大一高等數(shù)學期末考試試卷及答案詳解1

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大一高等數(shù)學期末考試試卷

（一）

一、挑選題（共12分）

1.（3分）若2,0,

(),0

xexfxaxx??為延續(xù)函數(shù),則a的值為().

(A)1(B)2(C)3(D)-12.（3分）已知(3)2,f'=則0

(3)(3)

lim

2hfhfh

→--的值為（）.

(A)1(B)3(C)-1(D)

12

3.（3

分）定積分

22

π

π

-

?的值為（）.

(A)0(B)-2(C)1(D)2

4.（3分）若()fx在0xx=處不延續(xù),則()fx在該點處().(A)必不行導(B)一定可導(C)可能可導(D)必無極限二、填空題（共12分）

1．（3分）平面上過點(0,1)，且在隨意一點(,)xy處的切線斜率為2

3x的曲線方程為.2.（3分）

1

241

(sin)xxxdx-+=?

.

3.（3分）2

1

limsin

xxx

→=.4.（3分）3

2

23yxx=-的極大值為.

三、計算題（共42分）1.（6分）求2

ln(15)

lim

.sin3xxxx→+

2.（6

分）設y=求.y'3.（6分）求不定積分2

ln(1).xxdx+?

4.（6分）求

3

(1),fxdx-?

其中,1,()1cos1,1.xx

xfxxex?≤?

=+??+>?

5.（6分）設函數(shù)()yfx=由方程0

cos0y

x

tedttdt+=?

?所確定,求.dy

6.（6分）設

2()sin,fxdxxC=+?求(23).fxdx+?

7.（6分）求極限3lim1.2n

nn→∞?

?+???

四、解答題（共28分）

1.（7分）設(ln)1,fxx'=+且(0)1,f=求().fx

2.（7分）求由曲線cos2

2yxxπ

π??=-

≤≤???與x軸所圍成圖形圍著x軸旋轉一周所得旋

轉體的體積.

3.（7分）求曲線32

32419yxxx=-+-在拐點處的切線方程.4.（7

分）求函數(shù)yx=+[5,1]-上的最小值和最大值.五、證實題(6分)

設()fx''在區(qū)間[,]ab上延續(xù),證實

1()[()()]()()().22b

b

a

a

bafxdxfafbxaxbfxdx-''=++--?

?

（二）

一、

填空題（每小題3分，共18分）

1．設函數(shù)()2

31

22+--=xxxxf，則1=x是()xf的第類間斷點.

2．函數(shù)(

)2

1lnx

y+=，則='y

.

3．=?

?

?

??+∞→x

xxx21lim

.

4．曲線xy1=

在點??

?

??2,21處的切線方程為.5．函數(shù)2

3

32xxy-=在[]4,1-上的最大值，最小值.

6．=+?dxxx

2

1arctan.

二、

單項挑選題（每小題4分，共20分）

1．數(shù)列{}nx有界是它收斂的（）.

()A須要但非充分條件；()B充分但非須要條件；

()C充分須要條件；()D無關條件.

2．下列各式正確的是（）.

()ACedxexx+=--?；()BCx

xdx+=?1

ln；()C()Cxdxx+-=-?

21ln2

1

211；()DCxdxx

x+=?

lnlnln1

.3．設()xf在[]ba,上，()0>'xf且()0>''xf，則曲線()xfy=在[]ba,上.

()A沿x軸正向升高且為凹的；()B沿x軸正向下降且為凹的；

()C沿x軸正向升高且為凸的；()D沿x軸正向下降且為凸的.

4．設()xxxfln=，則()xf在0=x處的導數(shù)（）.

()A等于1；()B等于1-；

()C等于0；()D不存在.

5．已知()2lim1

=+

→xfx，以下結論正確的是（）.()A函數(shù)在1=x處有定義且()21=f；()B函數(shù)在1=x處的某去心鄰域內有定義；

()C函數(shù)在1=x處的左側某鄰域內有定義；()D函數(shù)在1=x處的右側某鄰域內有定義.

三、

計算（每小題6分，共36分）

1．求極限：x

xx1

sin

lim2

→.2.已知(

)2

1lnxy+=，求y'.

3.求函數(shù)x

x

ysin=()0>x的導數(shù).

4.?+dxx

x2

2

1.5.

?xdxxcos.

6.方程y

x

xy11=確定函數(shù)()xfy=，求y'.

四、

（10分）已知2

xe

為()xf的一個原函數(shù)，求()?

dxxfx2

.

五、（6分）求曲線x

xey-=的拐點及高低區(qū)間.

六、（10分）設

(

)(

)

Ce

xdxxfx

++='?1，求()xf.

（三）

一、填空題(本題共5小題，每小題4分，共20分).

（1）2

10)(coslimxxx→=_____e1

________.

（2）曲線xxyln=上與直線01=+-yx平行的切線方程為___1-=xy______.

（3）已知x

x

xeef-=')(，且0)1(=f,則=)(xf______=)(xf2

)(ln21

x_____.

（4）曲線

132+=xxy的斜漸近線方程為_______.

91

31-=xy__

（5）微分方程5

22(1)1'-=++yyxx的通解為_________.

)1()1(32227+++=xCxy

二、挑選題(本題共5小題，每小題4分，共20分).（1）下列積分結果正確的是（D）

(A)01

1

1=?-dxx(B)21112

-=?-dxx

(C)+∞=?∞+141

dxx(D)+∞=?∞+11dxx

（2）函數(shù))(xf在],[ba內有定義，其導數(shù))('xf的圖形如圖1-1所示，則（D）.

(A)21,xx都是極值點.

(B)()())(,,)(,2211xfxxfx都是拐點.(C)1x是極值點.，())(,22xfx是拐點.(D)())(,11xfx是拐點，2x是極值點.

（3）函數(shù)212eeexxx

yCCx-=++滿足的一個微分方程是（D）.

（A）

23e.x

yyyx'''--=（B）

23e.x

yyy'''--=（C）

23e.x

yyyx'''+-=

（D）

23e.xyyy'''+-=（4）設)(xf在0x處可導，則()()

000

lim

hfxfxhh→--為（A）.

(A)

()0fx

'.(B)()0fx

'-.(C)0.(D)不存在.

（5）下列等式中正確的結果是（A）.

(A)(())().

fxdxfx'=?(B)

()().=?dfxfx

(C)[()]().dfxdxfx=?(D)()().fxdxfx'=?

三、計算題（本題共4小題，每小題6分，共24分）.

1．求極限

)

ln11(

lim1xxxx--→.解)ln11(lim1xxxx--→=

xxxxxxln)1(1lnlim1

-+-→1分=xxxx

xln1

lnlim

1+-→2分=xxxxxxln1lnlim

1+-→1分

=211ln1ln1lim1=

+++→xxx2分

2.方程???+==tttytxsincossinln確定y為x的函數(shù)，求dxdy與2

2dxyd.

解,sin)()(tttxtydxdy=''=（3分）

.

sintansin)()sin(22tttttxttdxyd+=''=（6分）

3.4.計算不定積分

.222(1)=22=arctan2dxC=++??分分

（分

4.計算定積分?++3011dxx

x

.

解??-+-=++303

0)11(11dxxxxdxxx?+--=3

0)11(dxx（3分）

3

5)

1(3

2

330

23=

++-=x（6分）

（或令tx=+1）

四、解答題（本題共4小題，共29分）.

1．（本題6分）解微分方程256x

yyyxe'''-+=.

2122312*20221*223212-56012,31.1()11

1.

21

(1)12

1

(1).12

xxxxxxxrrrreCeyxbxbebbyxxeyeCexxe+===+=+=-=-==+-+解：特征方程分特征解.分次方程的通解Y=C分令分

代入解得，所以分

所以所求通解C分

2．（本題7分）一個橫放著的圓柱形水桶（如圖4-1），桶內盛有半桶水，設桶的底半徑為R，水的比重為γ，計算桶的一端面上所受的壓力．

解：建立坐標系如圖

220

322203*********R

R

PgRxgRxgRρρρρ====??

）分

[（）]分

分

3.（本題8分）設()

fx在[,]ab上有延續(xù)的導數(shù)，()()0fafb==，且2()1

ba

fxdx=?

，

試求

()()b

a

xfxfxdx

'?

.

2

22

()()()()21()22

1=[()]()22

11

=0222b

ba

a

babbaaxfxfxdxxfxdfxxdfxxfxfxdx'==

=????解：分

分分分

4.（本題8分）過坐標原點作曲線xyln=的切線，該切線與曲線xyln=及x軸圍成平面圖形D.

(1)(3)求D的面積A;

(2)(4)求D繞直線ex=旋轉一周所得旋轉體的體積V.

解：(1)設切點的橫坐標為0x，則曲線

xyln=在點)ln,(00xx處的切線方程是

).(1

ln00

0xxxxy-+

=1分

由該切線過原點知01ln0=-x，從而.

0ex=所以該切線的方程為

.

1

xey=

1分

平面圖形D的面積

?-=

-=1

.121

)(edyeyeAy2分

（2）切線

x

ey1

=

與x軸及直線ex=所圍成的三角形繞直線ex=旋轉所得的圓錐體積為

.

3121eVπ=2分

曲線xyln=與x軸及直線ex=所圍成的圖形繞直線ex=旋轉所得的旋轉體體積為

dy

eeVy21

2)(?-=π，1分

因此所求旋轉體的體積為

).

3125(6)(312102221+-=--=-=?eedyeeeVVVyπ

ππ1分

五、證實題（本題共1小題，共7分）.

1.證實對于隨意的實數(shù)x，1x

ex≥+.

解法一：2

112x

eexxx

ξ=++≥+解法二：設

()1.x

fxex=--則(0)0.f=1分由于

()1.x

fxe'=-1分當0x≥時，()0.fx'≥()fx單調增強，()(0)0.fxf≥=2分

當0x≤時，()0.fx'≤()fx單調增強，()(0)0.fxf≥=2分

所以對于隨意的實數(shù)x，()0.fx≥即1x

ex≥+。1分解法三：由微分中值定理得，

01(0)xxeeeexexξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x之間。2分

當0x≥時，1eξ>，1x

ex-≥。2分當0x≤時，1eξk，則函數(shù)

k

exxx

f+-

=ln)(在

),0(∞+內零點的個數(shù)為（B）.(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.2．微分方程xyy2cos34=+''的特解形式為（C）

（A）cos2yAx*=；（B）cos2yAxx*

=；

（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+；（D）xAy2sin*

=3．下列結論不一定成立的是（A）

(A)(A)若[][]badc,,?,則必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

xfdxxf;

(B)(B)若0)(≥xf在[]ba,上可積,則()0b

a

fxdx≥?;

(C)(C)若()xf是周期為T的延續(xù)函數(shù),則對隨意常數(shù)a都有

()()??

+=T

Taa

dx

xfdxxf0

;

(D)(D)若可積函數(shù)()xf為奇函數(shù),則()0x

tftdt?也為奇函數(shù).

4.設

()x

xee

xf11

321++=

,則0=x是)(xf的（C）.(A)延續(xù)點;(B)可去間斷點;

(C)跳動間斷點;(D)無窮間斷點.三．計算題（每小題6分，5題共30分）：1．計算定積分?-2

032

dx

exx.

解：

??

?

===2

02

02

322121,2

ttxtdedttedxextx則設2

?

?????

--=?--202221dtetett22

223210221

=--=eeet2

2．計算不定積分dxxxx?5cossin.

解：

???

???-==???xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin3Cxxxxxdxxx+--=+-=

?tan41tan121cos4tan)1(tan41cos43

4

2

433．求擺線???-=-=),cos1(),sin(tayttax在

2π=

t處的切線的方程.解：切點為)

),12((aa-π

2

2

π==

tdxdyk2

)cos1(sinπ=-=

tt

ata1=2

切線方程為

)

12

(

--=-π

axay即

a

xy)22(π

-+=.24.設

?-=x

dt

txxF0

2)cos()(，則

=')(xF)cos()12(cos22

2xxxxx.5．設nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(+++=

，求nnx

∞→lim.

解：

)

1ln(1ln1∑=+=ninninx2?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1ln(limlnlimdx

xnnixninnn2

=12ln211

)1ln(1

010-=+-+?dxxx

xx2故nnx

∞→lim=

ee41

2ln2=-四．應用題（每小題9分，3題共27分）1．求由曲線2-=

xy與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.

解：

設切點為

),00yx（，則過原點的切線方程為x

xy221

0-=

，

因為點

),00yx（在切線上，帶入切線方程，解得切點為2,400==yx.3

過原點和點)2,4(的切線方程為

22x

y=

3

面積

dy

yys)222(2

2?-+==32

23

或322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dxxxxdxs

2．設平面圖形D由2

2

2xyx+≤與yx≥所確定，試求D繞直線2=x旋轉一周所生成的旋轉體的體積.

解：法一：21VVV-=

[

]

[]

?

??==10

22

1

21

2

2

)1(12)2()11(2dy

yy

dy

ydyyπππ6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy3法二：V=

?1

2)2)(2(2dx

xxxxπ

??=10

10

22)2(22)2(2dx

xxdxxxxππ5

[]

?--+--=1

0223

4

222)22(π

πdxxxxxxππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=xx4

3.設1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞內的駐點為().ta問a為何值時)(at最小?并求最

小值.

解:

.lnlnln1)(0ln)(aa

ataaatft-==-='得由3

0)(ln1

lnln)(2

eeaaaaat==-=

'得唯一駐點又由3

.)(,0)(,;0)(,的微小值點為于是時當初當ateaateaateaeee='>2

故

.1

1ln1)(,)(eeeetateaee-=-

==最小值為的最小值點為1

五．證實題（7分）

設函數(shù)()fx在[0,1]上延續(xù)，在(0,1)內可導且1

(0)=(1)0,()12fff==，

試證實至少存在一點(0,1)ξ∈,使得()=1.fξ'

證實：設()()Fxfxx=-，()Fx在[0,1]上延續(xù)在(0,1)可導，因(0)=(1)=0ff,

有(0)(0)00,(1)(1)11FfFf=-==-=-,2

又由1()=12f，知

11111()=()-=1-=22222Ff，在1

[1]

2，上()Fx用零點定理，按照11(1)()=-0

22FF2分

(1,3)∴為拐點,1分

該點處的切線為321(1).y

x=+-2分

4解

1y'=-

=2分令0,y'=得3

.4

x

=1分

35

(5)52.55,,(1)1,44

yyy??-=-+≈-==???2分

∴

最小值為(5)5y-=-+最大值為35

.44

y??=???2分

五、證實

()()()()()()b

b

a

a

xaxbfxxaxbdfx'''--=--?

?1分

[()()()]()[2()b

baaxaxbfxfxxabdx''=+?1分[2()()b

axa

bdfx=--+?1分

{}[2()]()2()b

b

aaxa

bfxfxdx=--++?1分()[()()]2(),babafafbfxdx=--++?1分

移項即得所證.1分

高等數(shù)學I（大一第一學期期末考試題及答案）

1.當0xx→時，()(),xxαβ都是無窮小，則當0xx→時（D）不一定是

無窮小.(A)()()xxβα+

(B)()()xx2

2βα+

(C)

[])()(1lnxxβα?+

(D))()

(2xxβα

2.極限

a

xaxax-→?????1sinsinlim的值是（C）.（A）1

（B）e

（C）a

e

cot（D）a

e

tan

3.

???

??=≠-+=001

sin)(2xaxx

exx

fax在0x=處延續(xù)，則a=（D）.（A）1

（B）0

（C）e（D）1-

4.設)(xf在點xa=處可導，那么=

--+→hhafhafh)2()(lim0（A）.（A）)(3af'（B）)(2af'

(C))(af'（D）)

(31

af'

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

5.極限)

0(ln)ln(lim0>-+→axaaxx的值是a1.

6.由

xxyeyx2cosln=+確定函數(shù)y(x)，則導函數(shù)='y

x

xeyexy

xxy

xy

ln2sin2+++-.7.直線l過點M(,,)123且與兩平面xyzxyz+-=-+=202356,都平行，則直

線l的方程為13

121

1--=--=-zyx.8.求函數(shù)2

)4ln(2xxy-=的單調遞增區(qū)間為（－∞，0）和（1，+∞）.

三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

9.計算極限10(1)lim

x

xxe

x→+-.

解：1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

limlim

2xx

x

xxxxeexxe

eexx

x+-→→→+--+-===-

10.設)(xf在[a，b]上延續(xù)，且

]

,[)()()(baxdt

tftxxFx

a

∈-=?，試求出)(xF''。

解：

??-=x

a

x

a

dt

ttfdttfxxF)()()(

??=-+='x

a

x

a

dt

tfxxfxxfdttfxF)()()()()()()(xfxF=''

11.求

3

cos.sinx

x

dxx?

解

：2

3cosi

si

x

x

dx-=-??2

2

11si

22

xx

--=-

?

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

12.求

?

-2

3

2

21

xxdx.

令

1xt=

?

--=21

2

322)1

(11

11dtttt

原式

=-?dt

t121

2

3

2

=arcsint

12

3

2=

π

6

13.求函數(shù)

212xxy+=

的極值與拐點.解：函數(shù)的定義域（－∞，+∞）

22)1()1)(1(2xxxy++-='322)1()3(4xxxy+--=

''

令0='y得x1=1,x2=-1

0)1(-''yx2

=-1是微小值點

極大值1)1(=y，微小值1)1(-=-y

0=''y33故拐點（-3，-23），（0，0）（3，23

）

14.求由曲線

43

xy=與2

3xxy-=所圍成的平面圖形的面積.解:,,

xxxxxx3

232431240=--+=

xxxxxx()(),,,.+-==-==620602123

Sxxxdxxxxdx

=-++??()()3260

2

3024334=-++()()xxxxxx423602340

21632332316

=+=4521347

1

315.設拋物線2

4xy-=上有兩點(1,3)A-，(3,5)B-，在弧AB上，求一點(,)Pxy使ABP?的面積最大.

AByxABPABxyxxxABP連線方程：點到的距離的面積

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

235

132()

?

Sxxxxx()()

=??-++=-++124523

522322

當'=-+='=SxxxSx()()4410當初取得極大值也是最大值''=-，試證xxex

++--=xxxexfx

1)21()(2--='xexfx，xxexf24)(-=''，0)(,

0≤''>xfx，因此)(xf'在（0，

+∞）內遞減。在（0，+∞）內，)(,0)0()(xffxf='0時，xxex

+'xf，二階導數(shù)0)(FF或，則由零點定理0)()1,0(=∈?ξξF使得。（8分）

3、證明不等式：當4>x時，2

2xx>。

證：令2

2)(xxfx-=，則0)4(=f。（2分）

xxfx

22ln2)(-='，084ln8)4(>-='f，2)2(ln2)(2-=''xxf，明顯，當4>x時，

0]1)4ln2[2)(2>->''xf（4分）)(xf'∴在區(qū)間),4(+∞內單調增強。

又0)4(>'f，)(xf'∴在區(qū)間),4(+∞內恒大于零。（6分）

又0)4(=f，)(xf∴在區(qū)間),4(+∞內大于零。

即當4>x時，

02)(2

>-=xxfx，即22xx>。（8分）

五.解答下列各題（本大題共3小題，每小題8分，總計24分）

1、求函數(shù)

xeyx

cos=的極值。解：)sin(cosxxeyx-='，令0='y，得駐點

4π

π+

=kx（k為整數(shù)）。（4分）

xeyx

sin

2-=''?！喈?2π

π+

=kx時，,0''y)(xf在該處取得微小值，其值為45222π

π+-=key。（8分）

2、求不定積分

?

x

x

xdcossin3。

解：

?

xxxdcossin3

)

d(coscoscos12xxx

?--=（4分）

??-=xxxxcos)

d(cos)d(cos)(cos2

3

（6分）

Cxx+-=

cos2co