典型方程和定解條件的推導(dǎo)

典型方程和定解條件的推導(dǎo)第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）數(shù)學(xué)形式表述（偏微分方程并求解）目的：掌握基本分析方法，培養(yǎng)歸納、綜合、抽象、猜測、試探、演繹的科學(xué)素質(zhì)。步驟：（1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)不含初始條件不含邊界條件第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日物理狀態(tài)描述:設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一.均勻弦的橫振動方程的建立第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT’3、忽略與近似4、整理化簡T、T’——微元兩端所受張力——細(xì)弦的線密度（單位長度內(nèi)的質(zhì)量g——重力加速度數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT’數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)(1)(2)第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日3、忽略與近似(1)(2)dsMNM'N’TT’uoxx+dx對于小振動：所以有：第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日3、忽略與近似(1)(2)對于小振動：所以有：于是（1）式變?yōu)椋海?）式變?yōu)椋阂话阏f來，將g略去。第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日3、忽略與近似于是（1）式變?yōu)椋海?）式變?yōu)椋阂话阏f來，將g略去，得考慮到角度很小，近似地與u無關(guān)：于是左下角式變?yōu)椋旱?頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日3、忽略與近似上式實際上可以明確表示為：這里表示：自變量由x增加到x+dx時，函數(shù)的增量。既然dx很小，這個這個增量不妨用微分帶代替。令，于是有：一維波動方程第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-●●二.傳輸線方程(電報方程)的建立物理狀態(tài)描述:對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出：同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體,每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G表示。1、建立坐標(biāo)系選定微元2、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)P——電路的節(jié)點(diǎn)時刻t電路中的瞬時電流第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-●●二.傳輸線方程(電報方程)的建立與同學(xué)們商榷的幾個問題：（P4-5）（1）設(shè)某時刻t，輸入與輸出端的對應(yīng)關(guān)系是否合理?（2）電流作為初始條件，在流經(jīng)電感時是否要變化？（3）按照圖示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5.-1.5式）？1、建立坐標(biāo)系選定微元2、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)P——電路的節(jié)點(diǎn)？時刻t電路中的瞬時電流“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日梁昆淼先生的做法：

“今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以R，L，C，G。于是亦即亦即將作用于第一式,作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日二.傳輸線方程(電報方程)的建立設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導(dǎo)G是按單位長度計算其對應(yīng)的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為dx.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)設(shè)某時刻t，對應(yīng)關(guān)系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-輸入端輸出端第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日+–LLCC＋－+-數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：，整理后得到：，略去高階無窮小量得：第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)聯(lián)立上述兩個方程（代入消元法），注意假定與都對是二次連續(xù)可微的，即可得到：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例3.電磁場方程基本電磁場量場的物質(zhì)方程Maxwell方程電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)電率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日目標(biāo):利用上述關(guān)系,分別解出、。由將代入上式，得對上式兩邊求旋度，得再將代入上式，得這是一個關(guān)于磁場強(qiáng)度的二階微分方程第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日為進(jìn)一步化簡，利用Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)將代入上式，得磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場強(qiáng)度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（σ=0），上述方程簡化為：三維波動方程第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日目標(biāo):建立關(guān)于電位u的方程由電感應(yīng)強(qiáng)度與電場強(qiáng)度的定義知：（電荷體密度）而電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)：這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場是無源的，即，上式又可寫成這個齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日例4.熱傳導(dǎo)方程物理模型:均勻且各向同性的導(dǎo)熱體,在傳熱過程中所滿足的微分方程.研究對象:熱場中任一閉曲面S,體積為V,熱場V(體積)S(閉曲面)t時刻,V內(nèi)任一點(diǎn)M(x,y,z)處的溫度為u(x,y,z,t).●M曲面元ds的法向(從V內(nèi)V外)ds物理規(guī)律:由熱學(xué)的(Fourier)實驗可知:dt時間之內(nèi),流經(jīng)面元ds的熱量dQ,與——時間dt成正比；曲面面積ds成正比；溫度u沿曲面法方向的方向?qū)?shù)成正比。數(shù)學(xué)表述為：第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日●MdsV(體積)S(閉曲面)熱場數(shù)學(xué)表述為：——k=k(x,y,z).物體的傳熱系數(shù),各向均勻且同性時為常數(shù).“-”號,表示熱量流動的方向,與溫度梯度的正方向(gradu)相反.從t1t2,通過曲面元S,流入?yún)^(qū)域V的熱量為必然等于V內(nèi)各點(diǎn)所吸收的熱量(熱量守恒)問題:上面數(shù)學(xué)表述中的“-”，為何不見了？上式中的，在熱學(xué)中的意義？第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)處理：由于S為閉曲面，假設(shè)u(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么依據(jù)奧斯特羅—格拉德斯基公式因此有：第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日由于[t1,t2]以及區(qū)域V的任意性,且被積函數(shù)為連續(xù),因此有若令:,那么上述方程可寫為三維熱傳導(dǎo)方程第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日討論:(1).若V內(nèi)有熱源,強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則熱傳導(dǎo)方程為其中(2).若導(dǎo)熱體為一根細(xì)桿,則(3).若導(dǎo)熱體為一薄片,則第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日(4).若熱場為一穩(wěn)恒場(溫度趨于平衡狀態(tài)),則與之對應(yīng)有穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度滿足Laplace方程.(5).在