數列求和講義-高三數學一輪復習

數列求和（1）一、分組求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．常見類型：二、錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解．題型一：分組求和法類型一：例1．已知數列的前n項和滿足，，則數列的前10項和為（

）A．4162 B．4157 C．2146 D．2142例2．例3．已知數列的前n項和為．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前n項和．類型二：例4．．例5．已知正項數列的前n項和，且，數列為單調遞增的等比數列，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求.例6．已知數列的前n項和為，，且.(1)求的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和.題型二：錯位相減法例7．已知數列的前n項和為，且．(1)證明是等比數列，并求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．例8．已知等差數列滿足，數列是以1為首項，1為公差的等差數列．(1)求和；(2)若，求數列的前項和．例9．1．已知數列為等比數列，，，則數列的前10項和為（

）A．352 B．401 C．625 D．9132．已知數列的通項公式為：，，則數列的前100項之和為（

）A． B． C． D．3．已知數列是由正數組成的等比數列，且，.(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前n項和.4．數列的前項的和為，已知，，當時，(1)求數列的通項公式；(2)設，求的前項和5．已知數列滿足，數列為等比數列，且滿足(1)求數列的通項公式；(2)數列的前項和為，且，記數列滿足，求數列的前項和.6．記為等比數列的前項和.已知.(1)求；(2)設求數列的前項和.7．設為數列的前項和，且滿足：.(1)設，證明是等比數列；(2)求.8．設數列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．9．已知數列的前項和為，且，，．(1)求證數列為等差數列，并求通項；(2)設，求數列的前項和．10．設數列滿足，等比數列滿足，.(1)求、的通項公式；(2)求數列的前項和.11．記為各項均為正數的等比數列的前n項和，且成等差數列.(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和.12．已知數列滿足且．(1)證明：數列為等差數列；(2)求數列的前項和．典例參考答案：1．解：因為，所以當時，，即，則，當時，，所以，即，則，所以數列是首項為4，公比為2的等比數列，所以，，所以數列的前10項和為：．2．解（1）證明：因為，所以，即，所以，所以，所以是等比數列，首項為，公比；（2）解：由（1）可知，，所以，所以.3．4．解：因為，所以，5．解：（1）由可知，則化簡可得：，即，數列是以2為公差的等差數列，，由可知，，又由為遞增的等比數列，且，即，解得，.（2）6．解：（1）∵，則有：當時，，解得；當時，則，兩式相減得，即；注意到，故，∴是首項為3，公比為3的等比數列，故.（2）由（1）得，當n為偶數時，；當n為奇數時；綜上所述：.7．解：（1），當時，，解得；當時，，，相減得到，即，故是首項為，公比為的等比數列，.驗證時也滿足，故.（2），，，，兩式相減：，整理得到：8．解：（1）因為，所以，，．因為為等差數列，所以，即，解得，所以，，．又，是等差數列.因為數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，所以．（2）由（1）得，所以，①則，②①-②得，所以．9．解：（1）當時，，解得；當時，，兩式相減得；所以是，的等比數列，故．（2）證明：因為，所以①，②① -②得所以．因為，所以．跟蹤練習參考答案：1．解：令，設數列的公比為，因為，所以，即，所以.由，得，所以，聯立，解得，所以，所以，所以的前10項和為.故選：D.2解：數列的通項公式為：，數列的前n項和為，則有，所以數列的前100項之和.故選：A3．4．（1）解：當時，由可得，即，因為，，所以時也滿足，當時，，所以，，當時，，也滿足上式，所以.（2）解：，對任意的，，所以，.5．解：（1）因為，令得，又數列為等比數列，所以，則，所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列，所以.（2）由（1）知數列數列是公比為2的等比數列，由得，所以，則，所以，數列的奇數項是以1為首項，4為公差的等差數列；偶數項是以4為首項，4為公比的等比數列，.6．解：（1）設等比數列的公比為.由題意，可知，解得：，.（2）由題設及（1）可知：當為奇數時，，當為偶數時，，故，7．解：1）因為，，則，兩式相減得：，整理可得，即，于是，，所以數列是等比數列.（2）由（1）知，，又，則所以.8．解：（1）當時，，解得．當時，，則，即，從而是首項為1，公比為2的等比數列，所以，且當時，也滿足，所以故．（2）由（1）可得，則，故．9．解：（1）由，則，即，當時，，得，則，故，因此是以2為首項，3為公差的等差數列，所以．（2）結合（1）可知，，則①，則②，①-②得，故．10．11．解：（1）設數列的首項為，公比為q，則①，因為，，成等差數列，則，即②，因為