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2023年春期六校第一次聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列角中,與角1560°終邊相同的角是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】與終邊相同的角即為,代入即可解決.【詳解】∵是第二象限角,∴與角1560°終邊相同的角是.故選:C.2.在函數(shù)①,②,③,④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.②③ B.①③④ C.②④ D.①③【答案】A【解析】【分析】利用周期函數(shù)的定義和周期公式求解.【詳解】解:①函數(shù)不是周期函數(shù);②的最小正周期為,③的最小正周期為,④的最小正周期為,故選:A.3.要得到的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】D【解析】【分析】將整理成,然后利用平移變換即可求解.【詳解】由于函數(shù),故只需將函數(shù)的圖象向右平移可得函數(shù)的圖象.故選:D.4.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將分離常數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的有界性與不等式的性質(zhì)求最值,或者是反解法利用正弦函數(shù)的有界性即可解決.詳解】解法一:因?yàn)?,所以∴或,∴或故的值域?yàn)榻夥ǘ河?,得,易知,所以,則,解得或故的值域?yàn)椋蔬x:B.5.在直徑為4cm的圓中,72°的圓心角所對的弧長是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓心角的弧度,然后利用弧長公式計(jì)算出正確答案.【詳解】因?yàn)?,所?2°的圓心角所對的弧長為.故選:A.6.中角為鈍角,若角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得,根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式得到、,從而得到為第二象限角,即可得到、、的取值情況,即可得解.【詳解】解:∵中角為鈍角,∴得,∴,即,,同理可得,,點(diǎn)位于第二象限,即為第二象限角,所以、、,所以.故選:B7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,由為單調(diào)遞減區(qū)間的子集求得的范圍,由,得到,根據(jù)方程在上有唯一解,由求解.【詳解】解:由題意令,解得,,∵在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴且,,∴,,當(dāng)時(shí),,因?yàn)榉匠淘谏嫌形ㄒ唤?,則有,解得,綜上,的取值范圍為,故選:C.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若為偶函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換得到函數(shù)的圖象,再根據(jù)為偶函數(shù)求解.【詳解】解:將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,可得的圖象;再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象若為偶函數(shù),則,即,,由于,所以當(dāng)最小時(shí),取得,故選:D.二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列結(jié)論中正確的是()A.終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是B.時(shí),的解集為C.,,則D.若是第三象限角,則是第二或第四象限角,是第一或第二象限角【答案】BC【解析】【分析】寫出角的集合表示判斷A;利用同角公式結(jié)合各象限角的三角函數(shù)值符號(hào)求解判斷B;確定兩個(gè)集合表示的角終邊判斷C;由范圍求出、范圍判斷D作答.【詳解】終邊經(jīng)過點(diǎn),則該終邊為第一象限的角平分線,即角的集合是,A錯(cuò)誤;不等式化為,而,于是,又,所以的解為,B正確:表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線的角的集合,表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線以及坐標(biāo)軸上的角的集合,即,C正確;由于為第三象限角,即,則,即是第二或第四象限角,,即是第一或第二象限角或終邊在軸非負(fù)半軸,D錯(cuò)誤.故選:BC10.如果,下列結(jié)論中正確的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng),代入求值即可;CD選項(xiàng),利用誘導(dǎo)公式得到;B選項(xiàng),利用,求出答案.【詳解】,A錯(cuò)誤;CD選項(xiàng),,C錯(cuò)誤,D正確;B選項(xiàng),,B正確.故選:BD.11.下列各式正確的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】A中,因?yàn)椋?,由在單調(diào)遞增,所以,所以A正確;B中,因?yàn)椋?,顯然,即,所以B正確:C中,,,故,所以C錯(cuò)誤;D中,因,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以,所以D正確;故選:ABD.12.已知函數(shù),對于下列說法正確有()A.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度即可B.在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的圖象關(guān)于直線對稱D.為奇函數(shù)【答案】CD【解析】【分析】對于A,利用平移變換即可求解;對于B,求出的單調(diào)減區(qū)間即可;對于C,代入檢驗(yàn)即可;對于D,化簡即可【詳解】對于A,將的圖象向左平移個(gè)單位可得函數(shù),故A不正確;對于B,令,可得,,取時(shí),減區(qū)間為,時(shí),減區(qū)間為,∴在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故B不正確;對于C,當(dāng)時(shí),,恰好是函數(shù)的最大值,∴的圖象關(guān)于直線對稱,故C正確;對于D,,∴為奇函數(shù),故D正確.故選:CD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】,.【解析】【分析】要使函數(shù)有意義,則有,可得不等式組的解集,即得原函數(shù)的定義域.【詳解】要使原函數(shù)有意義,必須有即,解集為,取交集可得原函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?4.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸非負(fù)半軸重合,點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn),則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件,可以求出,代入即可.【詳解】∵角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸非負(fù)半軸重合,點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn),∴,∴,,∴故答案為:15.數(shù)學(xué)中處處存在著美,機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法:先畫等邊三角形,再分別以、、為圓心,線段長為半徑畫圓弧,便得到萊洛三角(如圖所示).若萊洛三角形的周長為,則其面積是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形分析,利用扇形面積和三角形面積求解即可.【詳解】如圖,由條件可知,弧長,等邊三角形的邊長,則以點(diǎn)、、為圓心,圓弧所對的扇形面積為,中間等邊的面積,所以萊洛三角形的面積是.故答案為:.16.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為__________.【答案】6【解析】【分析】確定圖象關(guān)于直線對稱,且周期為2,通過變換得到的圖像,根據(jù)圖像知與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè),計(jì)算得到答案.【詳解】是由縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,再將x軸下方的圖象翻到x軸上方即可得到,又有是定義在上的偶函數(shù),且,所以圖象關(guān)于直線對稱,且周期為2,又因?yàn)闀r(shí),,在同一坐標(biāo)系下,畫出及在的圖象如下所示:由圖象可知與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè),其零點(diǎn)之和為6.故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知.(1)化簡;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡即可.(2)由(1)有,再利用“湊角”的方法與誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】(1);(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.18.已知函數(shù),.(1)求的最小正周期;(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)當(dāng)時(shí),求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)(3);.【解析】【分析】(1)利用周期公式即可求解;(2)由,,結(jié)合即可求解;(3)由求得,從而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】的最小正周期.【小問2詳解】由,,得,.又所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問3詳解】∵,∴當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.19.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示:(1)求函數(shù)的解析式;(2)用“五點(diǎn)作圖法”在給定的坐標(biāo)系中做出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.【答案】(1)(2)作圖見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合圖像可知,然后由的范圍即可得到,將代入即可求得;(2)根據(jù)題意,由“五點(diǎn)作圖法”做出圖像即可.【小問1詳解】根據(jù)圖像可知:,故可得,即,又,故;又,故可得,則或,解得或,數(shù)形結(jié)合可知:,即,結(jié)合,解得,顯然,不滿足題意,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),滿足題意;故.【小問2詳解】由“五點(diǎn)作圖法”找出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),如表所示.0020-2020.已知函數(shù)的最小值為,其圖像經(jīng)過點(diǎn),且圖像上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為4.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出的值.【答案】(1)(2),的值見解析.【解析】【分析】(1)由函數(shù)的最小值得出,由圖像上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為4,根據(jù)勾股定理求出,即可求出,再由圖像經(jīng)過點(diǎn)及求出,即可得出的解析式;(2)關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,即函數(shù)與的圖像在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè),畫出的圖像,即可分析出實(shí)數(shù)的取值范圍,再分區(qū)間討論的值.【小問1詳解】由題意,得,,∴,,∴又函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),則,即,由,得,∴.【小問2詳解】由題意,關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,即函數(shù)與的圖像在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),由(1)知.設(shè),則,∵,∴,則,其函數(shù)圖像如圖所示,由圖可知,實(shí)數(shù)取值范圍為,①當(dāng)時(shí),,關(guān)于對稱,則,得;②當(dāng)時(shí),,關(guān)于對稱,則,得;綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為,當(dāng)時(shí),的值為;當(dāng)時(shí),的值為.21.直徑為8m的水輪如圖所示,水輪圓心距離水面2m,已知水輪沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6圈,當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開始計(jì)算時(shí)間.(1)將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù);(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),有多長時(shí)間點(diǎn)在水面下?【答案】(1)(2)秒.【解析】【分析】(1)結(jié)合圖形,利用角速度公式、任意角的概念以及三角函數(shù)求解.(2)結(jié)合圖形,根據(jù)三角函數(shù)的解析式建立不等式,利用正弦函數(shù)解不等式.【小問1詳解】由題意可知,,設(shè)角是以O(shè)x為始邊,為終邊的角,由條件得,將,代入,得,∴,∴;【小問2詳解】由題意知,即,∴,.即,,∴.答:在
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