二次根式混合運算(教案)

二次根式混合運算(教案) 個性化教案二次根式混合運算教案適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級初中一年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60知識點含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用．含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應(yīng)用．3.復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算教學(xué)過程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題:1．計算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy2．計算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老師點評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項式×單項式；（2）單項式×多項式；（3）多項式÷單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用．新授課如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式．例1．計算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律．解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-二、知識講解考點11、幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。2、二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．3、在進行二次根式的混合運算時，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號再計算）。實數(shù)運算中的運算律（分配律、結(jié)合律、交換律等）在二次根式的運算中仍然適用。易錯點1在進行二次根式的混合運算時，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號再計算）。實數(shù)運算中的運算律（分配律、結(jié)合律、交換律等）在二次根式的運算中仍然適用。例題精析【例題1】【題干】計算（1）+（2）+【答案】（1）+=2+3=（2+3）=5（2）+=4+8=（4+8）=12【解析】第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并．【例題2】【題干】下列二次根式中與eq\r(,2)是同類二次根式的是（）A.eq\r(,12) B.eq\r(,\f(3,2)) C.eq\r(,\f(2,3)) D.eq\r(,18)【答案】D【解析】要判斷兩個二次根式是不是同類二次根式，需要先將它們化為最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同，eq\r(,12)＝2eq\r(,3)，eq\r(,\f(3,2))＝eq\f(\r(,6),2)，eq\r(,\f(2,3))＝eq\f(\r(,6),3)，eq\r(,18)＝3eq\r(,2)?！纠}3】【題干】計算（1）3-9+3（2）（+）+（-）【答案】（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15（2）（+）+（-）=++-=4+2+2-=6+【解析】第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并．四、課堂運用【基礎(chǔ)】1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④【答案】C【解析】化成最簡二次根式，然后判斷2.下列式子運算正確的是（）A.eq\r(,3)－eq\r(,2)＝1B.eq\r(,8)＝4eq\r(,2)C.eq\f(1,\r(,3))＝eq\r(,3)D.eq\f(1,2＋\r(,3))＋eq\f(1,2－\r(,3))＝4【答案】D【解析】同類二次根式計算【鞏固】1.計算：（1）eq\f(2,3)eq\r(,9x)＋6eq\r(,\f(x,4))－2xeq\r(,\f(1,x))；（2）eq\f(1,\r(,2)－1)＋eq\r(,8)－eq\r(,2)＋1?！敬鸢浮浚?）eq\f(2,3)eq\r(,9x)＋6eq\r(,\f(x,4))－2xeq\r(,\f(1,x))＝eq\f(2,3)×3eq\r(,x)＋6×eq\f(1,2)eq\r(,x)－2x·eq\f(1,x)eq\r(,x)＝2eq\r(,x)＋3eq\r(,x)－2eq\r(,x)＝（2＋3－2）eq\r(,x)＝3eq\r(,x)；（2）eq\f(1,\r(,2)－1)＋eq\r(,8)－eq\r(,2)＋1＝＋eq\r(,4×2)－eq\r(,2)＋1＝eq\r(,2)＋1＋2eq\r(,2)－eq\r(,2)＋1＝2eq\r(,2)＋2。【解析】合并同類二次根式，只把它們的系數(shù)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)都不變。2.計算：（1）（eq\r(,a3b)＋eq\r(,ab3)－ab）eq\r(,ab)；（2）（eq\r(,2)－eq\r(,12)）（eq\r(,18)＋eq\r(,48)）；（3）（2eq\r(,7)＋5eq\r(,2)）（5eq\r(,2)－2eq\r(,7)）；（4）（3eq\r(,6)－2eq\r(,3)）2?！敬鸢浮浚?）（eq\r(,a3b)＋eq\r(,ab3)－ab）eq\r(,ab)＝（aeq\r(,ab)＋beq\r(,ab)－ab）eq\r(,ab)＝aeq\r(,ab)·eq\r(,ab)＋beq\r(,ab)·eq\r(,ab)－abeq\r(,ab)＝a2b＋ab2－abeq\r(,ab)；（2）（eq\r(,2)－eq\r(,12)）（eq\r(,18)＋eq\r(,48)）＝（eq\r(,2)－2eq\r(,3)）（3eq\r(,2)＋4eq\r(,3)）＝eq\r(,2)·3eq\r(,2)＋eq\r(,2)·4eq\r(,3)－2eq\r(,3)·3eq\r(,2)－2eq\r(,3)·4eq\r(,3)＝6＋4eq\r(,6)－6eq\r(,6)－24＝－18－2eq\r(,6)；（3）（2eq\r(,7)＋5eq\r(,2)）（5eq\r(,2)－2eq\r(,7)）＝（5eq\r(,2)）2－（2eq\r(,7)）2＝50－28＝22；（4）（3eq\r(,6)－2eq\r(,3)）2＝（3eq\r(,6)）2－2·3eq\r(,6)·2eq\r(,3)＋（2eq\r(,3)）2＝54－36eq\r(,2)＋12＝66－36eq\r(,2)。【解析】在運算過程中，每個根式可以看做是一個“單項式”，多個被開方數(shù)不同的二次根式的和可以看做是“多項式”。有理數(shù)（或整數(shù)）運算中的運算律、運算法則及所有的乘法公式，在二次根式的運算中仍然適用?！景胃摺?.已知eq\r(,6)＋1的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求eq\f(a＋2b,2a＋b)的值?！敬鸢浮客ㄟ^估算得知a＝3，b＝eq\r(,6)＋1－3＝eq\r(,6)－2。eq\f(a＋2b,2a＋b)＝eq\f(3＋2（\r(,6)－2）,2×3＋（\r(,6)－2）)＝eq\f(2\r(,6)－1,4＋\r(,6))＝eq\f(（2\r(,6)－1）（4－\r(,6)）,（4＋\r(,6)）（4－\r(,6)）)＝eq\f(9\r(,6)－16,10)?！窘馕觥恳驗閑q\r(,4)＜eq\r(,6)＜eq\r(,9)，即2＜eq\r(,6)＜3，所以eq\r(,6)的整數(shù)部分是2，所以a＝3，小數(shù)部分b＝eq\r(,6)＋1－3＝eq\r(,6)－2。把a、b代入計算即可。解答這類問題時，應(yīng)注意一個二次根式的整數(shù)部分可通過估算獲得，這個二次根式減去整數(shù)部分后，剩余的就是其小數(shù)部分。2.若eq\r(,3)的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則eq\r(,3)x－y的值是（）A.3eq\r(,3)－3 B.eq\r(,3) C.1 D.3【答案】C【解析】找到eq\r(,3)的整數(shù)部分，用eq\r(,3)減去整數(shù)部分就知道小數(shù)y,代入可以求解。課程小結(jié)1.會判斷幾個根式是不是同類二次根式2.不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；相同的最簡二次根式進行合并．3.應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運算課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.下列根式中，與是同類二次根式的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷。2.若最簡二次根式與是同類二次根式，則?！敬鸢浮俊?【解析】兩根式為同類二次根式，被開方數(shù)相等，然后解方程【鞏固】1.若2eq\r(,\f(2－a,6))與6eq\r(,\f(2a－3,4))可以進行合并，則a的值是（）A.eq\f(20,13) B.eq\f(5,3) C.eq\f(13,8) D.eq\f(15,8)【答案】D【解析】由題意可知，這兩個二次根式化簡后的被開方數(shù)相同。因此，先把這兩個二次根式進行化簡：2eq\r(,\f(2－a,6))＝eq\f(1,3)eq\r(,12－6a)，6eq\r(,\f(2a－3,4))＝3eq\r(,2a－3)。依題意，知12－6a＝2a－3，解得a＝eq\f(15,8)，當(dāng)a＝eq\f(15,8)時，eq\f(2－a,6)＞0，eq\f(2a－3,4)＞0，2.計算：（1）eq\r(,21)×eq\r(,7)－3÷（3eq\r(,3)）；（2）eq\r(,3)÷eq\r(,2)×（4eq\r(,3)＋4eq\r(,2)）－（2eq\r(,6)＋eq\r(,12)）?！敬鸢浮浚?）eq\r(,21)×eq\r(,7)－3÷（3eq\r(,3)）＝eq\r(,21)×eq\r(,7)－3×eq\f(1,3eq\r(,3))＝7eq\r(,3)－eq\f(1,eq\r(,3))＝eq\f(20,3)eq\r(,3)；（2）eq\r(,3)÷eq\r(,2)×（4eq\r(,3)＋4eq\r(,2)）－（2eq\r(,6)＋eq\r(,12)）＝eq\r(,3)×eq\f(1,eq\r(,2))×（4eq\r(,3)＋4eq\r(,2)）－（2eq\r(,6)＋2eq\r(,3)）＝eq\r(,3)×eq\f(1,eq\r(,2))×4eq\r(,3)＋eq\r(,3)×eq\f(1,eq\r(,2))×4eq\r(,2)－2eq\r(,6)－2eq\r(,3)＝6eq\r(,2)＋4eq\r(,3)－2eq\r(,6)－2eq\r(,3)＝6eq\r(,2)＋2eq\r(,3)－2eq\r(,6)?！窘馕觥吭谶M行二次根式的混合運算時，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號再計算）。實數(shù)運算中的運算律（分配律、結(jié)合律、交換律等）在二次根式的運算中仍然適用?！景胃摺?.已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．【答案】∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6當(dāng)x=，y=3時，原式=×+6=+3【解析】本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y