向量組的線性相關(guān)性的判定

向量組的線性相關(guān)性的判定摘要：向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中的一塊基石，在它的基礎(chǔ)上我們推導(dǎo)和衍生出其它許多理論.本文利用線性相關(guān)性的定義，行列式的值，矩陣的秩，齊次線性方程組的解，弗朗斯基判別法等知識(shí)對(duì)向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行了判定，并比較了幾種不同判定方法的適用條件.關(guān)鍵詞：向量組；線性相關(guān)；行列式引言向量組的線性相關(guān)性在線性代數(shù)中起到貫穿始終的作用.線性相關(guān)性這個(gè)概念在許多數(shù)學(xué)專業(yè)課程中都有體現(xiàn)，如微分幾何，高等代數(shù)和偏微分方程等等.它是線性代數(shù)理論的基本概念，它與向量空間（包括基，維數(shù)），子空間等概念有密切關(guān)系，同時(shí)在微分幾何以及偏微分方程中都有廣泛的應(yīng)用.因此，掌握線性相關(guān)性這個(gè)概念有著非常重要的意義，也是解決其它問(wèn)題的重要理論依據(jù).向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)判定方法是非常靈活的.本文參考文獻(xiàn)［2］介紹了線性相關(guān)的定義及其性質(zhì)，并給出了證明.文獻(xiàn)［1］、［3］、［4］、［5］則是介紹了關(guān)于向量組線性相關(guān)判定的幾種方法，給出了證明并舉出了幾個(gè)例子.本文從線性相關(guān)性的定義出發(fā)，分別運(yùn)用了定義法、線性關(guān)系、向量空間的性質(zhì)、矩陣的秩、行列式的值、反證法、線性變換的性質(zhì)等幾種方法對(duì)向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行了判定.如果向量組是函數(shù)，那么可用弗朗斯基判別法判定.特別是反證法，線性變換的性質(zhì)，弗朗斯基判別法運(yùn)用于一些復(fù)雜和特殊的題目，是比較方便的.1.向量組線性相關(guān)性的相關(guān)定義及性質(zhì)定義1.1⑴定義在P上的線性空間V，對(duì)于給定的一組向量x,x,…,x,TOC\o"1-5"\h\z2 n如果存在n個(gè)不全為0的數(shù)九,九，…,九，使得1 2 n九x+九x+???+九x=0.11 22 nn那么稱x,x,…,x是線性相關(guān)的?否則稱x,x,…,x是線性無(wú)關(guān)的.1 2 n 1 2 n性質(zhì)1?1若x,x,…,x線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)1 2 n向量線性表示.證明二)若這n個(gè)向量線性相關(guān)，那么九x+九x+?—九x=0，11 22 nn其中九不全為0,不妨設(shè)九0，那么可解得ii九 九x=——1x—nx.i九1 九nii所以該結(jié)論是成立的?u)如果其中一個(gè)向量可由其余向量線性表示，那么這n個(gè)向量是線性相關(guān)的?這是因?yàn)槿绻O(shè)x=kx+kx+???kx+kx+???+kx，i 11 22 i—1i—1 i+1i+1 nn那么移項(xiàng)得kx+kx+???+kx+kx+?—+kx+(—x)=0.11 22 i-1i-1 i+1i+1 nn i顯然，x的系數(shù)為-1,那么由線性相關(guān)的定義知，這n個(gè)向量是線性相關(guān)的.i性質(zhì)1?2含有零向量的向量組必是線性相關(guān)的?性質(zhì)1?3單個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是這個(gè)向量是零向量?性質(zhì)1.4若向量組a,a,a線性無(wú)關(guān)，a,a,a,B線性相關(guān)，那么卩TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n可由a,a，…,a線性表示.1 2 n，性質(zhì)1.5如果向量組0,0，…,0的部分組12 m0,0，…,0(ke{1,2，…,n})k1k2 kmj線性相關(guān)，那么0,0，…,0也一定是線性相關(guān)的.即部分組線性相關(guān)，則整體線1 2 n性相關(guān).向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念也可應(yīng)用于線性方程組.當(dāng)方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí)，這個(gè)方程就是多余的，那么稱方程組是線性相關(guān)的.反之，它們是線性無(wú)關(guān)的.2.向量組線性相關(guān)性的判定方法定義法定義法是判定向量組的線性相關(guān)性的最基本的方法 .對(duì)給定的n個(gè)向量x,x，…,x,只需令TOC\o"1-5"\h\z1 2 n九X+九X+? 九X=0.11 2 2 nn °根據(jù)題中的條件去求九,九，…,九即可.1 2 n當(dāng)九,九，…,九不全為0時(shí)，X,X,X是線性相關(guān)的.當(dāng)九,九，…,九全為0時(shí),1 2 n 1 2 n 1 2 nX,X,X是線性無(wú)關(guān)的.1 2 n例1設(shè)a,a,a線性無(wú)關(guān)，證明a+a,a+a,a+a也線性無(wú)關(guān).123122331證明設(shè)對(duì)于任意的k,k,k，有123k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0.112223331整理得(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0.131122233由于a,a,a線性無(wú)關(guān)，得123k+k=0,1 3vk+k=0,12k+k=0.23解得k=0,1vk=0,2k=0.3所以a+a,a+a,a+a也線性無(wú)關(guān).1 2 2 3 3 1

例2設(shè)1,x+1,x2+1€P[x]，判斷它們的線性相關(guān)性.n解設(shè)k,k,k€P，令123k+k(x+1)+k(x2+1)=0，123整理得(k+k+k)+kx+kx2=0,12323所以有k+k+k=0,1 2 3< k=0,2k=0.3解得k=k=k=0.123從而1,1+x,1+X2是線性無(wú)關(guān)的.利用向量空間的性質(zhì)進(jìn)行判定利用向量組的線性相關(guān)性的性質(zhì)也可以判定很多題目.(1「(0'判斷a=0,a=2,a1O2、0,3例3(1]例3=1的相關(guān)性.l0丿證明由題意可得1a=a+—a,122那么由性質(zhì)1.1知，a,a,a是線性相關(guān)的.123這種判定方法適用于具體的題目，一般不用于理論分析.定理2.2.2n維向量空間中任意n+1個(gè)向量是線性相關(guān)的.例4設(shè)V是P上的線性空間，b是V上的線性變換.證明QQ2,...Qn2是線性相關(guān)的.證明設(shè)L(V)是V上所有的線性變換組成的集合，L(V)關(guān)于線性變換的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)向量空間?而L(V)的維數(shù)為n2，又因?yàn)樗杂啥ɡ?.2.2知O,O2,…Qn2是線性相關(guān)的.從上面的例題可以看出，運(yùn)用線性相關(guān)性的性質(zhì)判斷相關(guān)性是比較方便的，因此熟練地掌握線性相關(guān)性的性質(zhì)顯得尤其重要.利用齊次線性方程組的解進(jìn)行判定在應(yīng)用定義法解一個(gè)齊次線性方程組時(shí)，需由該方程組的解去判定這個(gè)向量組的相關(guān)性.即用定義法的同時(shí)也應(yīng)用了齊次線性方程組的解進(jìn)行了判定.一般地，要判斷一個(gè)向量組a=(a,a，…，a)i i1i2 in是否線性相關(guān)就是看方程xa+x +xa=0 (1)1 1 2 2 nn有無(wú)非零解.從這里可以看出，如果向量組線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添加一個(gè)分量得到的n+1維的向量組卩=(a,a，…,a,a)也是線性無(wú)關(guān)的.i i1i2 inin+1把(1)寫出來(lái)就是xa+xa+???+xa=0,111 212 n1nxa+xa+???+xa=0,<121 222 n2n (2),???xa+xa+???+xa=0.1n1 2n2 nnn因之，(1)線性相關(guān)的充要條件是(2)有非零解[2].因此具體判斷一個(gè)向量組是線性還是線性無(wú)關(guān)的問(wèn)題可以歸結(jié)為解方程組的問(wèn)題.例5設(shè)x=(—1,1,1),x=(—2,1,2),x=(—1,2,—1),試判斷它們是否線性相關(guān).123解令kx+kx+kx=0.112233即-k-2k-k=0,1 2 3<k+k+2k=0,1 2 3k+2k一k=0.1 2 3解得「k=0,1<k=0,2k=0.3故x,x,x是線性無(wú)關(guān)的.123利用矩陣的秩判定向量組的線性相關(guān)性定理2.4.1設(shè)向量組a,a,???,?,是由m個(gè)n維列向量所組成的向量組，則向TOC\o"1-5"\h\z1 2 m量組a,a,a的線性相關(guān)性可由該向量組所構(gòu)成的矩陣12mA=(a,a，…,a)1 2 m的秩來(lái)決定[3].TOC\o"1-5"\h\z若R(A)=m,a,a，…,a是無(wú)關(guān)的；\o"CurrentDocument"1 2 m若R(A)<m，那么a,a,a就是相關(guān)的.1 2 m定理2.4.2⑷設(shè)B是階梯型矩陣，矩陣A經(jīng)過(guò)一系列的行消法變換之后得到B，即laT丿m那么n元向量組a,a，…,a線性相關(guān)的充要條件是矩陣B中出現(xiàn)零行..1 2 m推論⑹向量組a,a,...,a線性無(wú)關(guān)的充要條件是矩陣B中不出現(xiàn)零行.1 2 m對(duì)矩陣AT進(jìn)行初等行變換化為階梯型矩陣B的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是對(duì)a,a，…,a進(jìn)行行向量的線性運(yùn)算.如果B中出現(xiàn)零行，那么a,a，…,a中一定TOC\o"1-5"\h\z1 2 m 1 2 m有某個(gè)向量能被其余的m-1個(gè)向量線性表示，即a,a，…,a線性相關(guān).相反地，1 2 m若B中無(wú)零行，那么可知a,a,...,a是線性無(wú)關(guān)的.1 2 m例6判斷向量組P二(1,3,—4,6,2),P二(2,4,—5,3,2),P二(4,6,—7，&3)的相1 2 3關(guān)性.解將P,P,P以行排成矩陣，且經(jīng)過(guò)一系列行消法變換，即12362'r13—462、320—22—9—283丿<003111丿由于矩陣A化為階梯型之后沒(méi)有出現(xiàn)零行,所以它們線性無(wú)關(guān).例7設(shè)a=(2,1,2,2,—4),a=(1,1,—1,0,2),a=(0,1,2,1,—1),a=(—1,—1,—1,—1,1),a=(1,2,1,1,1)1 2 3 4 5試判斷它們的線性相關(guān)性并求它們的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解將a，a，a，a,a寫成列向量，拼成一個(gè)矩陣，并進(jìn)行初等行變換，12345將此矩陣化為階梯型.r210-111r111-121111-120-1-21-32-12-110-2200201-110-1100「42-111丿<021-13丿r111-121r111-12101-10001-1000031-30031-300-31-300000<00000丿<00000丿所以a，a，a，a,a是線性相關(guān)的，從最后一個(gè)矩陣可以看出，a,a,a為向1 2 3 4 5 1 2 3量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

本方法把對(duì)向量組相關(guān)性的判別方法轉(zhuǎn)化為矩陣的初等行變換，簡(jiǎn)單易懂.但該方法只適用于對(duì)Pn中的向量組進(jìn)行判定，有很大的局限性.2.5利用行列式的值來(lái)判定向量組的線性相關(guān)性定理2.5.1如果向量組a,??,???,a是由n個(gè)n維列向量所組成的向量組，且1 2 n向量組所構(gòu)成的矩陣A二(a,a，…,a)，也就是說(shuō)，A為n階方陣，那么1 2 n(1)若|A|=0，則向量組a,a，…,(1)若|A|=0，則向量組a,a，…,a12是線性相關(guān)的;(2)若|A|豐0，則向量組a,a，…,a12是線性無(wú)關(guān)的.例8r2]〔11已知a=1,a=3,a=41丄2<4丿3<2丿n,試討論它們的線性相關(guān)性.證明由于a,a,a123121121134=013142021121013二—5，|A|—5所以a,a,a線性無(wú)關(guān).123行列式的值的判定性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是根據(jù)克萊姆法則判定以向量組作為系數(shù)向量的齊次線性方程組是否有非零解，然后再對(duì)向量組的線性相關(guān)性作出判定.但是該方法的局限性在于只有符合向量組的個(gè)數(shù)和單個(gè)向量的分量個(gè)數(shù)相等的條件時(shí)才用此法.2.6反證法在有些題目中，直接的給出證明結(jié)論往往比較困難，而從結(jié)論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知的定義，定理，公里相悖的結(jié)果，從而說(shuō)明原結(jié)論成立.例9設(shè)向量組a,a,a中任一向量不是它前面向量的線性組合，且1 2 na鼻0，證明向量組a,a,a是線性無(wú)關(guān)的.1 1 2 n證明如果此向量組線性相關(guān)，則存在不全為0的n個(gè)數(shù)，使得ka+ka+???+ka=0.1 1 2 2 nn假設(shè)k工0,那么由上式可得nTOC\o"1-5"\h\zkk ka=—―fa——2a—.…一一n-ia.nkik2 k n—in n n即可由它前面n—1個(gè)向量線性表示，故與題設(shè)矛盾，所以k=0n且ka+ka+?—+ka=0.TOC\o"1-5"\h\z11 22 n—1n—1 °同理可得k=k=???=k=0，n—1 n一2 2所以有ka=0.由于aH0，所以k=0，即1111k=k=???=k=0.1 2 n這與k不全為0相矛盾.所以該向量組是線性無(wú)關(guān)的.i2.7利用線性變換的性質(zhì)進(jìn)行判定引理2.7.1設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，a是V上的一個(gè)線性變換，a,a，…，agV，若a,a，…，a線性相關(guān)，則a(a)q(a)，…q(a)也是線性相1 2 n 1 2 n 1 2 n關(guān)的.證明 由于a,a,a線性相關(guān)，那么存在不全為0的數(shù)k,k，…,k使得1 2 n 1 2 nka+ka+?—fka=0.1 1 2 2 nn由于C是V上的線性變換，那么有o(ka+ka+???+ka)=0.1 1 2 2 nn即kc(a)+kc(a)+???+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n因此，o(a),o(a),???,c(a)是線性相關(guān)的.1 2 n但是該定理反過(guò)來(lái)不一定成立.即c(a),o(a),???,c(a)線性相關(guān)，1 2 na,a，…,a并不一定也是線性相關(guān)的.若c為零變換，假設(shè)a,a，…,a是線性無(wú)1 2 n 1 2 n關(guān)的，零變換把a(bǔ),a，…,a全部變成零向量，它們是線性相關(guān)的，從而滿足該1 2 n條件，但是a,a，…,a是線性無(wú)關(guān)的.1 2 n推論設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，c是V上的一個(gè)線性變換，若c(a),c(a),???,c(a)是線性無(wú)關(guān)的，那么a,a，…,a也是線性無(wú)關(guān)的.1 2 n 1 2 n定理2.7.1設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，c是V上的一個(gè)線性變換，且c是V中可逆的線性變換，線性空間V中的向量組a,a,a線性相關(guān)的充要條件是1 2 n它們的象c(a),c(a),???,c(a)線性相關(guān).1 2 n證明=)若a,a,…,a線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)k,k，…k，使得1 2 n 1 2 nka+ka+???+ka=0.1 1 2 2 nn那么kc(a)+kc(a)+???+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n所以c(a),c(a),???,c(a)是線性相關(guān)的.1 2 nu)若c(a),c(a),???,c(a)線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)k,k，…k，使1 2 n 1 2 n由于是可逆的，從而所以1,2,綜上所述，()k(1由于是可逆的，從而所以1,2,綜上所述，()k(1那么有(k1也是線性相關(guān)的.該定理是成立的.n)0n0，2.8運(yùn)用弗朗斯基判別法進(jìn)行判定如果向量組是由函數(shù)組成的話該怎么判定呢？而弗朗斯基判別法主要是判定多項(xiàng)式的相關(guān)性的.定理2?8?1(弗朗斯基判別法) 設(shè)f(x),g(x),h(x),…w(x)是n個(gè)n1次可導(dǎo)的函數(shù)，若w(x)

w'w(x)

w'(x)0，f(x)f'(x)g(x)g'(x)h(x)h'(x)f(n1)(x)g(n1)(x)h(n1)(x)...w(n1)(x)則f(X),g(x),h(x),w.(x)就是線性無(wú)關(guān)的.例10判斷l(xiāng),cosx,sirx的相關(guān)性.解