2022-2023學(xué)年江蘇省常州市北郊高二年級下冊學(xué)期3月階段考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市北郊高二下學(xué)期3月階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某物體的位移（米）與時間（秒）的關(guān)系為，則該物體在時的瞬時速度是A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，求導(dǎo)后代入即可.【詳解】由得：

當(dāng)時，即該物體在時的瞬時速度為：米/秒本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義，屬于基礎(chǔ)題.2．下列式子正確的有（

）A． B．，C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則逐項判斷對錯即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：B.3．3名男生和2名女生排成一隊照相，要求女生相鄰，共有排法（

）種A．120 B．24 C．48 D．96【答案】C【分析】利用捆綁法可得答案.【詳解】將兩名女生當(dāng)成一個元素和3名男生全排列得種排法，兩名女生排序有種排法，所以共有種排法.故選：C.4．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理逐一驗證即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，對于選項A，假設(shè)存在一組實數(shù)對滿足，可知無解，即向量，，不共面；對于選項B，假設(shè)存在一組實數(shù)對滿足，可知無解，即向量，，不共面；對于選項C，假設(shè)存在一組實數(shù)對滿足，可知無解，即向量，，不共面；只有D選項存在一組實數(shù)對滿足，即，，是共面向量.故選：D5．如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則函數(shù)y＝f(x)的極小值點是（

）A．x1 B．x2 C．x3 D．x4【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得選項.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可以看出，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(x)的極小值點是，故選：D.【點睛】本題考查由導(dǎo)函數(shù)的圖象得出原函數(shù)的極值點，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點，下列四個結(jié)論中，正確的是（

）A．平面B．存在點，使平面C．存在點，使D．【答案】D【分析】當(dāng)與重合時，平面，即可判斷A；設(shè)正方體的棱長為1，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得坐標(biāo)，由可知與不垂直，即可判斷B；若，則，列方程組求解可判斷C；由可判斷D.【詳解】當(dāng)與重合時，又平面，則平面，故A錯誤；設(shè)正方體的棱長為1，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，∴，，則，∴，∵，，∴與不垂直，而平面，則與平面不垂直，故B錯誤；，若，則，則，此方程無解，故不存在點，使，故C錯誤；∵，，，∴，故D正確．故選：D．7．已知函數(shù)，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）【答案】C【分析】原命題等價于，再求以及解不等式即可.【詳解】，使得成立，則，由題得，所以函數(shù)在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，+∞）單調(diào)遞增，所以，由題得，∴故選：C8．已知函數(shù)，對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意化簡得到，設(shè)函數(shù)，得到在上的單調(diào)遞減函數(shù)，得出，在區(qū)間上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，令的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，對任意的，恒成立不妨設(shè)，可得，即，設(shè)函數(shù)，則在上的單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】方法技巧：對于已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題：（1）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（2）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（3）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解；（4）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解.二、多選題9．已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】BCD【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式，判斷選項A，B，分別計算出，，和，，，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷選項C，D.【詳解】，時，，時，，即，.，因此數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故A錯誤；又時，不滿足，數(shù)列不是等差數(shù)列，故B正確；，，，因此，，成等差數(shù)列，故C正確；，，．成等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.10．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，是與的交點，為線段上的動點（包含線段的端點），則以下說法正確的是（

）A．為線段的中點時，B．存在點，使得∥平面C．與所成角的正弦值為D．與平面所成的角可能為【答案】BD【分析】對于A，由向量的加法、減法及數(shù)乘運算即可判斷；利用空間向量解答B(yǎng)，C；對于D，由題意可得為與平面所成的角，當(dāng)運動到點時，取得最大，且，從而即可判斷.【詳解】解：對于，，故錯誤；對于，以為原點，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以設(shè)平面的法向量為則，令，可得，設(shè)，則，所以，當(dāng)時，可得∥平面，所以，即.所以在線段上存在點，且，故B正確；對于，所以與所成角的正弦值為，故C錯誤；對于，在中，為的中點，所以，又平面平面，可得，而，所以平面與平面所成的角即為，由題可得當(dāng)運動到點時，取得最大，且，所以與平面所成的角可能為，此時，故D正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：對于線線角、線面角、面面角的求解以及對線面、面面位置關(guān)系的判斷，用空間向量法進(jìn)行解答較為容易些.11．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（）A． B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個零點 D．過可以作兩條直線與圖像相切【答案】ABD【分析】求得，，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值定義，可判定B正確；根據(jù)極大值和極小值都大于0，可判定以C錯誤；設(shè)切點為，求得切線方程，代入點，求得的值，可判定D正確.【詳解】對A，由題意，函數(shù)，可得，，所以，即，解得，所以A正確；對B，因為，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)既有極大值又有極小值，所以B正確；對C，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為，因為，即的極大值與極小值都大于，所以函數(shù)至多有一個零點，所以C錯誤；對D，設(shè)切點為，可得，即切線的斜率，所以切線方程為，又由切線過點，則，整理得，即，解得或，即滿足題意的切點只有兩個，所以滿足題意的只有兩條切線，所以D正確.故選：ABD.12．函數(shù)，下列說法正確的是（）A．存在實數(shù)，使得直線與相切也與相切B．存在實數(shù)，使得直線與相切也與相切C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D．函數(shù)在區(qū)間上有極大值，無極小值【答案】ABC【分析】設(shè)切點分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，化簡得，解得或，得到公切線的斜率為或，得出切線方程可判定A、B正確；令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得所以單調(diào)遞增，得到單調(diào)遞增，結(jié)合，得出在區(qū)間上單調(diào)遞增，可判定C、D錯誤.【詳解】設(shè)直線分別與與分別相切于點，則且，所以且，化簡得，解得或，當(dāng)時，可得，即切線的斜率為，且，即切點坐標(biāo)為，此時切線的方程為；當(dāng)時，可得，即切線的斜率為，且，即切點坐標(biāo)為，此時切線的方程為，即，故公切線方程為或，所以選項A、B正確；令，可得，令，可得，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又由，因為，所以，即時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；由C知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值，所以D錯誤.故選：ABC.三、填空題13．有四位學(xué)生參加三項競賽，要求每位學(xué)生必須參加其中一項競賽，有______種參賽情況．【答案】81【分析】根據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】解：根據(jù)乘法分步原理，每位學(xué)生都有三種選擇方案，故有種.故答案為：14．若函數(shù)在處取得極大值10，則的值為___________.【答案】##【分析】計算，解方程組，求得的值并檢驗是否在處取得極大值即可確定的結(jié)果，求出答案.【詳解】由題意可知：,則有,解得或．檢驗：當(dāng)時，，時，，時，或，則為極小值點，不符合題意；當(dāng)時，在處取得極大值10，所以.故答案為：15．在等比數(shù)列{}中，若，則當(dāng)……取得最大值時，n=___________.【答案】6【分析】利用等式得到數(shù)列的公比，進(jìn)而求出首項，即可得到通項公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性和符號，即可求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因為，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)取得最大值時，．故答案為：616．已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有，則的解集為___________.【答案】【分析】令，根據(jù)題意得到，得出函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，又由函數(shù)為偶函數(shù)，求得函數(shù)為偶函數(shù)，得出在為單調(diào)遞減函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，即可求解.【詳解】令，可得因為時，，所以，即函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，即，可得，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：.【點睛】知識方法：構(gòu)造法求解與共存問題的求解策略：1、對于不給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)和滿足的條件，需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，2、常見類型：（1）型；（2）型；（3）為常數(shù)型；（4）型（）.四、解答題17．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在上的最值；(2)試比較：的大小.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和，再結(jié)合，即可求解；（2）由（1）得到為函數(shù)的最大值，再利用作差比較法和對數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)的定義域為，可得，令，即，解得，當(dāng)時，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)時，可得，單調(diào)遞減，所以，又由，，則，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）解：因為，且，由（1）知，函數(shù)，即為函數(shù)的最大值，又因為，所以，綜上可得，的大小關(guān)系為.18．如圖，在長方體ABCD-中，點E為AD的中點，點P為中點，且，(1)求點P到平面的距離；(2)求直線BP與平面PEC所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，點到平面的距離為.（2）由（1）可知：，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，設(shè)直線BP與平面PEC所成角為，則.19．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間既有最大值又有最小值，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，得到，得出切線的斜率為，進(jìn)而求得切線的方程；（2）由（1）知，求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，由，求得，結(jié)合和，即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，可得，則，切線的斜率為，所以函數(shù)在點處的切線方程，即.（2）解：由（1）知，令，即，解得或，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值，又由，解得，經(jīng)驗證：若時，此時區(qū)間為，此時，可得，此時函數(shù)在處取得最小值；當(dāng)時，此時區(qū)間為，此時，此時，此時函數(shù)在處取得最大值，所以函數(shù)在區(qū)間既有最大值又有最小值，則實數(shù)a的取值范圍.20．已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和為.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求得，結(jié)合數(shù)列中和的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項公式.（2）由題意得到，當(dāng)時，，兩式相減求得，當(dāng)時，求得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，可得，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：因為，當(dāng)時，，兩式相減，可得，可得，當(dāng)時，，可得，即數(shù)列的通項公式，所以數(shù)列的前項和.21．在四棱錐中，底面四邊形是一個菱形，且，，，平面.(1)若是線段上的任意一點，證明：平面平面；(2)當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】由四邊形是菱形得出，利用線面垂直得到，根據(jù)線面垂直的判斷和面面垂直的判定即可證明；(2)取的中點，連接，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為四邊形是一個菱形，則，又因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）取的中點，連接，因為四邊形是菱形，且，所以，因為，則，又因為平面，平面，所以，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意可知：，，，，，因為，則，設(shè)，則有，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.22．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有最小值，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再從分討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出答案；