剛體動力學重點

剛體動力學重點第一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。§3.1力矩的瞬時效應(yīng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體—運動中形狀和大小都保持不變的物體。(a)剛體上各質(zhì)點之間的距離保持不變。(b)剛體有確定的形狀和大小。(c)剛體是由許多質(zhì)點(質(zhì)元)組成的質(zhì)點系。

1.剛體的平動和轉(zhuǎn)動

如果剛體內(nèi)任何兩點的連線在運動中始終保持平行，這樣的運動就稱為平動。平動剛體內(nèi)各質(zhì)點的運動狀態(tài)完全相同。

平動剛體可視為質(zhì)點。質(zhì)心是平動剛體的代表。一.剛體運動學2第二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。剛體一般運動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合。

2.定軸轉(zhuǎn)動的描述r

如果剛體內(nèi)的每個質(zhì)點都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動，這種運動便稱為轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸固定不動定軸轉(zhuǎn)動。

定軸轉(zhuǎn)動剛體上各質(zhì)點的線量(速度、加速度)不同。但各質(zhì)點的角量(如角位移、角速度和角加速度)相同。3第三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。r若角加速度=c(恒量)，則有4第四頁，編輯于星期六：十三點二十四分。二.

剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.力矩M=FrsinM=r×F

力F對o點的力矩定義為：力矩的大小:droM=Fd(1)只有在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的力才會產(chǎn)生力矩;平行于轉(zhuǎn)軸的力是不會產(chǎn)生力矩的。M(2)力矩的方向沿轉(zhuǎn)軸。z注意:對定軸轉(zhuǎn)動,方向:5第五頁，編輯于星期六：十三點二十四分。2.剛體定軸轉(zhuǎn)動定理Zmirioiimi:切向方程:合外力矩合內(nèi)力矩0MI(轉(zhuǎn)動慣量)剛體定軸轉(zhuǎn)動定理6第六頁，編輯于星期六：十三點二十四分。質(zhì)量m—物體平動慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量I—物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。

1.轉(zhuǎn)動慣量的物理意義三.

轉(zhuǎn)動慣量7第七頁，編輯于星期六：十三點二十四分。I=Δmiri2

即：剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布剛體2.轉(zhuǎn)動慣量的計算8第八頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

3.平行軸定理Io=Ic+Md2

Ic通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量d

兩平行軸(o,c)間的距離IoIcdCMo9第九頁，編輯于星期六：十三點二十四分。Ic是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，于是

=010第十頁，編輯于星期六：十三點二十四分。o

通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

IO=3+ml2=2ml2=ml2例題1.1質(zhì)量離散分布:I=Δmiri2ml2lll·crmmm

(1)輕桿連成的正三角形頂點各有一質(zhì)點m，此系統(tǒng)對通過質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為+(3m)r2=2ml211第十一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll

(2)用輕桿連接五個質(zhì)點,轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點所在平面且通過o點,轉(zhuǎn)動慣量為12第十二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。記住！例題1.2質(zhì)量連續(xù)分布:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動慣量為

Cdxdmxxo解

o

(1)均質(zhì)細直棒(質(zhì)量m、長l)，求通過質(zhì)心C且垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。13第十三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:dmrdr

(2)均質(zhì)細圓環(huán)(m,R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:

14第十四頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解由M=I,=o+

t有外力矩時,撤去外力矩時,-Mr=I2,

2=-/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,得I=17.3kg.m2。20=I1，1=/t1(因o=0)20-Mr=I1，1=/t1(因o=0)(1)

例題1.3一轉(zhuǎn)輪在20N.m的外力矩作用下，10s內(nèi)轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。撤去外力矩，它經(jīng)100s停止。求轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動定理15第十五頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解

對柱體，由M=I有

mg.R=I

mgmMR對m:mg-T=ma對柱：TR=I

a=R解得

=2mg/[(2m+M)R]T=Mmg/(2m+M)

例題1.4勻質(zhì)柱體(M、R)邊緣用細繩掛一質(zhì)量為m的物體。求柱體的角加速度及繩中的張力。繩中張力Tmg！用隔離體法:T16第十六頁，編輯于星期六：十三點二十四分。CmgABo

例題1.6均勻細棒(m、長l)AB可繞o軸轉(zhuǎn)動，Ao=

l/3。求棒從水平位置靜止開始轉(zhuǎn)過角時的角加速度和角速度。

解重力集中在質(zhì)心，其力矩為17第十七頁，編輯于星期六：十三點二十四分。完成積分得討論:

(1)當=0時，=3g/2l，=0

(2)當=90°時，=0，又因CmgABo18第十八頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解o水平桌面rdr

例題1.7勻質(zhì)圓盤(m、R)以o轉(zhuǎn)動。將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？

摩擦力矩:19第十九頁，編輯于星期六：十三點二十四分。由=

o+t=0得又由2-o2=2，停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為o水平桌面rdr求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？20第二十頁，編輯于星期六：十三點二十四分。L=rpsin=mrsin

設(shè)質(zhì)點的位矢為r，動量為p=m，角動量L的大小式中是r與兩矢量間的夾角。角動量的方向垂直于矢徑r和所組成的平面,指向是r經(jīng)小于180o的角轉(zhuǎn)到時右螺旋的前進方向。dmroL=md則質(zhì)點對o點的角動量(也稱動量矩)為§3.2力矩的時間累積效應(yīng)角動量守恒定律

1.質(zhì)點的角動量

一.質(zhì)點角動量守恒定律21第二十一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。L=rpsin=mrsin=md角動量L的大小dmroL問題:一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿一直線以速率運動,它對直線上某點的角動量為它對與直線相距d的某點的角動量為0;md。M=Frsin=FdM=r×F

力F對o點的力矩定義為：力矩的大小rdoM質(zhì)點對o點的角動量(動量矩)為22第二十二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

若質(zhì)點m以角速度沿半徑r的圓周運動(如圖),質(zhì)點對給定點o(圓心)的角動量的大小顯然，此時角動量L的方向與角速度的方向相同，可由右手螺旋確定。

按SI制,角動量的單位是千克·米2/秒(kg·m2/s)。角動量的大小和方向不僅決定于質(zhì)點的運動,也依賴于所選定的參考點,即參考點不同,質(zhì)點的角動量也不同。L=mrLLm=mr2

23第二十三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。2.質(zhì)點角動量定理

由于所以質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。這個結(jié)論叫質(zhì)點的角動量定理。24第二十四頁，編輯于星期六：十三點二十四分。沖量矩合外力矩的沖量(沖量矩)等于質(zhì)點角動量的增量。它是質(zhì)點角動量定理的積分形式。

對比：25第二十五頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

這就是說,如果質(zhì)點所受的合外力矩為零時,則此質(zhì)點的角動量矢量保持不變。這一結(jié)論叫做質(zhì)點角動量守恒定律。3.

質(zhì)點角動量守恒守律如果合外力矩零(即M=0),則L=常矢量對比：角動量守恒定律是：M外=0，則L=常矢量。動量守恒定律是：F外=0，則p=常矢量。26第二十六頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解

例題2.1一質(zhì)點的質(zhì)量為m，位矢為：r=acosti+bsintj(式中a、b、均為常量);求質(zhì)點的角動量及它所受的力矩。xyzo27第二十七頁，編輯于星期六：十三點二十四分。r=acosti+bsintj00=mabk=m28第二十八頁，編輯于星期六：十三點二十四分。F=ma=-m2rM=rF=-m2rr=0質(zhì)點所受的力矩:r=acosti+bsintjM=rF29第二十九頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解小球?qū)點的角動量守恒：

mr2

o=m(r/2)2=4o

由動能定理，拉力的功為Forom

例題2.2光滑水平桌面，繩通過孔o拉著小球m以o作半徑r的勻速圓周運動，現(xiàn)向下緩慢拉繩，求半徑從r變?yōu)閞/2過程中拉力的功。30第三十頁，編輯于星期六：十三點二十四分。d解得:

=4m/s,

=30

解故機械能都守恒：

例題2.3光滑水平面上，輕彈簧為原長(lo=0.2m,k=100N/m),滑塊(m=1kg)o=5m/s,方向與彈簧垂直。當彈簧繞o轉(zhuǎn)過90時，其長度l=0.5m，求此時滑塊速度的大小和方向。

角動量守恒：mo

lo=mlsinololomm31第三十一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。對o點的角動量守恒：

moR=

解火箭只受引力(保守力)作用，機械能守恒：解得CooAMRo3Rmdm3Rsin

例題2.4質(zhì)量為m的火箭A以o沿地球表面發(fā)射出去,其軌道與地軸oo交于C點(oC=3R)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求：=？(地球質(zhì)量為M、半徑為R)

32第三十二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。ZLmiirio

Li=Δmiiri=Δmiri2

剛體對z軸的角動量就是

Lz=(Δmiri2)

設(shè)剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點對o點的角動量為

=I二.剛體的角動量及守恒守律1.剛體的角動量

剛體的角動量=剛體上各個質(zhì)點的角動量之和。

剛體角動量的方向:角速度的方向。33第三十三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。2.系統(tǒng)(質(zhì)點系)角動量定理

mi:位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力質(zhì)點角動量定理:對各質(zhì)點求和，并注意到得mirioFifijimj34第三十四頁，編輯于星期六：十三點二十四分。=M系統(tǒng)所受的合外力矩=L系統(tǒng)的總角動量系統(tǒng)所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動量對時間的變化率質(zhì)點系角動量定理。它同樣適用定軸轉(zhuǎn)動剛體。mirioFifijimj35第三十五頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

即：系統(tǒng)所受合外力矩的沖量(沖量矩)等于角動量的增量。3.定軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角動量守恒守律當系統(tǒng)所受合外力矩為零時，系統(tǒng)的角動量將保持不變定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律。I=常量

若系統(tǒng)所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時，則36第三十六頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

系統(tǒng)動量守恒：時,時,系統(tǒng)角動量守恒：

對比：

37第三十七頁，編輯于星期六：十三點二十四分。飛機要安裝尾翼。魚雷有兩個反向轉(zhuǎn)動的螺旋漿。輪船、飛機、導彈等上的回轉(zhuǎn)導航儀(也叫“陀螺”)。38第三十八頁，編輯于星期六：十三點二十四分。解解得mooA

例題2.5勻質(zhì)桿(長l、M)靜止懸掛。子彈(m,o)射入桿上的A點，并嵌在桿中，求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。(1)桿+子彈：碰撞過程角動量守恒：39第三十九頁，編輯于星期六：十三點二十四分。(2)桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機械能守恒：mooA轉(zhuǎn)動動能零勢面平動動能40第四十頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解(1)碰撞過程角動量守恒:mm.o

例題2.6粗糙的水平桌面上(μ)勻質(zhì)細桿(長2L、m)靜止。兩相同的小球(m、)與桿的兩端同時發(fā)生完全非彈性碰撞,求:(1)剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？(2)桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？(不計兩小球的質(zhì)量)解得41第四十一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

摩擦力矩為由=o+t得：.o.(2)桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？(不計兩小球的質(zhì)量)xdmdxfr42第四十二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？系統(tǒng)角動量守恒：o

例題2.7勻質(zhì)園盤(M、R)與人(m,視為質(zhì)點)一起以o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動。當此人從盤的邊緣走到盤心時，圓盤的角速度是多少？43第四十三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。.oommrrIo=(I+2mr2)例題2.8兩個同樣的子彈對稱地同時射入轉(zhuǎn)盤中，則盤的角速度將。(填：增大、減小或不變)減小44第四十四頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

(1)系統(tǒng)(圓盤+人)角動量守恒：

(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？o

例題2.9勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(,視為質(zhì)點)一起以o轉(zhuǎn)動。若人相對盤以速率、沿半徑為的園周運動(方向如圖),求:解45第四十五頁，編輯于星期六：十三點二十四分。人對地=人對盤+盤對地人對地=o+

角動量守恒定律只適用于慣性系。46第四十六頁，編輯于星期六：十三點二十四分。解出：o人對地=+

47第四十七頁，編輯于星期六：十三點二十四分。(2)欲使盤靜止，可令得式中負號表示人的運動方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(o)方向一致。o48第四十八頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

解

例題2.10空心園環(huán)(Io,R)可繞豎直軸AC轉(zhuǎn)動。開始時環(huán)o,小球m靜止在A點，求當小球滑到B點時,環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少。(設(shè)各處光滑,環(huán)截面很小)ABoRoC對軸AC角動量守恒:環(huán)的角速度為49第四十九頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

由相對運動，對小球有

B表示小球在B點時相對于地面的豎直分速度(即相對于環(huán)的速度)。

ABoRoCB機械能守恒:小球相對于環(huán)的速度為多少?零勢面50第五十頁，編輯于星期六：十三點二十四分。轉(zhuǎn)動動能為平動動能為§3.3力矩的空間累積效應(yīng)定軸轉(zhuǎn)動中的功和能Δmi的動能:=剛體上各質(zhì)點動能之和一.剛體的轉(zhuǎn)動動能ZLmiirio51第五十一頁，編輯于星期六：十三點二十四分。力矩的功率是二.力矩的功ZFdsdopr即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。=Frsind=Md力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)52第五十二頁，編輯于星期六：十三點二十四分。

上式說明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。定軸轉(zhuǎn)動動能定理

三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理對比:質(zhì)點動能定理：（I=恒量）53第五十三頁，編輯于星期六：十三點二十四分。式中,hc為剛體質(zhì)心到零勢面的高度。四.機械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用

如果只有保守內(nèi)力作功，則系統(tǒng)(剛體