灰色預(yù)測(cè)原理及實(shí)例

灰色預(yù)測(cè)原理及實(shí)例演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一灰色預(yù)測(cè)原理及實(shí)例現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一灰色系統(tǒng)的定義白色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的。黑色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息對(duì)外界來(lái)說(shuō)是一無(wú)所知的，只能通過(guò)它與外界的聯(lián)系來(lái)加以觀測(cè)研究。

灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”,“貧信息”的不確定性系統(tǒng),它通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成、開(kāi)發(fā)去了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述.

現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一例：人體是個(gè)灰色系統(tǒng)，人體某些外形參數(shù)：身高，體重．．．，以及某些內(nèi)部參數(shù)：血壓，脈搏，．．．但有更多的信息的：如人體穴位的多少及作用，人體體溫場(chǎng)，人體的信息網(wǎng)絡(luò)等．此外，社會(huì)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)，農(nóng)業(yè)系統(tǒng)，商業(yè)系統(tǒng)等抽象系統(tǒng)沒(méi)有物理原型，又不清楚系統(tǒng)的作用機(jī)理，很難判斷信息的完備性，難以對(duì)系統(tǒng)關(guān)系，結(jié)構(gòu)做精確地描述．人們只能憑邏輯推理，憑某些觀念意識(shí)，憑某種準(zhǔn)則對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，關(guān)系進(jìn)行論證，然后再建立某種模型．這累抽象系統(tǒng)我們稱為特征性灰色系統(tǒng)．

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，灰色系統(tǒng)是絕對(duì)的，而白色與黑色系統(tǒng)是相對(duì)的。社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，農(nóng)業(yè)等系統(tǒng)的預(yù)測(cè)，都屬于特征性灰色系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一灰色系統(tǒng)的定特點(diǎn)灰色系統(tǒng)模型的特點(diǎn)：

對(duì)試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其分布沒(méi)有特殊的要求和限制，是一種十分簡(jiǎn)便的新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。

灰色系統(tǒng)認(rèn)為:盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜,數(shù)據(jù)離散,但它們總是有整體功能的,總是有序的.因此,它必然潛藏著某種內(nèi)在規(guī)律.關(guān)鍵在于要用適當(dāng)方式去挖掘它,然后利用它?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn)

常用的灰色預(yù)測(cè)有五種：

（1）數(shù)列預(yù)測(cè)，即用觀察到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的時(shí)間序列來(lái)構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。

（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。

（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個(gè)特定的時(shí)區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測(cè)。（4）拓?fù)漕A(yù)測(cè)，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測(cè)該定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。（5）系統(tǒng)預(yù)測(cè).通過(guò)對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化?，F(xiàn)在是6頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一生成列為了弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，強(qiáng)化規(guī)律性，在建立灰色預(yù)測(cè)模型之前，需先對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后的時(shí)間序列即稱為生成列。對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成就是企圖從雜亂無(wú)章的現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律.常用的灰色系統(tǒng)生成方式有:累加生成,累減生成,均值生成,級(jí)比生成等,下面對(duì)這幾種生成做簡(jiǎn)單介紹.現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一累加生成AGO（AccumulatedGeneratingOperation）

累加生成,即通過(guò)數(shù)列間各時(shí)刻數(shù)據(jù)的依個(gè)累加以得到新的數(shù)據(jù)與數(shù)列.累加前的數(shù)列稱原始數(shù)列,累加后的數(shù)列稱為生成數(shù)列.累加生成是使灰色過(guò)程由灰變白的一種方法,它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要地位,通過(guò)累加生成可以看出灰量積累過(guò)程的發(fā)展態(tài)勢(shì),使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的積分特性或規(guī)律加以顯化.累加生成是對(duì)原始數(shù)據(jù)列中各時(shí)刻的數(shù)據(jù)依次累加,從而生成新的序列的一種手段.現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一數(shù)列累加【例1】

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列對(duì)數(shù)據(jù)累加：現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一于是得到一個(gè)新數(shù)據(jù)序列現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一當(dāng)然，有些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)列中有負(fù)數(shù)(例如溫度等)，累加時(shí)略微復(fù)雜。有時(shí)，由于出現(xiàn)正負(fù)抵消這種信息損失的現(xiàn)象，數(shù)列經(jīng)過(guò)累加生成后規(guī)律性非但沒(méi)得到加強(qiáng)，甚至可能被削弱。例如，給定原始數(shù)列X(0)=(1，一1，+3，一4)，如圖3，累加后得圖4，圖4很難說(shuō)比圖3要好?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一對(duì)于這種情形，我們可以先進(jìn)行移軸，然后再做累加生成。先將原始數(shù)據(jù)加+4，相當(dāng)于將橫坐標(biāo)軸向下平移4個(gè)單位，得數(shù)據(jù)X(0)＝(5，3，7，0)，再進(jìn)行累加生成，得X(1)＝(5，8，15，15)，圖5表明數(shù)列X(1)有較強(qiáng)的規(guī)律?，F(xiàn)在是12頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一累減生成AGO（InverseAccumulatedGeneratingOperation）累減生成,即對(duì)數(shù)列求相鄰兩數(shù)據(jù)的差,累減生成是累加生成的逆運(yùn)算,常簡(jiǎn)記為IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累減生成可將累加生成還原為非生成數(shù)列,在建模過(guò)程中用來(lái)獲得增量信息,其運(yùn)算符號(hào)為?.

現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一從而可得下述關(guān)系現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一計(jì)算示例現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一均值生成現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一級(jí)比生成現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型1.建模原理給定觀測(cè)數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得設(shè)滿足一階常微分方程（2.1）

（2.2）

（2.3）

現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型此方程滿足初始條件的解為(2.3)’

對(duì)等間隔取樣的離散值(注意到）則為

(2.4)

灰色建模的途徑是一次累加序列（2.2）通過(guò)最小二乘法來(lái)估計(jì)常數(shù)a與u.現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型因

留作初值用，故將

用差分代替微分，又因等間隔取樣，

分別代入方程(2.3),故得

類似地有于是，由式（2.3）有

現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型由于

涉及到累加列

的兩個(gè)時(shí)刻的值，因此，

取前后兩個(gè)時(shí)刻的平均代替更為合理，即將

替換為

把

項(xiàng)移到右邊，并寫成向量的數(shù)量積形式

(2.5)

現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型將（2.5）寫為矩陣表達(dá)式令這里，T表示轉(zhuǎn)置.令(2.6)

現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型則(7.6)式的矩陣形式為方程組(7.6)’的最小二乘估計(jì)為

(2.6)’(2.7)現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型把估計(jì)值

代入（7.4）式得時(shí)間響應(yīng)方程由(2.8)式算得的

是擬合值；

為預(yù)報(bào)值.這是相對(duì)于一次累加序列

的擬合值，用后減運(yùn)算還原，

就可得原始序列

的擬合值

可得原始序列

預(yù)報(bào)值.(2.8)現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型2.精度檢驗(yàn)

(1)殘差檢驗(yàn)：分別計(jì)算現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型（3）預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表，見(jiàn)表7.1.

現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型由于模型是基于一階常微分方程（2.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時(shí)先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù).否則，累加時(shí)會(huì)正負(fù)抵消，達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時(shí)間遞增的目的.如果實(shí)際問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，可對(duì)原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導(dǎo)出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實(shí)際問(wèn)題預(yù)測(cè)時(shí)，不必求解一階常微分方程（2.3）.現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一2灰色系統(tǒng)的模型3.GM(1,1)的建模步驟綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一數(shù)列預(yù)測(cè)現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一數(shù)列預(yù)測(cè)對(duì)系統(tǒng)行為特征值大小的發(fā)展變化進(jìn)行預(yù)測(cè)，稱為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)列的變化預(yù)測(cè)，簡(jiǎn)稱數(shù)列預(yù)測(cè)。例如糧食產(chǎn)量的預(yù)測(cè)商品銷售量發(fā)展變化的預(yù)測(cè)年平均降水量發(fā)展變化的預(yù)測(cè)人口的預(yù)測(cè)貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)外貿(mào)額發(fā)展變化的預(yù)測(cè)這種預(yù)測(cè)的特點(diǎn)是：對(duì)行為特征量等時(shí)距地觀測(cè)。預(yù)測(cè)的任務(wù)是：了解這些行為特征量在下一個(gè)時(shí)刻有多大。現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一

【例】某市2001—2005年火災(zāi)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表.試建立模型，并對(duì)該市2006年的火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測(cè)。

表

某市2001－2005年火災(zāi)數(shù)據(jù)年份20012002200320042005火災(zāi)(起)8797120166161現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測(cè)解利用MATLAB軟件計(jì)算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共5個(gè)):87，97，120，166，161預(yù)測(cè)結(jié)果如下：[1]dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433[2]時(shí)間響應(yīng)方程：

X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921(3)-2.92477940(4)20.77885211(5)-10.56168104現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測(cè)[4]第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.000000[5]相對(duì)殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.06560050[6]原數(shù)據(jù)均值avg(x)：126.20000000[7]原數(shù)據(jù)方差S(1)：32.31965346[8]殘差的均值avg(E)：0.06018312[9]殘差的方差S(2)：12.26351851[10]后驗(yàn)差比值C：0.37944462[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計(jì)算值X^(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.56168104[13]預(yù)測(cè)的結(jié)果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669預(yù)測(cè)精度等級(jí)：合格！

結(jié)果表明：如果該市不采取更有效的防火措施，

2006年的火災(zāi)事故次數(shù)約為203次.現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變預(yù)測(cè)對(duì)系統(tǒng)行為特征量超出某個(gè)閾值（界限值）的異常值將在何時(shí)出現(xiàn)的預(yù)測(cè)稱為災(zāi)變預(yù)測(cè)。所以說(shuō)，災(zāi)變預(yù)測(cè)即對(duì)異常值出現(xiàn)時(shí)刻的預(yù)測(cè)。由于異常值往往會(huì)使人們的生活、生態(tài)環(huán)境、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等的正?；顒?dòng)帶來(lái)異常結(jié)果，造成災(zāi)害，所以也稱為這種預(yù)測(cè)為災(zāi)變預(yù)測(cè)。如：年平均降水量大于某個(gè)閾值（可容許值）便是澇災(zāi)年平均降水量小于某個(gè)閾值是旱災(zāi)年產(chǎn)量大于某個(gè)指定值，是豐年年產(chǎn)量小于某個(gè)指定值，是欠年環(huán)境中某種物質(zhì)含量超出某個(gè)閾值，是污染人體中某個(gè)參數(shù)（如體溫、血壓、血中成分）超出一定范圍就發(fā)生病變銀行存款超出某個(gè)值是經(jīng)濟(jì)躍變?yōu)淖冾A(yù)測(cè)的特點(diǎn)是：對(duì)異常值出現(xiàn)的時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)的任務(wù)不是確定異常值的大?。ㄒ?yàn)楫惓Ｖ档拇笮∈侵付ǖ幕覕?shù)），而是確定異常值出現(xiàn)的時(shí)間。災(zāi)變預(yù)測(cè)建模所用數(shù)據(jù)已不是行為特征量本身，而是異常行為特征值發(fā)生的時(shí)間，這是對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)不是等間距的，或者說(shuō)建模數(shù)據(jù)的序列，是按序號(hào)給出的時(shí)間間隔?，F(xiàn)在是38頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)1.災(zāi)變預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)原理與特征災(zāi)變預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的不同點(diǎn)，在于它不是預(yù)測(cè)序列數(shù)據(jù)的量的變化，而是預(yù)測(cè)異常值或“災(zāi)變”點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間，它是應(yīng)用灰色區(qū)間（間隔）的預(yù)測(cè)而進(jìn)行的。所以，災(zāi)變預(yù)測(cè)的基本要求是“定量求時(shí)”。災(zāi)變預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)原理描述如下：現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)3.實(shí)際問(wèn)題—旱災(zāi)預(yù)測(cè)【例】某地年降水量原始數(shù)據(jù)序列如下表所示，根據(jù)多年的時(shí)間觀測(cè)，每當(dāng)年降水量小于430～440mm時(shí)，該地區(qū)將發(fā)生旱災(zāi).所以，選擇閾值=435mm,利用GM(1,1)模型進(jìn)行旱災(zāi)預(yù)報(bào).現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)某地年降水量（mm）原始數(shù)據(jù)現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一拓?fù)漕A(yù)測(cè)現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有57頁(yè)\編輯于星期一拓?fù)漕A(yù)測(cè)（亦稱波形預(yù)測(cè)、整體預(yù)測(cè)）拓?fù)漕A(yù)測(cè)是對(duì)一段時(shí)間內(nèi)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測(cè)。拓?fù)漕A(yù)測(cè)在不同的場(chǎng)合有不同的意義對(duì)水利方面年徑流量曲線來(lái)說(shuō)，拓?fù)漕A(yù)測(cè)意味著在對(duì)未來(lái)某段時(shí)間內(nèi)總徑流量的預(yù)測(cè)。對(duì)氣象方面年平均降水量曲線來(lái)說(shuō)，拓?fù)漕A(yù)測(cè)是對(duì)某幾年總降水量的預(yù)測(cè)。對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，拓?fù)漕A(yù)測(cè)可以是對(duì)幾年內(nèi)生產(chǎn)總產(chǎn)值、總產(chǎn)量的預(yù)測(cè)。而從本質(zhì)來(lái)看，拓?fù)漕A(yù)測(cè)則是對(duì)一個(gè)變化不規(guī)則的行為數(shù)據(jù)數(shù)列的整體發(fā)