eq\r(x2＋\f(1,2)－2x×\f(\r(2),2)×\f(\r(6),3))，∴f(x)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(x2＋\f(1,2)－2x×\f(\r(2),2)×\f(\r(6),3))＝eq\f(\r(2),2)eq\r(x2－\f(2,\r(3))x＋\f(1,2))，畫出其圖象，可知A正確．2．已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)＝x＋eq\f(1,x)＋2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋eq\f(a,x)，且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)f(x)圖象上任一點P(x，y)，則點P關(guān)于(0,1)點的對稱點P′(－x,2－y)在h(x)的圖象上，即2－y＝－x－eq\f(1,x)＋2，∴y＝f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋eq\f(a,x)＝x＋eq\f(a＋1,x)，g′(x)＝1－eq\f(a＋1,x2).∵g(x)在(0,2]上為減函數(shù)，∴1－eq\f(a＋1,x2)≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故實數(shù)a的取值范圍是[3，＋∞)．命題點一函數(shù)的概念及其表示1．(2015·浙江高考)存在函數(shù)f(x)滿足：對于任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|解析：選D取x＝0，eq\f(π,2)，可得f(0)＝0,1，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項A錯誤；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項B錯誤；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項C錯誤；取f(x)＝eq\r(x＋1)，則對任意x∈R都有f(x2＋2x)＝eq\r(x2＋2x＋1)＝|x＋1|，故選項D正確．綜上可知，本題選D.2．(2013·浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x－1)，若f(a)＝3，則實數(shù)a＝________.解析：由f(a)＝eq\r(a－1)＝3，得a＝10.答案：103．(2016·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，則實數(shù)a＝_________，b＝________.解析：∵f(x)＝x3＋3x2＋1，∴f(a)＝a3＋3a2＋1，∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－3，①,a2＋2ab＝0，②,a3＋3a2＝a2b.③))∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.答案：－214．(2014·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0，,－x2，x≥0，))若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：f(x)的圖象如圖，由圖象知．滿足f(f(a))≤2時，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時，a≤eq\r(2).答案：(－∞，eq\r(2)]命題點二函數(shù)的基本性質(zhì)1．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50解析：選C∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.2．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析：選A∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－eq\f(1,1＋－x2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)遞增，y＝－eq\f(1,1＋x2)也遞增，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上可知：f(x)＞f(2x－1)?f(|x|)＞f(|2x－1|)?|x|＞|2x－1|?x2＞(2x－1)2?3x2－4x＋1＜0?eq\f(1,3)＜x＜1.故選A.3．(2014·浙江高考)設(shè)函數(shù)f1(x)＝x2，f2(x)＝2(x－x2)，f3(x)＝eq\f(1,3)|sin2πx|，ai＝eq\f(i,99)，i＝0,1,2，…Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|，k＝1,2,3.則()A．I1＜I2＜I3 B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2 D．I3＜I2＜I1解析：選B顯然f1(x)＝x2在[0,1]上單調(diào)遞增，可得f1(a1)－f1(a0)＞0，f1(a2)－f1(a1)＞0，…，f1(a99)－f1(a98)＞0，所以I1＝|f1(a1)－f1(a0)|＋|f1(a2)－f1(a1)|＋…＋|f1(a99)－f1(a98)|＝f1(a1)－f1(a0)＋f1(a2)－f1(a1)＋…＋f1(a99)－f1(a98)＝f1(a99)－f1(a0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(99,99)))2－0＝1.f2(x)＝2(x－x2)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(49,99)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(50,99)，1))上單調(diào)遞減，可得f2(a1)－f2(a0)＞0，…，f2(a49)－f2(a48)＞0，f2(a50)－f2(a49)＝0，f2(a51)－f2(a50)＜0，…，f2(a99)－f2(a98)＜0，所以I2＝|f2(a1)－f2(a0)|＋|f2(a2)－f2(a1)|＋…＋|f2(a99)－f2(a98)|＝f2(a1)－f2(a0)＋…＋f2(a49)－f2(a48)－[f2(a51)－f2(a50)＋…＋f2(a99)－f2(a98)]＝f2(a49)－f2(a0)－[f2(a99)－f2(a50)]＝2f2(a50)－f2(a0)－f2(a99)＝4×eq\f(50,99)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(50,99)))＝eq\f(9800,9801)＜1.f3(x)＝eq\f(1,3)|sin2πx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(24,99)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(50,99)，\f(74,99)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,99)，\f(49,99)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(75,99)，1))上單調(diào)遞減，可得f3(a1)－f3(a0)＞0，…，f3(a24)－f3(a23)＞0,f3(a25)－f3(a24)＞0，f3(a26)－f3(a25)＜0，…，f3(a49)－f3(a48)＜0，f3(a50)－f3(a49)＝0，f3(a51)－f3(a50)＞0，…，f3(a74)－f3(a73)＞0，f3(a75)－f3(a74)＜0，f3(a76)－f3(a75)＜0，…，f3(a99)－f3(a98)＜0，所以I3＝|f3(a1)－f3(a0)|＋|f3(a2)－f3(a1)|＋…＋|f3(a99)－f3(a98)|＝f3(a25)－f3(a0)－[f3(a49)－f3(a25)]＋f3(a74)－f3(a50)－[f3(a99)－f3(a74)]＝2f3(a25)－2f3(a49)＋2f3(a74)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(49π,99)－sin\f(π,99)))＞eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(5π,12)－sin\f(π,12)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6)＋2\r(2),4)－\f(\r(6)－\r(2),4)))＝eq\f(\r(6)＋3\r(2),6)I2＜I1＜I3.4．(2018·北京高考)能說明“若f(x)＞f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________．解析：設(shè)f(x)＝sinx，則f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))上是減函數(shù)．由正弦函數(shù)圖象的對稱性知，當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＞f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx滿足條件f(x)＞f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函數(shù)．答案：f(x)＝sinx(答案不唯一)5．(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________．解析：設(shè)x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵當(dāng)x＞0時，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝06．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))則f(f(15))的值為________．解析：由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，所以f(f(15))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)命題點三函數(shù)的圖象1．(2018·浙江高考)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()解析：選D由y＝2|x|sin2x知