精選網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教案-初中數(shù)學(xué)第13講軸對(duì)稱及將軍飲馬問(wèn)題教師版

精選網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教案-初中數(shù)學(xué)第13講軸對(duì)稱及將軍飲馬問(wèn)題教師版2-2023年·2023年·暑假初二數(shù)學(xué)·第13講·教師版pagePAGE1ofNUMPAGES3第十第十三講軸對(duì)稱及“將軍飲馬〞問(wèn)題中考要求中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求軸對(duì)稱了解圖形的軸對(duì)稱，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)；了解物體的鏡面對(duì)稱能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形；掌握簡(jiǎn)單圖形之間的軸對(duì)稱關(guān)系，并能指出對(duì)稱軸；能運(yùn)用軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．這條直線就是它的對(duì)稱軸．這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(或軸)對(duì)稱．如以下列圖，是軸對(duì)稱圖形．兩個(gè)圖形軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就是說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)．如以下列圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，叫做對(duì)稱軸．和，和，和是對(duì)稱點(diǎn)．軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形軸對(duì)稱區(qū)別圖形的個(gè)數(shù)1個(gè)圖形2個(gè)圖形對(duì)稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的

對(duì)稱軸的性質(zhì)：對(duì)稱軸所在直線經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段．即：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．線段的垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．如圖，直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，并且垂直于線段，那么直線就是線段的垂直平分線．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．如圖，點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，那么．線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法：如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的主要性質(zhì)：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線軸對(duì)稱變換的方法應(yīng)用：軸對(duì)稱變換是通過(guò)作圖形關(guān)于一直線的對(duì)稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對(duì)稱地移動(dòng)到一個(gè)新的位置上，使圖形中的分散條件和結(jié)論有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)．常用的輔助線有角平分線條件時(shí)的各種輔助線，本質(zhì)上都是對(duì)稱變換的思想．軸對(duì)稱變換應(yīng)用時(shí)有下面兩種情況：⑴圖形中有軸對(duì)稱圖形條件時(shí)，可考慮用此變換；⑵圖形中有垂線條件時(shí)，可考慮用此變換．重、難點(diǎn)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：理解軸對(duì)稱的概念，并且熟悉掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)以及作圖，同時(shí)理解軸對(duì)稱變換的概念，能很好的做出軸對(duì)稱變換的圖形，并能很好的利用軸對(duì)稱的知識(shí)來(lái)解決題目難點(diǎn)：運(yùn)用軸對(duì)稱變換來(lái)解決實(shí)際題目，以及軸對(duì)稱的生活中的實(shí)際運(yùn)用例題精講例題精講板塊一、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)以下〞表情〞中屬于軸對(duì)稱圖形的是()A．B． C． D．C【穩(wěn)固】(08年廣東省)以下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是()C(09湖南株洲)以下四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是()A． B． C．D．Ｄ【穩(wěn)固】(2023瀘州)以下各種圖形不是軸對(duì)稱圖形的是()C．【穩(wěn)固】(2023吉林)下面四個(gè)圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個(gè)與其他三個(gè)不同？請(qǐng)指出這個(gè)圖形，并簡(jiǎn)述你的理由．答：圖形__________；理由是__________．②;四個(gè)圖形中，只有圖②不是軸對(duì)稱圖形．如圖，它們都是對(duì)稱圖形，請(qǐng)觀察并指出哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些圖形成軸對(duì)稱．軸對(duì)稱圖形：1，3，4，6，8，10成軸對(duì)稱的圖形有：2，5，7，9(09黑龍江哈爾濱)以下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()D【穩(wěn)固】(2023北京)以下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四邊形C(2023四川)我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)根本上都融入了中國(guó)古代錢(qián)幣的圖案，以下我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形的是()C(2023北京市海淀區(qū))羊年話〞羊〞字象征著美好和桔祥，以下列圖案都與〞羊〞字有關(guān)，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A．1；B．2；B．3；D．4B【穩(wěn)固】⑴(08山東省青島市)以下列圖形中，軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A． B． C． D．⑵如下列圖的圖案是我國(guó)幾家銀行標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有()A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)⑴B；⑵Ｃ(上海)正六邊形是軸對(duì)稱圖形，它有條對(duì)稱軸．．點(diǎn)撥：可以畫(huà)出例圖進(jìn)行分析，明確正邊形有條對(duì)稱軸．【穩(wěn)固】(2023河北省)以下列圖案中，有且只有三條對(duì)稱軸的是()D【穩(wěn)固】⑴(08蘇州)以下列圖形中，軸對(duì)稱圖形的是⑵以下列圖形中對(duì)稱軸最多的是()A．圓 B．正方形 C．等腰三角形 D．線段⑴D；⑵Ａ作出以下列圖所示的圖形的對(duì)稱軸：答案見(jiàn)右上圖．【穩(wěn)固】作出以下列圖所示的成軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸：答案見(jiàn)右上圖．求作線段的垂直平分線略：如圖，及兩點(diǎn)、．求作：點(diǎn)，使得，且點(diǎn)到兩邊所在的直線的距離相等．因?yàn)槭莾蛇吽诘闹本€，所以有兩個(gè)答案．答案一：內(nèi)角平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)答案二：外角平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)(2023長(zhǎng)沙)如圖，請(qǐng)根據(jù)小文在鏡中的像寫(xiě)出他的運(yùn)動(dòng)衣上的實(shí)際號(hào)碼：_______．108(2023河南)如圖，直線是四邊形的對(duì)稱軸，假設(shè)，有下面的結(jié)論：①②③④，其中正確的結(jié)論有_______．①②③【穩(wěn)固】(2023安徽)如圖，是四邊形的對(duì)稱軸，如果，有以下結(jié)論：①②③④．其中正確的結(jié)論是_________．(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)①、②、④(2023南寧市)尺規(guī)：把右圖(實(shí)線局部)補(bǔ)成以虛線L為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，你會(huì)得到一只美麗蝴蝶的圖案(不用寫(xiě)作法、保存作圖痕跡)．答案見(jiàn)右上圖．板塊二、軸對(duì)稱的應(yīng)用如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，且，，求的度數(shù)和的長(zhǎng)．∵和關(guān)于直線成軸對(duì)稱∴，；又∵，∴，．如圖，有一塊三角形田地，，作的垂直平分線交于，交于，量得的周長(zhǎng)為，請(qǐng)你替測(cè)量人員計(jì)算的長(zhǎng)．∵垂直平分∴，∵，∴∵，∴．【穩(wěn)固】如圖，中，邊的垂直平分線交于，交于，厘米，的周長(zhǎng)是18厘米，那么等于多少厘米？∵垂直平分∴，∵的周長(zhǎng)為∴．如圖，，為的垂直平分線，求的度數(shù)．∵垂直平分∴∴∵∴∴．(2023陜西)：如圖，在中，，，平行于軸，點(diǎn)的坐標(biāo)是．⑴畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱的；⑵求以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積．⑴畫(huà)圖正確⑵過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么，在中，BD＝AB·cos∠ABD＝2×＝1AD＝AB·sin∠ABD=2×＝又知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3，1)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為∵軸，軸∴∵AB與不平行∴以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求得∴梯形的面積＝(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)×=7．板塊三、軸對(duì)稱在幾何最值問(wèn)題中的應(yīng)用點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．點(diǎn)與點(diǎn)重合，或者點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．如圖，在公路的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理？答案見(jiàn)右上圖．【穩(wěn)固】假設(shè)此題改成，在上找到、兩點(diǎn)，且，在的左邊，使四邊形的周長(zhǎng)最短．見(jiàn)右上圖．(〞五羊杯〞邀請(qǐng)賽試題)如圖，，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長(zhǎng)的最小．見(jiàn)右上圖．【穩(wěn)固】如圖，、為的邊、上的兩個(gè)定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短．見(jiàn)右上圖．(2000年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如圖，設(shè)正的邊長(zhǎng)為2，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的任意一點(diǎn)，的最大值和最小值分別記為和．求的值．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．由點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱可知，．故當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)，等號(hào)成立，故．另外兩個(gè)臨界位置在點(diǎn)和點(diǎn)處．當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，．故，．此題也可作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的邊的距離和最?。?jiàn)右上圖．：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最?。?jiàn)右上圖．【穩(wěn)固】：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最大．見(jiàn)右上圖．(07年三帆中學(xué)期中試題)如圖，正方形中，，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值．找點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知，就是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，由可知，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，該最小值為．當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，有三個(gè)特殊的位置我們要考察：與的交點(diǎn)，即取最小值時(shí)；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，．故的最大值為．【穩(wěn)固】例題中的條件不變，求的最小值與最大值．當(dāng)時(shí)，有最小值為0，此時(shí)點(diǎn)位于的垂直平分線與的交點(diǎn)處．，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)有最大值2．【穩(wěn)固】(黑龍江省中考題)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，在上，且，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是連接交于，此點(diǎn)即為所求．所以根據(jù)勾股定理，．(2023鄲縣改編)某供電部門(mén)準(zhǔn)備在輸電主干線上連接一個(gè)分支線路同時(shí)向新落成的、兩個(gè)居民小區(qū)送電，分支點(diǎn)為，居民小區(qū)、到主干線的距離分別為千米，千米，且千米．⑴居民小區(qū)、在主干線的兩旁如圖⑴所示，那么分支點(diǎn)在什么地方時(shí)總線路最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？⑵如果居民小區(qū)、在主干線的同旁，如圖⑵所示，那么分支點(diǎn)在什么地方時(shí)總線路最短？此時(shí)分支點(diǎn)與距離多少千米？⑴連結(jié)，與的交點(diǎn)就是所求的分支點(diǎn)，分支點(diǎn)開(kāi)在此處總線路最短，如圖，因?yàn)?，．所以．所以．由勾股定理，得，，所以分支點(diǎn)在線段上距點(diǎn)千米處，最短線段的長(zhǎng)度為千米；⑵如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)，此處即為分支點(diǎn)，由圖可知，的長(zhǎng)度為千米．點(diǎn)撥：在解此題時(shí)，應(yīng)注意線段最短，在第⑵問(wèn)中也可以先畫(huà)A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2．(09山東臨沂)如圖，，是公路(為東西走向)兩旁的兩個(gè)村莊，村到公路的距離，村到公路的距離，村在村的南偏東方向上．⑴求出，兩村之間的距離；⑵為方便村民出行，方案在公路邊新建一個(gè)公共汽車站，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)的位置(保存清晰的作圖痕跡，簡(jiǎn)明書(shū)寫(xiě)作法)．北東B北東BACDlBACDlNMOP⑴方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意可得．∴和都是等腰直角三角形．∴，．∴兩村的距離為方法二：過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交的延長(zhǎng)線于．易證四邊形是矩形，∴．在中，由，可得．∴兩村的距離為．⑵作圖正確，痕跡清晰．作法：①分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，，作直線；②直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．家庭作業(yè)家庭作業(yè)(08蘇州)以下列圖形中，軸對(duì)稱圖形的是D⑴(09湖南株洲)以下四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是()A． B． C． D．⑵(08山東煙臺(tái))以下交通標(biāo)志中，不是軸對(duì)稱圖形的是()⑶(08年廣東省)以下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是()⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．如圖，中，，為的平分線，，是的中點(diǎn)，求的度數(shù)．∵平分∴∵垂直平分∴，∴∵∴．(四川省競(jìng)賽題)如圖，在等腰中，，的上一點(diǎn)，滿足，在斜邊上求作一點(diǎn)使得長(zhǎng)度之和最?。?jiàn)右上圖．在正方形中，在上，，，在上，求和的長(zhǎng)度之和的最小值．