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函數(shù)的單調(diào)性第1頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日畫出函數(shù)y=x2的圖像
描點(diǎn)法的步驟:列表→描點(diǎn)→連線(連成光滑曲線)回顧:第2頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日
函數(shù)y=x2隨著自變量x的變化(從左往右),函數(shù)值y怎樣變化?通過(guò)對(duì)函數(shù)y=x2圖象的分析,可知:
在(-∞,0)上,隨著自變量x的增大,函數(shù)值相應(yīng)地減??;在(0,+∞)上,隨著自變量x的增大,函數(shù)值相應(yīng)地隨之增大。
觀察圖形第3頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義
如果對(duì)于給定的區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1
、x2,當(dāng)x1〈x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。
如果對(duì)于給定的區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1
、x2,當(dāng)x1〈x2
時(shí),都有f(x1)>f(x2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性
這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致?
根據(jù)y=x2的圖像可知:兩者是一致的。定義中的“當(dāng)x1〈x2時(shí),f(x1)<f(x2)”描述了y隨x的增大而增大;“當(dāng)x1〈x2時(shí),f(x1)>f(x2)”描述了y隨x的增大而減少。
第4頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)性
①分析函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,∞)上的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性。這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。任務(wù):由圖象可知:函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)增加,則區(qū)間(0,+∞)稱為函數(shù)y=x2的單調(diào)增區(qū)間。第5頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)性
②分析函數(shù)
y=1/x在區(qū)間(0,∞)上的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性。這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。任務(wù):由圖象可知:函數(shù)
y=1/x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)減少,則區(qū)間(0,+∞)稱為函數(shù)y=1/x的單調(diào)減區(qū)間。思考:函數(shù)
y=1/x在整個(gè)定義域上是否單調(diào)遞減?
第6頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日(3)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解函數(shù)單調(diào)性
①自變量屬于定義域且任意;②函數(shù)的單調(diào)性是反映函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質(zhì)。
第7頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日⑴根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)在指定區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。
根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性(a,b)(c,d)
(-∞,+∞)(-∞,+∞)
第8頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日⑵下圖所示是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)f(x)的圖像,根據(jù)圖像說(shuō)出f(x)的單調(diào)區(qū)間,并回答在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性解:此圖看出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2]、[-2,1]、[1,3]、[3,5]其中在區(qū)間[-5,-2]上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1]上是增函數(shù),在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù),在[3,5]上是增函數(shù)。
第9頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上的單調(diào)性。
分析:
根據(jù)定義進(jìn)行判斷的關(guān)鍵在于說(shuō)明“當(dāng)x1<x2時(shí),f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系”。可設(shè)x1<x2為其定義域上的任意兩個(gè)數(shù),考慮證明f(x1)-f(x2)<0(或>0),即得出f(x1)<f(x2)
(或f(x1)>f(x2))。第10頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上的單調(diào)性。
解:設(shè)x1、x2為其定義域上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且x1〈x2,則
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)∵x1<x2∴x1-x2<0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴函數(shù)f(x)=3x+2在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù)
用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟:①→設(shè);②→作差、變形;③→定符號(hào);④→下結(jié)論。
第11頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性⑴判斷函數(shù)f(x)=-3x+2在(-∞,+∞)上的單調(diào)性;⑵判斷函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性。
思考:第12頁(yè),共15頁(yè),2023年,2月20日,星期日小結(jié)
本節(jié)課重點(diǎn)要理解函數(shù)單調(diào)性及相關(guān)概念,學(xué)會(huì)用定義來(lái)判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性。通過(guò)學(xué)習(xí),增強(qiáng)我們“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)與能力,學(xué)會(huì)從感性到
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