最全的幾何畫板實(shí)例教程

z.上篇用幾何畫板做數(shù)理實(shí)驗(yàn)圖1-0.1我們主要認(rèn)識(shí)一下工具箱和狀態(tài)欄，其它的功能在今后的學(xué)習(xí)過程中將學(xué)會(huì)使用。案例一四人分餅有一塊厚度均勻的三角形薄餅，現(xiàn)在要把它平均分給四個(gè)人，應(yīng)該如何分？圖1-1.1思路：這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上就是如何把一個(gè)三角形分成面積相等的四局部。方案一：畫三角形的三條中位線，分三角形所成的四局部面積相等，〔其實(shí)四個(gè)三角形全等〕。如圖1-1.2。圖1-1.2方案二：四等分三角形的任意一邊，由等底等高的三角形面積相等，可以得出四局部面積相等，如圖1-1.3。圖1-1.3用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：翻開幾何畫板程序，這時(shí)出現(xiàn)一個(gè)新繪圖文件。說明：如果幾何畫板程序已經(jīng)翻開，只要由菜單“文件〞“新繪圖〞，也可以新建一個(gè)繪圖文件。第二步：(1)在工具箱中選取“畫線段〞工具；(2)在工作區(qū)中按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)，畫出一條線段。如圖1-1.4。注意：在幾何畫板中，點(diǎn)用一個(gè)空心的圈表示。圖1-1.4第三步：(1)選取“文本〞工具；(2)在畫好的點(diǎn)上單擊左鍵，可以標(biāo)出兩點(diǎn)的標(biāo)簽，如圖1-1.5：注意：如果再點(diǎn)一次，又可以隱藏標(biāo)簽，如果想改標(biāo)簽為其它字母，可以這樣做：用“文本〞工具雙擊顯示的標(biāo)簽，在彈出的對(duì)話框中進(jìn)展修改，(本例中我們不做修改)。如圖1-1.6圖1-1.6在后面的操作中，請(qǐng)觀察圖形，根據(jù)需要標(biāo)出點(diǎn)或線的標(biāo)簽，不再一一說明圖1-1.5第四步：(1)再次選取“畫線段〞工具，移動(dòng)鼠標(biāo)與點(diǎn)A重合，按左鍵拖動(dòng)畫出線段AC；(2)畫線段BC，標(biāo)出標(biāo)簽C，如圖1-1.7。注意：在熟悉后，可以先畫好首尾相接的三條線段后再標(biāo)上標(biāo)簽更方便。圖1-1.7第五步：(1)用“選擇〞工具單擊線段AB，這時(shí)線段上出現(xiàn)兩個(gè)正方形的黑塊，表示線段處于被選取狀態(tài)；(2)由菜單“作圖〞“中點(diǎn)〞，畫出線段AB的中點(diǎn)，標(biāo)上標(biāo)簽。得如圖1-1.8。注意：如果被選取的是點(diǎn)，點(diǎn)的外面會(huì)有一個(gè)粗黑圓圈。在幾何畫板中，選取線段是不包括它的兩個(gè)端點(diǎn)的，以后的問題都是這樣，如果不小心多項(xiàng)選擇了*個(gè)對(duì)象，可以按Shift鍵后用左鍵再次單擊該對(duì)象取消選取。圖1-1.8第六步：用同樣的方法畫出其它兩邊的中點(diǎn)。得如圖1-1.9。技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“選擇〞工具分別點(diǎn)擊三條線段，可以同時(shí)選取這三條線段，再由“作圖〞“畫中點(diǎn)〞(或按快捷鍵Ctrl+M)，就可以同時(shí)畫好三條邊的中點(diǎn)。圖1-1.9第七步：用“畫線段〞工具連結(jié)DE、EF、FD，得如圖1-1.10：技巧：畫線段的另一方法，在保證畫線工具出現(xiàn)的是“畫線段〞按鈕(不必選取)的前提下。選取兩點(diǎn)后，由菜單“作圖〞“畫線段〞，(或按快捷鍵Ctrl+L),可以畫出連結(jié)兩點(diǎn)的線段。本例最快的做法：1、選取“畫點(diǎn)〞工具，按住Shift鍵不放在工作區(qū)中畫三個(gè)點(diǎn)，這時(shí)三個(gè)頂點(diǎn)都保持選取狀態(tài)2、按Ctrl+L,可以同時(shí)畫出三條邊并且三邊同時(shí)被選取；3、按Ctrl+M，可以同時(shí)畫出三邊中點(diǎn)且三中點(diǎn)同時(shí)被選??；4、按Ctrl+L,可以同時(shí)畫出小三角形三條邊，標(biāo)上標(biāo)簽即可。圖1-1.10第八步：(1)按住Shift鍵不放，用“選擇“工具選取點(diǎn)A、D、F；(2)由菜單“作圖〞“多邊形部〞填充多邊形部；(3)保持部的選取狀態(tài)，由菜單“度量〞“面積〞，可以量出ADF的面積，如圖1-1.11。圖1-1.11第九步：(1)用同樣的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF；(2)選取DEF的部，由菜單“顯示〞“顏色〞，選擇其它顏色，如藍(lán)色，得到如圖1-1.12。圖1-1.2注意：在制作過程中，要經(jīng)常保存文件，以免因意外原因造成文件喪失，以下每一個(gè)例子都是這樣，不再加以說明。歸納結(jié)論：拖動(dòng)頂點(diǎn)A、B、C中的任一個(gè)，可以改變?nèi)切蔚拇笮『托螤睿?qǐng)觀察不同情況下，四局部的面積是否總是相等？這樣做可以完成分餅的任務(wù)嗎？說明：這是通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律，不能保證結(jié)論一定是正確，一般來說，有一些結(jié)果經(jīng)過了人類的長(zhǎng)期實(shí)踐，大家都公認(rèn)了它的正確性，這時(shí)會(huì)把這個(gè)結(jié)論作為公理直接使用；而大多數(shù)情況下，實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果仍然需要進(jìn)展推理證明。則，實(shí)驗(yàn)有什么用呢？實(shí)驗(yàn)可以幫助我們認(rèn)識(shí)規(guī)律，更容易承受知識(shí)，并且常?？梢宰屛覀冋业浇鉀Q問題的方向。練習(xí)：1、對(duì)于方案二，四等分面積的問題就轉(zhuǎn)化為四等分線段的問題，四等分線段可以用哪些方法？2、為了方便在改變等分的份數(shù)〔例如要分成五份〕時(shí)方法仍然能用，這里介紹利用平行線等分線段的方法把一條線段四等分。第一步：(1)選取“畫射線〞工具；(2)移動(dòng)鼠標(biāo)到與點(diǎn)A重合，按住左鍵拖動(dòng)，畫出一條以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線AD，得如圖1-1.13。圖1-1.13第二步：(1)選取“畫點(diǎn)〞工具，移動(dòng)鼠標(biāo)到射線AD上，在靠近點(diǎn)A處單擊畫出一個(gè)點(diǎn)E，得如圖1-1.14；(2)按住Shift鍵不放，用“選擇〞工具，依次選取點(diǎn)A、E，由菜單“變換〞“標(biāo)記向量A-E〞。說明：標(biāo)記了一個(gè)向量后，可以在后面的平移變換中按這個(gè)向量來平移，保證出現(xiàn)假設(shè)干段相等的線段，標(biāo)記向量時(shí)，一定要注意選選擇點(diǎn)的先后順序。圖1-1.14第三步：(1)用“選擇〞工具選取點(diǎn)E，由菜單“變換〞“平移…〞，在彈出的對(duì)話框中點(diǎn)“確定〞即可得一點(diǎn)Ｅ’；(2)選?。拧鐾瑯拥牟僮骺梢缘茫拧?，……，這樣做下去，直到得到你想要的假設(shè)干段相等的線段，這里是四段，如圖1-1.15。圖1-1.15第四步：(1)連結(jié)BＥ’’’；〔2〕同時(shí)選取線段BＥ’’’、點(diǎn)E、Ｅ’、Ｅ’’，由菜單“作圖〞“平行線〞，畫出了一組平行線，如圖1-1.16。圖1-1.16第五步：(1)用“選擇〞工具單擊平行線和AB相交處，得到三個(gè)四等分點(diǎn)；(2)選取所有平行線、射線AD及AD上的點(diǎn)(除A外)，由菜單“顯示〞“隱藏對(duì)象〞，可以隱藏制作過程中的輔助線。得如圖1-1.17。以下只要連結(jié)點(diǎn)C和三個(gè)四等分點(diǎn)就行了，……注意：在最后結(jié)果中不需要看到的對(duì)象，一般是把它隱藏，如果你選取后刪去了它，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你要的四等分點(diǎn)也會(huì)消失，這是因?yàn)檫@些點(diǎn)是受輔助線控制的，隱藏的對(duì)象只是看不到，但它仍然起作用。隱藏和刪除是不同的。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例一的練習(xí)供參考。圖1-1.17３、自己比擬一下這兩種方法，在只需要四等分的情況下，哪種方法方便？，在需要其它等分的情況下，哪種方法更具有一般性？案例二三角形的角和現(xiàn)有一塊三角形的木板，用來制作一個(gè)半圓形的木蓋，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)浪費(fèi)比擬小并且便于施工的方案。圖1-2.1思路：以三角形較短一邊的一半為半徑，以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫弧，得到三個(gè)扇形后拼成半圓，如圖1-2.2：圖1-2.2則，如何知道拼成的一定是一個(gè)半圓呢？下面用幾何畫板做一個(gè)實(shí)驗(yàn)來說明。方案：畫一個(gè)三角形；量三個(gè)角的度數(shù)；用幾何畫板的計(jì)算功能計(jì)算三個(gè)角的和。如果對(duì)于任意的三角形，總有角和是1800，則說明拼成的一定是一個(gè)半圓形。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件。畫出三角形ABC第二步：(1)選取“選擇〞工具，按住Shift不放，依次選取點(diǎn)B、A、C；(2)由菜單中的“度量〞“角度〞，量出∠BAC的度數(shù)，用同樣的方法度量其它兩個(gè)角。如圖1-2.3說明：由于每個(gè)人畫的圖不同，度數(shù)不一定和圖1-2.3一樣〕。注意：選一個(gè)角的關(guān)鍵是角的頂點(diǎn)要第二個(gè)選。圖1-2.3第三步：由菜單“度量〞“計(jì)算〞彈出一個(gè)計(jì)算器，依次點(diǎn)擊“∠BAC=…〞、“+〞、“∠ABC=…〞“+〞、“∠ACB=…〞、“確定〞，如圖1-2.4。說明：“∠BAC=…〞在本例中是“∠BAC=45.00〞，這里用省略號(hào)表示，是因?yàn)槊總€(gè)人畫的圖不同，量出的度數(shù)有可能不同，以后類似的問題都這樣來表示。技巧：彈出計(jì)算器的方法有：(1)由菜單“度量〞“計(jì)算〞；(2)雙擊工作區(qū)中的任一度量值，如“∠BAC=…〞；(3)在工作區(qū)中擊鼠標(biāo)右鍵，由“度量〞“計(jì)算〞。圖1-2.4歸納結(jié)論：請(qǐng)按要求操作后填寫下表：序號(hào)操作現(xiàn)象三個(gè)角的和等于1觀察∠BAC=______∠ABC=______∠ACB=______2用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)改變?nèi)切巫兂赦g角三角形∠BAC=______∠ABC=______∠ACB=______3用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)改變?nèi)切巫兂芍苯侨切巍螧AC=______∠ABC=______∠ACB=______4用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)任意改變?nèi)切蔚男螤钊齻€(gè)角的和總是結(jié)論三角形的角和總是________如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例二供參考。練習(xí)：1、自己畫一個(gè)凸四邊形，度量它的角，計(jì)算角和，驗(yàn)證凸四邊形的角和是3600。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)1供參考。2、用“選擇〞工具同時(shí)選取點(diǎn)A、B，由菜單“度量〞“距離〞，可以度量出線段AB的長(zhǎng)度，請(qǐng)你用上面所學(xué)的知識(shí)驗(yàn)證“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊〞。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)2供參考。案例三最正確行走路線如圖1-3.1：你身在草原上，現(xiàn)在要走到公路邊去等車，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)最正確行走路線。圖1-3.1思路：把人所處位置看作一個(gè)點(diǎn)，公路看作一條直線，行走的路線看作線段，由垂線段最短可以找到最正確行走路線。方案：畫一條直線，過直線外一點(diǎn)引直線的垂線段和斜線段，度量線段的長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)驗(yàn)證垂線段最短。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件。第二步：(1)按住工具箱中的畫線工具不放，在彈出的工具條中選取“畫直線〞工具，按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)畫出一條直線；(2)用“畫點(diǎn)〞工具在直線外畫一點(diǎn)，如圖1-3.2。圖1-3.2第三步：(1)按Shift鍵，用鼠標(biāo)選取點(diǎn)C和直線AB，(不要選取點(diǎn)A和B)；(2)由菜單“作圖〞“垂線〞，畫出了過點(diǎn)C垂直于AB的直線，如圖1-3.3說明：雖然點(diǎn)A、B在直線AB上，但選取直線時(shí)并沒有選取直線上的點(diǎn)，在后面的學(xué)習(xí)中，如果要求選取直線、線段、圓等對(duì)象，這時(shí)不要把對(duì)象上的點(diǎn)也選取，除非特別指明要選取這些點(diǎn)。圖1-3.3第四步：(1)用“選擇〞工具單擊垂足處，定義出垂足，標(biāo)上標(biāo)簽D；(2)選取垂線CD(不要選取點(diǎn)C、D)、點(diǎn)A、B，由“顯示〞“隱藏〞，把選取的對(duì)象隱藏，用“文本〞工具在直線上點(diǎn)一下，標(biāo)出直線的標(biāo)簽j；(3)選“畫線段〞工具，連結(jié)線段CD，如圖1-3.4。說明：點(diǎn)A、B是控制直線AB的點(diǎn)，通過拖動(dòng)這兩點(diǎn)，可以改變直線的方向和位置，一般情況下，如果不想再改變直線的位置，或不再畫其它線經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn)，可以在制作完成后把它隱藏。1-3.4第五步：(1)選取“畫線段〞工具；(2)移動(dòng)鼠標(biāo)到點(diǎn)C處，按下左鍵拖動(dòng)，當(dāng)鼠標(biāo)位于直線j上時(shí)松開，如圖1-3.5。技巧：CE是直線j的斜線段，所以要保證一個(gè)端點(diǎn)是C，另一個(gè)端點(diǎn)E只能在直線j上移動(dòng)，怎樣才能保證呢？，在畫圖的過程中，移動(dòng)鼠標(biāo)到點(diǎn)C時(shí)，注意觀察狀態(tài)欄中有“從點(diǎn)C〞，這時(shí)按下左鍵可以保證一個(gè)端點(diǎn)為C，移動(dòng)鼠標(biāo)到直線j時(shí)，狀態(tài)欄中有“到點(diǎn)位于直線j〞時(shí)松開，這樣點(diǎn)E一定在直線上，不能拖到直線外。在幾何畫板中，狀態(tài)欄的作用非常重要。圖1-3.5第六步：同時(shí)選取點(diǎn)C、D，由“度量〞“距離〞，量出CD，同理量出CE，如圖1-3.6。圖1-3.6歸納結(jié)論：拖動(dòng)點(diǎn)E在直線j上移動(dòng)，觀察CD與CE的大小，什么時(shí)候CE=CD？，除了這個(gè)位置外的其它位置CD與CE哪一個(gè)比擬大？以上操作說明：從直線處一點(diǎn)引直線的所有線段中，_________最短，因而最正確行走路線是走點(diǎn)到直線的垂線段。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載實(shí)例三供參考。練習(xí)：1、在圖1-3.6的根底上，增加一個(gè)點(diǎn)F，通過度量∠CDF、∠CEF，如圖1-3.7，拖動(dòng)點(diǎn)E，觀察什么情況下兩個(gè)角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直線j垂直嗎？圖1-3.7如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例三練習(xí)供參考。案例四橫梁有多長(zhǎng)如圖1-4.1，一個(gè)三角形屋架，屋面的寬度是13米，立柱長(zhǎng)5米，則橫梁有多長(zhǎng)？圖1-4.1思路：這是直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題，則，是不是任意的直角三角形三邊都有這種關(guān)系？方案：大家都已經(jīng)證明過勾股定理，但現(xiàn)在我們用不同的方法來重新認(rèn)識(shí)一下這個(gè)老朋友。用幾何畫板畫一個(gè)直角三角形，度量三條邊，計(jì)算兩直角邊的平方和，計(jì)算斜邊的平方，不斷改變圖形的大小形狀(但保持直角不變)，驗(yàn)證定理是否總是成立。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件。第二步：在工作區(qū)中畫一條線段AB，如圖1-4.2。圖1-4.2第三步：(1)按住Shift，用“選擇〞工具選取點(diǎn)A和線段AB；(2)由菜單“作圖〞“垂線〞，作出點(diǎn)A垂直于線段AB的直線。如圖1-4.3注意：不要選另外一個(gè)端點(diǎn)B，那樣過B點(diǎn)也會(huì)有一條直線與AB垂直，本例中我們不需要同時(shí)畫兩條垂線。技巧：只有這樣畫的圖才能在你拖動(dòng)點(diǎn)改變圖形的大小和形狀時(shí)總是保持垂直的關(guān)系，如果只是畫出一條自己看上去“垂直〞的直線，就不能在改變形狀時(shí)保持垂直關(guān)系。圖1-4.3第三步：(1)選“畫點(diǎn)〞工具；(2)移動(dòng)鼠標(biāo)到垂線上單擊，如圖圖1-4.4注意：觀察狀態(tài)欄中出現(xiàn)“點(diǎn)位于直線上〞時(shí)單擊，這樣畫的點(diǎn)永遠(yuǎn)位于直線上，不會(huì)拖到外面。圖1-4.4第三步：(1)選取垂線CD，由“顯示〞“隱藏直線〞，把垂線隱藏；(2)用畫線段工具畫出線段AC、線段BC，如圖1-4.5。技巧：最后的圖中應(yīng)該是線段，但為了保證變化過程中保持垂直關(guān)系，必須先畫輔助垂線，最后在不需要時(shí)把它隱藏。圖1-4.5第四步：用“文本〞工具單擊三角形的三邊，得到如圖1-4.6所示，圖1-4.6第五步：用“文本〞工具雙擊標(biāo)簽n，在彈出的對(duì)話框中作如下改動(dòng)：如圖1-4.7。圖1-4.7用同樣的方法改j為c，改m為b，如圖1-4.8。說明：這樣做是為了照顧我們的數(shù)學(xué)習(xí)慣，或者是題目本身的要求，這種改點(diǎn)或線的標(biāo)簽的方法，在操作過程中會(huì)經(jīng)常用到。圖1-4.8第七步：同時(shí)選取線段a、b、c，由菜單“度量〞“長(zhǎng)度〞，可以同時(shí)量出三條邊的長(zhǎng)度，如圖1-4.9圖1-4.9第八步：彈出計(jì)算器，依次點(diǎn)擊“b=…〞、“^〞、“2〞、“+〞、“c=…〞、“^〞、“2〞，然后按“確定〞，可以計(jì)算出b2+c2的值；同樣可以算出a2的值，得到如圖1-4.10，說明：這里“^〞表示乘方運(yùn)算。圖1-4.10歸納結(jié)論：序號(hào)操作現(xiàn)象b2+c2與a2相等嗎？1觀察b2+c2=____a2=_____2用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B到另一位置。b2+c2=____a2=_____3用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B到另一位置。b2+c2=____a2=_____4任意拖動(dòng)三角形頂點(diǎn)改變直角三角形的形狀，結(jié)論b2+c2____a2可以看到，總是有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，本例中的橫梁用勾股定理算得一半為12米，全長(zhǎng)為24米。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載實(shí)例四供參考。練習(xí)：1、量出直角三角形的兩銳角的度數(shù)，驗(yàn)證直角三角形的兩銳角互余。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例四練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個(gè)矩形，先完本錢例到第三步得圖1-4.11，這里只是把原來的點(diǎn)C改成了D。圖1-4.11〔1〕選取點(diǎn)D和線段AB，由“作圖〞“平行線〞，畫出過D平行AB的直線；〔2〕選取點(diǎn)B和直線AD，同樣畫出過點(diǎn)B平行于AD的直線；〔3〕用“選擇〞工具定義出第四個(gè)頂點(diǎn)，標(biāo)記標(biāo)簽為C；如圖1-4.12圖1-4.12〔4〕隱藏三條直線，畫出線段AD、DC、CB，即得矩形ABCD，如圖1-4.13。說明：拖動(dòng)點(diǎn)A、B可以改變矩形的大小和位置并可以旋轉(zhuǎn)一定的角度；拖動(dòng)點(diǎn)D只能改變矩形在縱向上的大小，拖動(dòng)點(diǎn)C不會(huì)改變矩形的大小，但可以改變矩形的位置，但無論如何改變，這個(gè)圖形一定是矩形，你可以通過度量角和邊來證實(shí)這一點(diǎn)。圖1-4-133、先畫出如圖1-4-14的圖形，然后用類似于第2題的方法畫一個(gè)平行四邊形，圖1-4-14案例五三角形的高三角形的高可能出現(xiàn)在哪些位置？思路：應(yīng)該對(duì)于直角、銳角、鈍角三種不同類形的三角作不同的答復(fù)。方案：如果用筆在紙上畫圖，只能三種類型中各畫一個(gè)圖來說明，現(xiàn)在借助幾何畫板，我們可以動(dòng)態(tài)地改變?nèi)切蔚男螤?，使不同類形的三角形的高可以?dòng)態(tài)改變。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：(1)選取“畫點(diǎn)〞工具畫三個(gè)點(diǎn)；(2)選取“畫直線〞工具后，什么都不用做；(3)選取“選擇〞工具，在屏幕上拉一個(gè)虛線框框住畫好的三點(diǎn)；(4)由菜單“作圖〞“畫直線〞(快捷鍵是Ctrl+L)，可以畫出過這三點(diǎn)的三條直線，標(biāo)上標(biāo)簽，如圖1-5.1。技巧：(1)如果要選取的對(duì)象比擬多，可以用“選擇〞工具在工作區(qū)中拉一個(gè)虛線框框住這些對(duì)象，這時(shí)可能會(huì)多項(xiàng)選擇了一些你并不想選的，可以按Shift鍵后，單擊該對(duì)象取消選擇狀態(tài)；(2)上面第二步選“畫直線〞工具的操作會(huì)影響菜單中會(huì)不會(huì)出出“畫直線〞的選項(xiàng)，如果你沒有做這一步，菜單常出現(xiàn)“畫線段〞，也就是說，幾何畫板中的有些菜單命令和按鈕的顯示狀態(tài)是相關(guān)的。1-5.1第二步：過點(diǎn)A作直線BC的垂線，并單擊垂足，定義出垂足D，用同樣的方法作出垂線BE和CF，如圖1-5.2，圖1-5.2第三步：按住Shift鍵，用“選擇〞工具選取所有的直線，注意不要選到點(diǎn)；由菜單“顯示〞“隱藏直線〞，可以隱藏所有直線，得到如圖1-5.3圖1-5.3第四步：(1)同時(shí)選取點(diǎn)A、B，(2)選取“畫線段〞工具，然后按Ctrl+L，畫出線段AB;(3)用同樣的方法畫出線段BC、AC、AD、BE、CF，得到如圖1-5.4。技巧：上面說Ctrl+L是畫直線，但當(dāng)你先畫了“畫線段〞的工具后，它的功能會(huì)自動(dòng)變邊畫線段。注意：為什么不一開場(chǎng)就畫三條線段組成三角形呢？這是本例的要點(diǎn)，因?yàn)槿绻婚_場(chǎng)畫的是線段，點(diǎn)D、E、F被定義為垂線和線段的交點(diǎn)，如果你拖動(dòng)三角形變?yōu)殁g角三角形，垂線和線段沒有交點(diǎn)，這樣會(huì)導(dǎo)致有兩條高消失。現(xiàn)在的點(diǎn)D、E、F分別是垂線和直線的交點(diǎn)，再拉動(dòng)三角形成鈍角三角形時(shí)，高不會(huì)消失。圖1-5.4第五步：(1)拖動(dòng)點(diǎn)A，使∠ACB變成鈍角，〔如圖1-5.5〕；(2)選取點(diǎn)C和D，按Ctrl+L，畫出線段CD；(3)保持線段CD的選取狀態(tài)，由菜單“顯示〞“線型〞“虛線〞，改CD為虛線，符合通常的習(xí)慣，用同樣的方法畫線虛線段CE，圖1-5.5第六步：拖動(dòng)點(diǎn)A使使∠ABC變成鈍角后用同樣的方法作出虛線段BF。最后完成圖1-5.6圖1-5.6歸納結(jié)論；序號(hào)操作三角形三條高的位置三條高〔或高的延長(zhǎng)線〕交于一點(diǎn)嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C到另一位置。使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使△ABC變?yōu)橹苯侨切?，再觀察，4用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條高或高的延長(zhǎng)線___________.如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例五供參考。練習(xí)：觀察三角形的三條中線，三條角平分線的位置關(guān)系。其中畫中點(diǎn)的方法：選取線段，由菜單“作圖〞“中點(diǎn)〞〔或按Ctrl+M〕可以作出線段的中點(diǎn)，接著就可以畫中線了；畫角平分線的方法：如按Shift，依次點(diǎn)選點(diǎn)B、A、C，可以作出∠BAC的平分線，確定角平分線和對(duì)邊的交點(diǎn)后，隱藏角平分線，再連出線段就行了。1、請(qǐng)自己畫一個(gè)三角形作出它的三條中線，然后按要求填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。序號(hào)操作三角形三條中線的位置三條中線交于一點(diǎn)嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C到另一位置。使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使△ABC變?yōu)橹苯侨切?，再觀察，4用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條中線___________.如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例五練習(xí)1供參考。2、請(qǐng)自己畫一個(gè)三角形，作出它的三條角平分線，然后按要求填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告。序號(hào)操作三角形三條角平分線的位置三條角平分線交于一點(diǎn)嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C到另一位置。使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使△ABC變?yōu)橹苯侨切?，再觀察，4用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條角平分線___________.如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例五練習(xí)2供參考。案例六掛畫的學(xué)問要把一幅畫掛在墻上，畫的上下邊框要和橫梁平行，左右與立柱的距離相等，應(yīng)該如何釘上掛釘？圖1-6.1思路：這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為和線段的垂直平分線有關(guān)的問題。方案：掛繩拉緊后，掛點(diǎn)到像框邊框兩端的距離應(yīng)該相等，考慮到平行和等距的條件，只要橫梁的中垂線與邊框中垂線二線合一就行了，所以只要畫橫梁的中垂線，把掛繩的中點(diǎn)定位在橫梁中垂線上即可。下面驗(yàn)證“線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端的距離相等〞。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：畫一條線段AB。如圖1-6.2圖1-6.2第二步：(1)用選擇工具選取線段AB，(2)由菜單“作圖〞“中點(diǎn)〞〔快捷鍵是Ctrl+M〕，畫出線段AB的中點(diǎn)C，如圖1-6.3注意：不要多項(xiàng)選擇其他對(duì)象，如果你多項(xiàng)選擇了其他對(duì)象，“中點(diǎn)〞這個(gè)選項(xiàng)是灰色的不可用，一般來說，只要選擇的對(duì)象不符合要求的條件，就不可能使用相應(yīng)的菜單項(xiàng)。如圖1-6.3第三步：(1)用“選擇〞工具按住左鍵拉一個(gè)框經(jīng)過點(diǎn)C和線段AB〔但不要框住A、B兩點(diǎn)〕，這樣可以同時(shí)選取點(diǎn)C和線段AB，(2)由菜單“作圖〞“垂線〞，畫出過點(diǎn)C垂直于線段AB的垂線，即是線段AB的垂直平分線。如圖1-6.4注意：如果你畫的圖不是這樣，過點(diǎn)A或B也有了垂線，那是因?yàn)槟愣囗?xiàng)選擇了點(diǎn)A或點(diǎn)B。圖1-6.4第四步：選取“畫點(diǎn)〞工具，在中垂線上畫一點(diǎn)，標(biāo)記為P，如圖1-6.5圖1-6.5第五步：(1)畫出線段PA、PB；(2)選取點(diǎn)P、A，由菜單“度量〞“距離〞，量得PA，同樣量出PB。第六步：(1)同時(shí)選取點(diǎn)P和中垂線；(2)由菜單“編輯〞“操作類按鈕〞“動(dòng)畫〞，在彈出的對(duì)話框中，設(shè)置如圖1-6.6圖1-6.6這樣在屏幕上會(huì)出出一個(gè)“動(dòng)畫〞按鈕，當(dāng)雙擊這個(gè)按鈕時(shí)，點(diǎn)P會(huì)在直線上雙向地移動(dòng)。便于我們動(dòng)態(tài)地觀察。最后結(jié)果如圖1-6.7。注意：不要多項(xiàng)選擇其它對(duì)象，這里只需要點(diǎn)P在中垂線上運(yùn)動(dòng)。圖1-6.7歸納結(jié)論：序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論(是否相等)1拖動(dòng)點(diǎn)P到另一位置，這時(shí)PA=____PB=____PA____PB2拖動(dòng)點(diǎn)P到第二個(gè)位置這時(shí)PA=____PB=____PA____PB3拖動(dòng)點(diǎn)P到第三個(gè)位置這時(shí)PA=____PB=____PA____PB4雙擊“動(dòng)畫〞按鈕，點(diǎn)P在AB的中垂線上不停的運(yùn)動(dòng)，PA____PB結(jié)論只要點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，實(shí)驗(yàn)過程中PA______PB.如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例六供參考。練習(xí):1、我們將在前面作圖的根底上，進(jìn)一步驗(yàn)證等腰三角形、等邊三角形的一些性質(zhì)。第七步：(1)選取垂直平分線，將它隱藏；(2)畫出線段PC。得到如圖1-6.8。圖1-6.8第八步：用量距離的方法量AC、BC，量∠PAB、∠PBA、∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC的度數(shù)，得到如圖1-6.9。圖1-6.9歸納結(jié)論：序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1用鼠標(biāo)拖動(dòng)〔或雙擊動(dòng)畫按鈕〕不斷地改變點(diǎn)P位置。PA和PB總是相等嗎？____________________△PAB是______三角形。2∠PAB和∠PBA總是相等嗎？等腰三角形的兩底角__________3∠PCB總是等于90度嗎？______________PC是等腰三角底邊上的________4AC和CB的長(zhǎng)總是相等嗎？______PC是等腰三角形底邊上的_________.5∠APC和∠BPC總是相等嗎？__________PC是等腰三角形頂角的_______________.結(jié)論等腰三角形的兩底角_______，底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線三線__________.也可以拖動(dòng)使∠APB=600，再觀察邊角的變化。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個(gè)菱形，接第1題，先畫出如圖1-6.10的圖形，由于點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。圖1-6.10〔1〕選擇線段AB，由“變換〞“標(biāo)記鏡面…〞，標(biāo)記AB為鏡面，線段上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個(gè)方框。說明：標(biāo)記鏡面后，一個(gè)對(duì)象如果關(guān)于這個(gè)鏡面反射，這時(shí)就好象人照鏡子一樣，人離鏡面近，人像離鏡面也近，用數(shù)學(xué)的說法，鏡面就是對(duì)稱軸，反射可以得到對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ圖形。技巧：標(biāo)記鏡面的另兩種方法：〔1〕直接雙擊直線〔線段、射線〕；〔2〕選取直線〔線段、射線〕后用快捷鍵Ctrl+G.〔2〕同時(shí)選取點(diǎn)P、線段PA、PC、PB；〔3〕由“變換〞“反射〞，得到如圖1-6.11。〔4〕用“文本〞工具改各點(diǎn)標(biāo)簽為你想要的，例如得圖1-6.12。說明：在幾何畫板中，畫特殊四邊形的方法不只一種，但不管用哪種方法，都要符合圖形的幾何關(guān)系，也就是當(dāng)改變大小了位置時(shí)，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。圖1-6.11圖1-6.12如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)2供參考。案例七抽水房的位置在一條河的同一旁有兩個(gè)村莊A和B，現(xiàn)在要在河邊建一個(gè)抽水房，應(yīng)該建在什么位置，才能使所用的水管的錢最少?圖1-7.1思路：用錢最少，一般要求所用的水管最短，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即是在表示河流的直線上找一個(gè)點(diǎn)C，使AC+BC最小。方案：作點(diǎn)A關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn)A’，連A’B交河流于C，計(jì)算AC+CB；在河流上另取一點(diǎn)D，計(jì)算AD+DB，通過拖動(dòng)點(diǎn)D在直線上移動(dòng)，驗(yàn)證AC+CB最小，從而說明C為最正確點(diǎn)。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：〔1〕畫出表示村莊的點(diǎn)A、B；〔2〕畫一條直線表示河流，隱藏直線上的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)置直線的標(biāo)簽為“河流〞，如圖1-7.2。說明：標(biāo)簽可以用中文表示，這種技巧常用來標(biāo)注點(diǎn)或線等對(duì)象的功能，例如：給*一點(diǎn)標(biāo)上“拖動(dòng)我改變圖形〞。圖1-7.2第二步：〔1〕選取表示河流的直線；〔2〕由菜單“變換〞“標(biāo)記鏡面…〞，直線上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個(gè)方框。第三步：〔1〕選取點(diǎn)A，由菜單“變換〞“反射〞，得點(diǎn)A關(guān)于直線〔河流〕的對(duì)稱點(diǎn)；〔2〕用文本工具標(biāo)出標(biāo)簽，默認(rèn)的是字母A’，得到如圖1-7.3圖1-7.3第四步：〔1〕用“畫線段〞工具連結(jié)A’B；〔2〕用“選擇〞工具在線段和河流相交處單擊，作出線段和河流的交點(diǎn)，標(biāo)出交點(diǎn)的標(biāo)簽C，如圖1-7.4。圖1-7.4第五步：〔1〕用“畫點(diǎn)〞工具在河流上畫一個(gè)點(diǎn)，標(biāo)記為D；〔2〕用“畫線段〞工具連結(jié)AC、AD、BD、A’D，如圖1-7.5。圖1-7.5第六步：〔1〕同時(shí)選取點(diǎn)A、點(diǎn)C；〔2〕由菜單“度量“距離〞，量出AC；〔3〕用同樣的方法量出A’C、CB、AD、A’D、DB，如圖1-7.6。說明：量出點(diǎn)A、C的距離，由數(shù)學(xué)定義可知，這就是線段的長(zhǎng)；量線段的長(zhǎng)還可以直接選取線段AC，〔不要選取點(diǎn)A、C〕，“度量〞“長(zhǎng)度〞，但這樣的方法無法直接量出圖1-7.6中CB的長(zhǎng)，還要進(jìn)一步作圖。圖1-7.6第七步：〔1〕調(diào)出計(jì)算器；〔2〕依次點(diǎn)擊“AC=…〞、“+〞、“CB=…〞、“確定〞，可以計(jì)算出AC+CB的值；〔3〕同樣去計(jì)算A’C+CB、AD+DB、A’D+DB，拖動(dòng)到適當(dāng)位置得到如圖1-7.8。圖1-7.8歸納結(jié)論：(一)序號(hào)操作現(xiàn)象D點(diǎn)是否是最正確點(diǎn)1觀察AC+CB=____AD+DB=____2拖動(dòng)點(diǎn)D遠(yuǎn)離點(diǎn)C，上面的兩個(gè)和差距變______〔大或小〕3拖動(dòng)點(diǎn)D靠近點(diǎn)C，上面的兩個(gè)和差距變______〔大或小〕4拖動(dòng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，上面的兩個(gè)和_____結(jié)論以上現(xiàn)象說明，只有取點(diǎn)____處，才能使所用的水管最短，〔二〕序號(hào)操作現(xiàn)象有無相等的關(guān)系1觀察AC+CB=____A’C+CB=____AD+DB=____A’D+DB=____2拖動(dòng)點(diǎn)D遠(yuǎn)離點(diǎn)C，AC+CB=____A’C+CB=____AD+DB=____A’D+DB=____3拖動(dòng)點(diǎn)D靠近點(diǎn)C，AC+CB=____A’C+CB=____AD+DB=____A’D+DB=____4拖動(dòng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，AC+CB=____A’C+CB=____AD+DB=____A’D+DB=____結(jié)論以上現(xiàn)象說明，研究AC+CB、AD+DB的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)為研究A’C+CB和A’D+DB的關(guān)系，而這個(gè)關(guān)系可以簡(jiǎn)單地用三角形的兩邊之和____第三邊來說明。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例七供參考。練習(xí)：畫一條直線，在直線的一旁畫一個(gè)三角形，標(biāo)記直線為“鏡面〞〔即對(duì)稱軸〕，選取三角形的全部〔包括頂點(diǎn)和邊〕，“反射〞出它關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，用鼠標(biāo)拖動(dòng)改變?nèi)切蔚男螤?，體會(huì)“對(duì)稱的圖形是全等形〞，連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)，通過過量角和量線段，體會(huì)“對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分〞。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例七練習(xí)供參考。案例八選擇廠址如圖，區(qū)新建一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋的距離為300米，在圖上標(biāo)出工廠的位置，并說明理由。比例尺是1：20000圖1-8.1思路：這里可以把橋看作是一個(gè)角的頂點(diǎn)，河岸和公路分別是角的兩邊，問題轉(zhuǎn)化為：在角平分線上找一點(diǎn)，使它到頂點(diǎn)的距離是300米。方案：〔1〕畫出角的平分線，以頂點(diǎn)為圓心；〔2〕1.5cm為半徑畫圓，定義圓與角平分線的交點(diǎn)即為所求。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板文件。第二步：選“畫射線〞工具，畫一個(gè)角，如圖1-8.2。圖1-8.2第三步：〔1〕用“選擇〞工具依次選取點(diǎn)B、A、C；〔2〕由菜單“作圖〞“角平分線〞，畫出了∠BAC的平分線，如圖1-8.3。圖1-8.3第四步：用“畫點(diǎn)工具〞在角平分線上畫一個(gè)點(diǎn)，標(biāo)出標(biāo)簽。得到如圖1-8.4。圖1-8.4第五步：〔1〕用“選擇〞工具同時(shí)選取點(diǎn)D和射線AB；〔2〕由“作圖〞“垂線〞，畫出過點(diǎn)D垂直于射線AB的直線；〔3〕用“選擇〞工具單擊垂足處，定義表示垂足的點(diǎn)，并用“文本〞工具標(biāo)上標(biāo)簽；〔4〕選取畫好的垂線，把它隱藏，并用“畫線段〞工具畫出垂線段DE，用同樣的方法畫出垂線段DF，得到如圖1-8.5圖1-8.5第六步：〔1〕選取點(diǎn)D和射線AD，〔2〕由“編輯〞“操作類按鈕〞“動(dòng)畫〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置點(diǎn)D在射線AD上雙向慢速運(yùn)動(dòng)。得到如圖1-8.6。圖1-8.6第七步：度量出∠AED、∠AFD，線段DE、DF，最后的結(jié)果如圖1-8.7。操作驗(yàn)證：雙擊“動(dòng)畫〞按鈕或用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)D移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)DE、DF總是分別垂直于角的兩邊，并且DE=DF，這說明了我們要找的點(diǎn)可以定位于角平分線上。圖1-8.7第八步：在工作區(qū)中畫一條線段GH，量出距離，通過調(diào)整G、H的位置，使GH=1.5cm。如圖1-8.8說明：取GH=1.5cm是因?yàn)楸壤呤?：20000。圖1-8.8第九步：〔1〕同時(shí)選取點(diǎn)A和線段GH〔不要選點(diǎn)G和H〕；〔2〕由“作圖〞“以圓心和半徑畫圓〞，得到一個(gè)以點(diǎn)A為圓心，半徑是1.5cm的圓；〔3〕用“選擇〞工具單擊圓與角平分線的相交處，定義出的交點(diǎn)I即為所求。如圖1-8.9如圖1-8.9第十步：〔1〕選取圓把它隱藏；〔2〕度量AI；〔3〕選取點(diǎn)I和射線AB，由“度量〞“距離〞，可以量出點(diǎn)I到射線的距離，同理量出點(diǎn)到角的另一邊的距離，如圖1-8.10由圖可知，點(diǎn)I為所求的點(diǎn)。說明：本例是為了幫助學(xué)習(xí)角平分線的有關(guān)作圖，復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)，所以設(shè)計(jì)了較多的步驟，如果只是為了解決問題本身，可以在畫好角平分線后轉(zhuǎn)入第八步，可以快速確定出點(diǎn)I。圖1-8.10如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例八供參考。練習(xí)：1、如圖1-8.11是兩個(gè)互為鄰補(bǔ)角的角，分別畫出它們的角平分線，驗(yàn)證所畫角平分線的關(guān)系。圖1-8.11如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)1供參考。2、驗(yàn)證平行線的性質(zhì)第一步：〔1〕畫一條直線；〔2〕在直線外畫一點(diǎn)。如圖1-8.12。圖1-8.12第二步：〔1〕選取點(diǎn)C和直線AB；〔2〕由“作圖〞“平行線〞，得如圖1-8.13圖1-8.13第三步：畫第三條直線和這兩條平行線相交，最后完成如圖1-8.14圖1-8.14請(qǐng)自己度量同位角、錯(cuò)角，同旁角，計(jì)算同旁角的和，拖動(dòng)點(diǎn)改變圖形，驗(yàn)證平行線的性質(zhì)。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2供參考。案例九古建筑的窗格在古建筑中，?？梢钥吹竭@樣的窗格，如圖1-9.1，這其中有什么數(shù)學(xué)知識(shí)呢？圖1-9.1思路：外圈是一個(gè)矩形，相當(dāng)于連結(jié)矩形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)四邊形，再連結(jié)它的四邊的中點(diǎn)。方案：〔1〕先畫一個(gè)平行四邊形，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn)，度量三個(gè)四邊形的四邊和一個(gè)角，此步可以用來說明“順次連結(jié)平行四邊形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形〞；〔2〕通過拖動(dòng)點(diǎn)的位置，使最大的四邊形的一個(gè)角的度數(shù)為900，這時(shí)可以觀察里面的兩個(gè)四邊形，此步可以說明：“順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形〞、“順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形〞；〔3〕繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)的位置，保持最大四邊形的角是900的前提下，使它的鄰邊相等，這時(shí)最大的四邊形是正方形，此步可以說明：“順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形〞。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：畫一個(gè)平行四邊形，先畫好線段AB、BC；分別過點(diǎn)C作線段AB的平行線，過點(diǎn)A作線段BC的平行線；用“選擇〞工具定義得交點(diǎn)D，如圖1-9.2。圖1-9.2第二步：〔1〕隱藏直線AD、DC；〔2〕連結(jié)線段AD、DC，得如圖1-9.3。注意：隱藏直線時(shí)不要誤選點(diǎn)A、D、C，這三點(diǎn)不能隱藏。圖1-9.3第三步：〔1〕選取平行四邊形的四邊，由“作圖〞“中點(diǎn)〞，畫出四邊中點(diǎn)，用線段順次連結(jié)；〔2〕再選取所連四條線段，同樣定義中點(diǎn)，順次連結(jié)，如圖1-9.4。圖1-9.4第四步：〔1〕同時(shí)選點(diǎn)A、B，由“度量〞“距離〞，量出AB的長(zhǎng)，用同樣的方法量出每個(gè)四邊形的四條邊；〔2〕按住Shift，依次選點(diǎn)D、A、B，量出∠DAB，同樣量∠HEF、∠KLI；得如圖1-9.5。圖1-9.5歸納結(jié)論：拖動(dòng)點(diǎn)C改變平行四邊形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD總是平行四邊形，四邊形EFGH是_______________,四邊形IJKL是____________，說明順次連結(jié)平行四邊形的四邊中點(diǎn)，所得的圖形是________________.拖動(dòng)點(diǎn)C，使∠DAB=900，這時(shí)ABCD是______形，四邊形EFGH是_______，四邊形IJKL是________。說明順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)得_______，順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)得______.拖動(dòng)點(diǎn)C，保持∠DAB=900，同時(shí)使AB=AD，這時(shí)ABCD是______形，四邊形EFGH是_______，四邊形IJKL是________。說明順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)得_______。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例九供參考。練習(xí)：1、〔1〕畫一個(gè)四邊形，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)，如圖1-9.6，看得到的GFEH什么樣的圖形，請(qǐng)度量GFEH的邊長(zhǎng)來說明；〔2〕拖動(dòng)點(diǎn)A成圖1-9.7位置，GFEH還是平行四邊形嗎？〔3〕拖動(dòng)點(diǎn)A成圖1-9.8位置，GFEH還是平行四邊形嗎？以上操作說明：四條線段首尾相接(不一定是凸四邊形)，順次連結(jié)各線段中點(diǎn)所得的圖形是_______圖1-9.6圖1-9.7圖1-9.8如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)1供參考。2、更深入的探究：順次連結(jié)什么樣的四邊形的四邊中點(diǎn)可以得到矩形、菱形、正方形？〔1〕連結(jié)得正方形。第一步：畫一條線段，AB，在AB上畫一點(diǎn)C，如圖1-9.9圖1-9.9第二步：用“選擇〞工具雙擊點(diǎn)C，標(biāo)記點(diǎn)C為中心，下面將要進(jìn)展的旋轉(zhuǎn)是繞點(diǎn)C進(jìn)展的，技巧：標(biāo)記一點(diǎn)為中心的另兩種方法是選取一個(gè)點(diǎn)，由“變換〞“標(biāo)記中心〞；選取一個(gè)點(diǎn)，按快捷鍵Ctrl+F。第三步：選取點(diǎn)A、B，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置如圖1-9.10：得到如圖1-9.11。圖1-9.10說明：這樣做的目的是保證兩條線段垂直且相等。圖1-9.11第四步：選取點(diǎn)A'、B'，由“變換〞“平移〞，在彈出的對(duì)話框中做如圖1-9.12設(shè)置，得圖1-9.13。圖1-9.12說明：如果我們直接由剛剛的四個(gè)點(diǎn)連結(jié)得四邊形，會(huì)得到一個(gè)梯形，平移的目的在于，平移后A''B''仍垂直且等于AB，但四邊形不再是梯形，這時(shí)可以得到一個(gè)比擬一般的四邊形。圖1-9.13第五步：隱藏A'、B'，連結(jié)AA''、A''B、AB''、BB''，如圖1-9.14。圖1-9.14第六步：作四邊形各邊中點(diǎn)，連結(jié)如圖1-9.15。以下請(qǐng)自己度量DEFG的四邊和一個(gè)角，通過拖動(dòng)點(diǎn)C改變圖形，只要四邊形的對(duì)角線垂且相等，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)所得圖形是_______。圖1-9.15〔2〕自己畫兩條垂直但不相等的相交線段，以它們?yōu)閷?duì)角線畫出四邊形，看看順次連結(jié)四邊中點(diǎn)得什么樣的圖形?！?〕畫兩條相等但不垂直的相交直線，以它們?yōu)閷?duì)角線畫出四邊形，看看順次連結(jié)四邊中點(diǎn)得什么樣的圖形。提示：在第〔1〕小題中旋轉(zhuǎn)時(shí)不要轉(zhuǎn)900，改為其它度數(shù)即可。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2供參考。案例十成功之路不只一條以幾何畫板為工具，你會(huì)用多少種方法來畫一個(gè)正方形？思路：無論你用什么方法，你必須保證這樣的結(jié)果，畫好的正方形在改變大小和位置時(shí)，仍然是一個(gè)正方形，也就是說，“四邊相等〞、“四個(gè)角是直角〞、“對(duì)角線互相垂直平分且相等〞這些性質(zhì)仍然保持。下面給出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否則請(qǐng)參考后面的詳細(xì)步驟：方案一：〔1〕畫一條線段；〔2〕作出線段的中點(diǎn)；〔3〕標(biāo)記中點(diǎn)為“中心〞；〔4〕選取線段和它的兩個(gè)端點(diǎn)，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置“按90度旋轉(zhuǎn)〞；〔5〕連結(jié)旋轉(zhuǎn)后兩條線段的端點(diǎn)。方案二：〔1〕畫一條線段；〔2〕標(biāo)記線段的一個(gè)左端點(diǎn)為“中心〞；〔3〕選取線段和右端點(diǎn)，按上面介紹的方法把它們旋轉(zhuǎn)90度；〔4〕標(biāo)記右端點(diǎn)為“中心〞；〔5〕選取線段和左端點(diǎn)，按上面的方法旋轉(zhuǎn)-90度；〔6〕連出第四條邊。方案三：〔1〕畫一條直線，在這條直線上畫一點(diǎn)；〔2〕過這一點(diǎn)畫直線的垂線；〔3〕以垂足為圓心畫一個(gè)圓；〔4〕定義出圓和兩條直線的交點(diǎn)；〔5〕順次連結(jié)四個(gè)交點(diǎn)，隱藏不需要的對(duì)象。方案四：〔1〕畫一個(gè)圓，標(biāo)記圓心為中心；〔2〕；在圓上畫一點(diǎn)，選取這個(gè)點(diǎn)，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，設(shè)置旋轉(zhuǎn)90度，這時(shí)得到另一個(gè)點(diǎn)；〔3〕保持新得到的點(diǎn)的選取狀態(tài)，把它又旋轉(zhuǎn)90度，得到第三個(gè)頂點(diǎn)；〔4〕連結(jié)四個(gè)頂點(diǎn)，隱藏不需要的對(duì)象?！谶@里提出你的新方案：以上四種雖然都能畫出正方形，但畫好的四邊形在控制大小和位置時(shí)有的比擬方便，有的不是很方便，請(qǐng)自己比擬哪些方案比擬方便。用幾何畫板驗(yàn)證：方案一的驗(yàn)證第一步：畫一條線段AB，作出它的中點(diǎn)C，用“選擇〞工具雙擊點(diǎn)C，點(diǎn)C被標(biāo)記為中心，如圖1-10.1。圖1-10-1第二步：選取點(diǎn)A、B和線段AB，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置“按90度旋轉(zhuǎn)〞，如圖1-10.2。圖1-10.2第三步：改標(biāo)簽為我們常用的，如圖1-10.2。圖1-10.2第四步：最后連結(jié)得如圖1-10.3。說明：拖動(dòng)點(diǎn)C或A可以把正方形“擺正〞。圖1-10.3方案二的驗(yàn)證：用幾何畫板學(xué)習(xí)到現(xiàn)在，相信大家會(huì)有一個(gè)感覺，幾何畫板中為什么不能直接畫出矩形、正方形等特殊圖形，其實(shí)是可以的，但是這個(gè)功能需要自己把畫圖的過程保存為一個(gè)記錄文件，然后在“對(duì)象參數(shù)設(shè)置〞面板中設(shè)置好使用記錄文件的路徑，這時(shí)工具箱中會(huì)多出一個(gè)按鈕，可以通過這個(gè)按鈕調(diào)用記錄文件，這時(shí)可以快速畫好一個(gè)特殊的圖形。如何制作一個(gè)記錄文件：第一步：〔1〕新建一個(gè)幾何畫板文件；〔2〕選取“文件〞“新記錄〞，這時(shí)窗口變成如圖1-10.4。左邊是繪圖窗口，右邊是記錄窗口，注意：繪圖文件是擴(kuò)展名是.gsp，記錄文件的擴(kuò)展名是.gss。圖1-10.4第二步：點(diǎn)一下記錄窗口中的“記錄〞，按鈕，記錄窗口變成如圖1-10.5。圖1-10.5第三步：點(diǎn)擊“繪圖〞窗口，在窗口中畫一個(gè)線段，如圖1-10.6。圖1-10.6第四步：〔1〕用“選擇〞工具雙擊左邊端點(diǎn)，標(biāo)記此點(diǎn)為“中心〞；〔2〕選取右邊的端點(diǎn)和線段，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置“按90度旋轉(zhuǎn)〞，得如圖1-10.7。圖1-10.7第五步：〔1〕用“選擇〞工具雙擊右邊端點(diǎn)，標(biāo)記此點(diǎn)為“中心〞；〔2〕選取左邊的端點(diǎn)和線段，由“變換〞“旋轉(zhuǎn)〞，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置“按－90度旋轉(zhuǎn)〞，得如圖1-10.8。圖1-10.8第六步：〔1〕連出最后一邊；得圖1-10.9；〔2〕單擊“記錄窗口〞中的停頓按鈕，完畢記錄的錄制；〔3〕在保持“記錄窗口〞是活動(dòng)窗口的前提下，由“文件〞“存盤〞，彈出“文件另存為〞窗口，默認(rèn)的文件名是“記錄01.gss〞，可以改為“正方形.gss〞，默認(rèn)的位置是幾何畫板的安裝目錄，不用修改直接點(diǎn)“確定〞。以上的工作已經(jīng)錄制好一個(gè)記錄并保存，下面學(xué)習(xí)如何從工作箱中調(diào)用這個(gè)記錄。圖1-10.9如何設(shè)置記錄工具所在目錄：第七步：〔1〕由“顯示〞“參數(shù)選擇…〞，彈出一個(gè)對(duì)話框；〔2〕在對(duì)話框中點(diǎn)“R其他〞按鈕，又彈出一個(gè)“高級(jí)參數(shù)選擇〞對(duì)話框，請(qǐng)注意“記錄工具目錄〞這一局部，如圖1-10.10。圖1-10.10第八步：〔1〕單擊“設(shè)置〞按鈕，彈出選擇目錄對(duì)話框，選擇目錄為你剛剛存放記錄“正方形.gss〞的文件夾；〔2〕點(diǎn)“確定〞按鈕關(guān)掉第三個(gè)對(duì)話框，再點(diǎn)“繼續(xù)〞按鈕關(guān)掉第二個(gè)對(duì)話框，最后點(diǎn)“確定〞關(guān)閉第一個(gè)對(duì)話框，完成記錄工具目錄的設(shè)置。說明：這個(gè)操作只需設(shè)置一次，以后制作好的目錄都存在已設(shè)置好的文件夾中，就可以方便的調(diào)用了。如何使用記錄工具：第九步：當(dāng)你正確設(shè)置好后，工具箱中會(huì)多出一個(gè)按鈕，點(diǎn)擊這個(gè)按鈕，出現(xiàn)圖1-10.11。點(diǎn)取正方形這一項(xiàng)，然后在窗口中按鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)，可以快速畫出一個(gè)正方形。圖1-10.11練習(xí)：自己錄制一個(gè)畫矩形的記錄，存放在正方形記錄所在文件夾。錄制一個(gè)畫正三角形的記錄。錄制一個(gè)畫平行四邊形的記錄。錄制你常用的其它圖形的記錄。案例十一圓周角與圓心角方案：畫一個(gè)圓，畫出一段弧所對(duì)的圓心角和圓周角，驗(yàn)證同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板文件。第二步：〔1〕選取“圓畫〞工具；〔2〕按住鼠標(biāo)左鍵在工作區(qū)中拖動(dòng)，可以畫一個(gè)圓；〔3〕標(biāo)出標(biāo)簽并改為所要的，如圖1-11.1。這時(shí)同時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)是圓心，一個(gè)是圓上的點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)可以用來控制圓的大小和位置，在下面的作圖過程中，一般不要用到圓上的這一點(diǎn)，以免在拖動(dòng)的過程中改變了圓的大小。圖1-11.1第三步：用“畫點(diǎn)〞工具，在圓上畫出三個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上標(biāo)簽并改為點(diǎn)P、A、B，得到如圖1-11.2。圖1-11.2第四步：連結(jié)PA、PB、OA、OB，度量∠AOB、∠APB，得到如圖1-11.3。圖1-11.3第五步：由菜單“度量〞“計(jì)算〞，彈出幾何畫板的計(jì)算器，依次點(diǎn)取“∠APB〞、“/〞、“∠AOB〞、“確定〞，可以計(jì)算出兩個(gè)角的比。得到如圖1-11-4。圖1-11-4歸納結(jié)論：序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1拖動(dòng)點(diǎn)P，在弧AGB上移動(dòng)，∠APB=_____∠AOB=_____同弧所對(duì)的圓周角_________;同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的____2拖動(dòng)點(diǎn)B，把弧AB變長(zhǎng)，∠APB=_____∠AOB=_____同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的____結(jié)論如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例十一供參考。練習(xí)：自己畫一個(gè)圓，在圓上畫四點(diǎn)，畫出一個(gè)圓接四邊形，驗(yàn)證圓接四邊對(duì)角互補(bǔ)。畫三角形的外接圓，畫法要點(diǎn)：〔1〕先畫好一個(gè)三角形；〔2〕畫兩邊的垂直平分線，用“選擇工具〞單擊兩條垂直平分線的交點(diǎn)處，確定出外心；〔3〕按住Shift，用“選擇工具〞先選取外心，再選取三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，由菜單“作圖〞“以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓〞，畫出三角形的外接圓，隱藏兩條中垂線，得到最后的圖形。畫三角形的切圓，畫法要點(diǎn)：〔1〕先畫好一個(gè)三角形，畫出三角形的兩條角平分線，并確定對(duì)角線的交點(diǎn)，即是心；〔2〕過心作一條邊的垂線，確定出垂足；〔3〕按住Shift，用“選擇工具〞先選取心，再選取剛剛作的垂足，由菜單“作圖〞“以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓〞，畫出三角形的切圓，隱藏兩條角平分線和垂線，得到最后的圖形。案例十二與圓有關(guān)的比例線段思路：相交弦定理，切割線定理及其推論，形式上有類似之處，則三者之間到底是什么樣的關(guān)系呢？方案：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下條件的小課件，〔1〕可以動(dòng)態(tài)地變化出弦相交于圓或它們的延長(zhǎng)線相交于圓外；〔2〕割線和圓的兩交點(diǎn)可以變成一個(gè)交點(diǎn)，從而變成切線，方便研究關(guān)系。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板文件。第二步：在工作區(qū)畫一個(gè)圓，并在圓上畫四點(diǎn)，標(biāo)上標(biāo)簽并改為A、B、C、D，如圖1-12.1。圖1-12.1第三步：〔1〕選取“畫直線〞工具，移動(dòng)鼠標(biāo)到點(diǎn)A按下，拖動(dòng)到點(diǎn)B放開，畫出直線AB，同理畫直線CD；〔2〕用“選擇〞工具單擊兩條直線的交點(diǎn)處確定出交點(diǎn)。標(biāo)記標(biāo)簽為P，得到圖1-12.2。注意：此步一定選畫直線相交，如果一開場(chǎng)畫的是線段，就不能讓它們?cè)趫A外相交了。圖1-12.2第四步：〔1〕選取剛剛畫的兩條直線AB、CD，由菜單“顯示〞“隱藏直線〞，把直線AB、CD隱藏；〔2〕選取“畫線段〞工具分別畫出線段PA、PB、PC、PD。得到圖1-12.3。圖1-12.3第五步：〔1〕按Shift鍵不放，選取點(diǎn)P、A，由菜單“度量〞“距離〞，量出PA，用同樣的方法量出PB、PC、PD；〔2〕由菜單“度量〞“計(jì)算〞，彈出幾何畫板的計(jì)算器，依次點(diǎn)擊“PA=…〞、“*〞、“PB=…〞、“確定〞，可以計(jì)算出PA與PB的積，同理可以計(jì)算出PC與PD的積，得到如圖1-12.4。注意：由于每個(gè)人畫的圖不同，度量的數(shù)據(jù)和計(jì)算的結(jié)果都不會(huì)一樣，但只要完成同樣的操作就行了。圖1-12.4歸納結(jié)論：序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1拖動(dòng)點(diǎn)C在弧ACB上移動(dòng)，點(diǎn)P在圓的___部；PA·PB_____PC·PD圓的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)P，PA·PB_____PC·PD2拖動(dòng)點(diǎn)C移到弧ABD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在圓的___部；PA·PB_____PC·PD圓的兩條弦AB與CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn)P，PA·PB_____PC·PD3拖動(dòng)點(diǎn)C移動(dòng)到與點(diǎn)D重合。線段CD與圓的兩個(gè)交點(diǎn)變?yōu)開__個(gè)，此時(shí)PC〔PD〕就是圓的__線段PA·PB_____PC2從圓外一點(diǎn)引圓的切線段和割線，切線和是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的__________。結(jié)論從實(shí)驗(yàn)可以看出，如果考慮弦相交或弦的延長(zhǎng)線相交，或者當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)變?yōu)橐粋€(gè)時(shí)，割線變成了切線，三個(gè)定理在本質(zhì)_____〔是或不是〕統(tǒng)一的。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例十二供參考。練習(xí)：驗(yàn)證直線與圓的位置關(guān)系，操作要點(diǎn)：〔1〕畫一個(gè)圓，畫出它的一條半徑，量出半徑的長(zhǎng)；〔2〕畫一條垂線，作出圓心到直線的垂線段，量出垂線段的長(zhǎng)；〔3〕通過拖動(dòng)直線和圓的相對(duì)位置，比擬半徑和垂線段的長(zhǎng)的大小，找出相互關(guān)系的數(shù)量表示方法；如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例十二練習(xí)1供參考。驗(yàn)證圓與圓的位置關(guān)系：操作要點(diǎn)：〔1〕，畫大小不同的兩個(gè)圓；〔2〕畫出各自的半徑和連心線；〔3〕度量它們的半徑和圓心距，并用計(jì)算器計(jì)算出半徑之和、半徑之差；〔4〕通過拖動(dòng)圓〔不要只拖圓心〕，改變兩個(gè)圓的相對(duì)位置，找到不同位置關(guān)系下的數(shù)量表示方法。如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例十二練習(xí)2供參考。案例十三一次函數(shù)的圖象思路：畫出一次函數(shù)y=k*+b的圖象，研究k、b對(duì)一次函數(shù)的位置關(guān)系的影響。方案：在橫軸和縱軸上各畫一個(gè)點(diǎn)，用橫軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示k，用縱軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示b，計(jì)算出函數(shù)值，畫出函數(shù)的圖象，通過拖動(dòng)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)改變k和b的值，從而觀察函數(shù)圖象的變化。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：新建一個(gè)幾何畫板文件。第二步：由菜單“圖表〞“建立坐標(biāo)系〞，這樣可以在平面建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系；得到如圖1-13.1。圖1-13.1第三步：〔1〕選取“畫點(diǎn)工具〞，分別在*軸畫兩個(gè)點(diǎn)、y軸上畫一個(gè)點(diǎn)；〔2〕用“文本〞工具標(biāo)出它們的標(biāo)簽，并*改軸上的為k，改y軸上的為b,，得到如圖1-13.2注意：這樣不符合常規(guī)的表示方法，一般的點(diǎn)是用大寫字母表示的，但這里為了能更清楚的觀察，我們例外地這樣表示。圖1-13.2第四步：〔1〕選取b點(diǎn)和點(diǎn)k，由菜單“度量〞“坐標(biāo)〞，可以量出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕由菜單“度量〞“計(jì)算〞，彈出計(jì)算器。用鼠標(biāo)在點(diǎn)b的坐標(biāo)處單擊。在彈出的一個(gè)灰色板中選y，然后按“確定〞，這樣可以計(jì)算出點(diǎn)b的縱坐標(biāo)yb；用同樣的方法，可以計(jì)算出點(diǎn)k的橫坐標(biāo)*k；〔3〕可以用“文本〞工具雙擊*k，在彈出的對(duì)話框〔圖1-13.3〕中選文本格式，并改等式的左邊為k，同樣可以改變yb的顯示格式。在*軸上再畫一個(gè)點(diǎn)，度量它的坐標(biāo)，別離出橫坐標(biāo)*=…，最后得到如圖1-13.4。圖1-13.4圖1-13.3第五步：(1)由菜單“度量〞“計(jì)算〞彈出計(jì)算器，然后順次點(diǎn)取“k=…〞、“*〞、“*=…〞“+〞、“b=…〞、“確定〞，這樣可以計(jì)算k*+b的值；〔2〕用“選擇工具〞按順序選“*=…〞、“k*+b=…〞，由菜單“圖表〞“P繪出點(diǎn)(*,y),可以繪出以“*=…〞的值為橫坐標(biāo)，以“k*+b=…〞為縱坐標(biāo)的一個(gè)點(diǎn)，標(biāo)記為點(diǎn)A?！踩绻床坏竭@個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)調(diào)整k、b的位置靠近原點(diǎn)，直到看到這個(gè)點(diǎn)〕。〔3〕用“選擇工具〞選取點(diǎn)*和點(diǎn)A，然后由菜單“作圖〞“軌跡〞，可以畫出一次函數(shù)y=k*+b的圖象。得如圖1-16.5。圖1-13.5歸納結(jié)論：〔一〕序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1拖動(dòng)點(diǎn)b在y軸的正半軸上移動(dòng)，b____0當(dāng)b>0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在*軸的______方。2拖動(dòng)點(diǎn)b和原點(diǎn)重合，b____0當(dāng)b=0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在______。3拖動(dòng)點(diǎn)b在y軸的負(fù)半軸上移動(dòng)，b____0當(dāng)b<0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在*軸的______方。結(jié)論b的數(shù)值決定了直線和_____軸交點(diǎn)的位置?！捕承蛱?hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1拖動(dòng)點(diǎn)k在*軸的正半軸上移動(dòng)，k____0直線向____方傾斜2拖動(dòng)點(diǎn)k和原點(diǎn)重合，k____0直線變成和___軸平行。3拖動(dòng)點(diǎn)k在*軸的正半軸上移動(dòng)，k____0直線向____方傾斜結(jié)論k的數(shù)值決定了直線相對(duì)于_____軸傾斜的方向。說明：當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)已經(jīng)不是一次函數(shù)，但仍然和一次函數(shù)有一定的聯(lián)系?！踩惩蟿?dòng)點(diǎn)k和b，使它們的值滿足下面的表格，觀察函數(shù)圖象經(jīng)過的象限。k>0k=0k<0b>0經(jīng)過一、二、三象限一、二b=0就是*軸b<0三、四如有問題，請(qǐng)到幾何畫板分版，下載案例十三供參考。練習(xí)：用類似的方法畫出反比例函數(shù)的圖象，研究當(dāng)k>0和k<0時(shí)函數(shù)圖象的位置。案例十四二函數(shù)的圖象思路：畫出函數(shù)的圖象，要求能動(dòng)態(tài)地控制圖象的開口方向、形狀、位置。用幾何畫板驗(yàn)證：第一步：建立一個(gè)新的幾何畫板文件，第二步：〔1〕由菜單“圖表〞“建立坐標(biāo)系〞，這樣可以在平面建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系；〔2〕選取“畫點(diǎn)〞工具在*軸上畫四個(gè)點(diǎn)，其中一個(gè)畫得比擬靠近原點(diǎn)，標(biāo)記為*，另外三個(gè)盡量靠近工作區(qū)的最右邊，不用標(biāo)出標(biāo)簽；〔3〕按住Shift不放，用“選擇〞工具選取剛剛畫的右邊三點(diǎn)和*軸，由“作圖〞“垂線〞，畫出分別過這三點(diǎn)垂直于*軸的三條直線；〔4〕選取“畫點(diǎn)〞工具，在畫好的三條垂線上各畫一個(gè)點(diǎn)，分別標(biāo)標(biāo)簽為，a、h、k。得到如圖1-14.1。圖1-14.1第三步：〔1〕度量點(diǎn)*、a、h、k的坐標(biāo)，再用計(jì)算器別離出點(diǎn)*的橫坐標(biāo)、點(diǎn)a、h、k的縱坐標(biāo)；〔2〕用“文本工具〞修改顯示格式，最后得*=…、a=…、h=…、k=…的形式，〔3〕調(diào)出計(jì)算器，依次點(diǎn)擊“a=…〞、“*〞、“〔〞、“*=…〞、“－〞、“h=…〞、“〕〞、“^〞、“2〞、“+〞、“k=…〞、“確定〞，這樣可以計(jì)算函數(shù)值，供后面畫點(diǎn)用。如圖1-14.2。圖1-14.2第四步：〔1〕按住Shift不放，用“選擇〞工具按順序先選取“*=…〞，再選“=…〞；〔2〕由菜單“圖表〞“P繪出〔*,y〕〞，可以繪出圖象上的一個(gè)點(diǎn)，標(biāo)記為P；〔3〕按住Shift不放，用“選擇〞工具按順序先選取點(diǎn)*，再選取點(diǎn)P，然后由菜單“作圖〞“軌跡〞，這樣就畫出了二次函數(shù)的圖象；〔4〕按住Shift不放，用“選擇工具〞按順序先選取“h=…〞，再選“k=…〞，然后由菜單“圖表〞“P繪出〔*,y〕〞，可以繪出拋物線的頂點(diǎn)；〔5〕選取畫好的頂點(diǎn)和*軸，由“作圖〞“垂線〞，這樣實(shí)際上畫出了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；〔6〕選取對(duì)稱軸，由“顯示〞“線型〞“虛線〞，這樣改變對(duì)稱軸為虛線，便于區(qū)別。得到如圖1-14.3。圖1-14.3歸納結(jié)論：〔一〕由a值引起的變化序號(hào)操作現(xiàn)象結(jié)論1拖動(dòng)點(diǎn)a在*軸的上方向上移動(dòng)，函數(shù)的圖象開口向____a的值越來越___a的值越大，圖象越____〔靠近，離開〕對(duì)稱軸。當(dāng)a>0時(shí)，圖象開口向____;a越大，圖象越靠近________2拖動(dòng)點(diǎn)a到*軸上a=___這時(shí)函數(shù)不是二次函數(shù)，它的圖象變?yōu)開____________-3拖動(dòng)點(diǎn)a在*軸的下方向下移動(dòng)，函數(shù)的圖象開口向____a的值越來越___a的值越小，圖象越____〔靠近，離開