小學數(shù)學對于推理和證明的理解偏差

小學數(shù)學對于推理和證明的理解偏差

東北師范大學史寧中教授在數(shù)學課程標準修訂工作介紹時，曾提出教師要處理好合情推理與演繹推理之間的關系.要處理好它們之間的關系，就必須理解推理和證明相關內(nèi)容，因為合情推理與演繹推理都屬于推理與證明的范疇，通過這幾年對小學數(shù)學教學的觀察與研究，我發(fā)現(xiàn)小學數(shù)學對推理和證明的理解存在偏差，因此也很難處理好合情推理與演繹推理之間的關系.一、小學數(shù)學對“推理和證明”內(nèi)容理解有偏差有一些小學數(shù)學老師一看到“推理和證明”，就會聯(lián)想到初中和高中的幾何證明題.事實上，我們看到下面關于“推理和證明”的知識網(wǎng)絡（如圖1所示）以后，就會比較清晰地了解推理和證明所包含的主要內(nèi)容.這里要強調(diào)的是：演繹推理與直接證明有所區(qū)別，演繹推理又稱三段論推理，由兩個前提和一個結(jié)論組成，大前提是一般原理（規(guī)律），即抽象得出一般性、統(tǒng)一性的成果；小前提是指個別對象，這是從一般到個別的推理，從這個推理，然后得出結(jié)論.演繹推理是“結(jié)論，可從叫做前提的已知事實，‘必然’得出的推理”.如果前提為真，則結(jié)論必然為真.直接證明，是相對于間接證明，是完全利用已知的公理進行推導，邏輯上是嚴絲合縫的，沒有一點瑕疵，推導得出的結(jié)論的正確性是毋庸置疑的.可以用下面的例子說明它們的區(qū)別：演繹推理：（大前提）所有金屬都能導電（小前提）銅是金屬（結(jié)論）銅能導電直接證明：用導電實驗驗證銅能導電小學數(shù)學中的推理與證明以合情推理為主，當然也包括邏輯推理的滲透.如當我們學習了梯形的面積計算公式以后，在求一個直角梯形的面積時，學生自然想到用梯形的面積計算公式來計算，這就滲透了三段論的思想.二、小學數(shù)學對“推理和證明”意義理解有偏差雖然數(shù)學課程標準強調(diào)：“推理是數(shù)學的基本思維方式，推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中.”但我們分析數(shù)學課程標準中第一、第二學段目標不難發(fā)現(xiàn)，課程標準并沒有把證明與推理納入小學數(shù)學課程的要求.我們只強調(diào)通過合情推理發(fā)現(xiàn)新關系、新結(jié)論，而沒有反問“為什么”，給學生提供說理的機會，說服自己、說服同學.我想通過下面的案例更好地說明這個問題.問題：用20塊方磚（邊長為10cm的正方形）拼擺出長方形圖形.要求必須用上所有的20塊磚.數(shù)出并記錄每一個長方形的面積和周長，然后找一找并描述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.（見表1）我們有些教師只滿足于學生得到這樣的規(guī)律：“瘦長”的長方形的周長最大，“胖”長方形的周長最小.我們的教師不會讓學生解釋其中原因，因為教師知道這個理由要到高中才會接觸到，其實學生有他們自己的理由：瘦長的長方形中，有些磚的一些邊在外面，把瘦長的長方形變胖以后，原來的一些邊就到了里面，這樣周長就變小了.學生的理由說服了所有人，包括老師.三、小學數(shù)學對“推理和證明”培養(yǎng)理解有偏差因為對推理與證明的意義理解存在偏差，導致小學數(shù)學在培養(yǎng)小學生推理與證明能力方面存在偏差：1.注重歸納推理，而忽視類比推理歸納推理利于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，同樣類比推理也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段.波利亞曾高度評價類比的作用和意義，說：“類比是提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉.”通過強調(diào)數(shù)學中的類比，我們可以幫助學生形成應用聯(lián)系解決數(shù)學問題的態(tài)度，而不是把數(shù)學看成一些毫無聯(lián)系的概念和技能.筆者參加一次市級教學觀摩活動，課題是五年級的《梯形的面積》.其中一位教師這樣引入課題：先給出一個上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米的梯形，讓學生求出它的面積，學生通過分割、對折等多種方法求出了面積.教師利用這些求解方法，在不化簡的情況下，通過歸納推理得到一個關于梯形面積公式的猜想.筆者覺得這樣的設計完全忽視類比推理，割斷了知識的聯(lián)系.梯形面積公式推導的生長點是平行四邊形面積和三角形面積的推導，即使類似于平行四邊形面積的割補法不能推導出梯形的面積，作為教師也要讓學生去試一試，有時候，不能證實一個方法是錯的，就不能證實另一個方法是對的.2.注重數(shù)字驗證，而忽視學生的理性思考當我們通過合情推理得到一個猜想以后，我們應該鼓勵學生在他們已有的知識和經(jīng)驗基礎上進行推理，而不是一味用數(shù)字驗證，應鼓勵學生在他們已知的基礎上進行推理.下面是《一個小數(shù)乘十、百、千引起小數(shù)變化的規(guī)律》教學片斷：師：知道了一個小數(shù)乘10的規(guī)律，那么我們推想一下，一個小數(shù)乘100、乘1000，小數(shù)點又會怎樣變化呢？（板書）生：乘100小數(shù)點會向右移動兩位，乘1000小數(shù)點會向右移動三位.師：這只是我們的推想，（在板書上打上問號）還需要驗證.你打算怎樣驗證？生：想個小數(shù)，再算一算乘100、乘1000的結(jié)果，比較一下.師：他是這樣驗證的，你們呢？老師驗證的方法有點不同，我也先選一個小數(shù)，先猜出結(jié)果，再用計算器驗證是否正確，可以嗎？那我們就來試一試.師：以5.08為例，經(jīng)過研究，5.08乘100、乘1000，小數(shù)點的移動和我們的猜想一樣，其他小數(shù)呢？生：還要驗證.有了猜想，怎樣說明猜想正確呢？除了數(shù)字驗證還是數(shù)字驗證，教師有沒有問學生這樣一個問題：乘10小數(shù)點會向右移動一位，為什么乘100小數(shù)點會向右移動兩位呢？學生的回答很可能是：乘10小數(shù)點會向右移動一位，小數(shù)乘100就是小數(shù)乘10再乘10，乘10把小數(shù)點向右移動一位，再乘10再把小數(shù)點向右移動一位.學生在學習乘法分配律時，通過歸納推理得到猜想：（a+b）×c=a×c+b×c，在驗證這個猜想是否正確時，教師應鼓勵學生通過幾何模型驗證猜想，不能過分依賴數(shù)字驗證.由a×c和b×c聯(lián)想到長方形的面積，能不能用長方形的面積來驗證這個猜想的正確性呢？可以先計算大的長方形面積，再計算兩個小長方形面積的和，下面這個圖（圖2）直觀地顯示了乘法的分配律（a+b）×c=a×c+b×c確實成立，借助這個幾何模型也使得該規(guī)律更加容易被記住.3.注重練習的正確性，而忽視拓展推理的空間推理與證明即使對大學本科生來說也是學習的難點，何況是小學生？這種觀念導致一些人認為小學生不需要學習推理與證明，只注重習題的正確性，而不會拓展推理的空間.比如在蘇教版五年級下冊《公倍數(shù)與最小公倍數(shù)》的練習四第2題：4和5的最小公倍數(shù)是20，等于它們的乘積.5和6的最小公倍數(shù)是30，也等于它們的乘積.學生很容易得到下列兩個猜想：（1）任何兩個數(shù)的最小公倍數(shù)等于它們的乘積我們要讓學生意識到，說明猜想的正確需要嚴格的數(shù)學證明，而要說明這個猜想不正確，只要用一個反例就可以推翻.這個猜想馬上就能證明是錯誤的，因為4和6的最小公倍數(shù)是12，不等于它們的乘積24.當然教師也不要忽視這些“錯誤”的猜想，因為它又給學生提供了更多的重要的發(fā)現(xiàn)機會：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)什么情況下等于兩個數(shù)的乘積，什么情況下不等于這兩個數(shù)的乘積？（2）任意相鄰的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)等于它們的乘積學生用比較小的相鄰兩個數(shù)來驗證這個猜想時，還可以比較自信地確認，當用比較大的數(shù)目驗證時，他們就沒有那么自信了，教師可以引導學生利用計算器來解決驗證問題，學生發(fā)現(xiàn)這個猜想仍然是成立的.雖然學生此時還不能用已