力學(xué)專第十章 波動和聲

力學(xué)專第十章波動和聲第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一22波的基本概念平面簡諧波方程、波速平均能流密度、聲強與聲壓波的疊加和干涉、駐波多譜勒效應(yīng)本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3310.2.210.2.410.2.710.2.1010.4.210.5.210.5.9

10.6.2第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一44§10.1波的基本概念

1.波：振動在媒質(zhì)（介質(zhì)）中的傳播就是波，分為橫波和縱波。

2.橫波：媒質(zhì)中各體元振動的方向與波傳播的方向垂直。例如：一根均勻柔軟的細(xì)繩的振動，形成的波就是橫波。

3.縱波：媒質(zhì)中各體元振動的方向與波傳播的方向平行。例如：空氣中的聲波，空氣中體元時而靠近，時而疏遠(yuǎn)。波的產(chǎn)生4.表面波：在兩種媒質(zhì)的界面上傳播的波。例如：水面波。5.波面：波傳播時，同相位各點所組成的面。第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一556.波前：離波源最遠(yuǎn)，即“最前方”的波面。7.波射線：與波面垂直且表明波的傳播方向的線叫波射線。8.平面波：波前為平面的波。波線是互相平行的。

9.球面波：波前為球面。點波源在均勻的和各向同性媒質(zhì)中發(fā)生的波是球面波。波線是相交于波源的直線?！?0.1波的基本概念第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一66§10.1波的基本概念第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一77§10.2平面簡諧波一、平面簡諧波平面波傳播時，媒質(zhì)中體元均按正弦（或余弦）規(guī)律運動。二、平面簡諧波方程（從運動學(xué)角度考慮）描述不同時刻不同體元的運動狀態(tài)。設(shè)：一列平面簡諧波沿x

軸正向傳播，選擇原點x=0處體元相位為0的時刻為計時起點，即該體元的相位為零，則

x=0處體元的運動學(xué)方程：第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一88其中：y

為體元距平衡位置的位移，A

、ω為波源的振幅和圓頻率。經(jīng)的時間，x=0處體元的振動狀態(tài)傳到位于x

處的體元，即：t

時刻，位于x

處的體元的振動狀態(tài)應(yīng)與時刻處體元的振動狀態(tài)一樣，則x

處體元的運動學(xué)方程為：（1）§10.2平面簡諧波第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一99

其中，v

為振動狀態(tài)傳播的速度，叫波速，也叫相速。⑴式就是平面簡諧波方程。從⑴式看出：x

處質(zhì)元的振動比原點處的質(zhì)元落后。若：波動沿x

軸負(fù)方向傳播，則波動方程為：§10.2平面簡諧波（1）第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1010（2）⑵式可以看出：x

處質(zhì)元的振動超前于原點處的質(zhì)元§10.2平面簡諧波第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1111三、平面簡諧波方程的物理意義

1.

當(dāng)x一定時，表示x處質(zhì)元的振動方程，初位相是。

2.

當(dāng)t一定時，表示t時刻各個質(zhì)元偏離平衡位置的位移，即t時刻的波形。§10.2平面簡諧波第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1212由⑴可知：x

處體元振動的周期、頻率和圓頻率：不一定是振動系統(tǒng)的固有頻率而取決于波源頻率，所以⑴中的形式不意味著各體元作簡諧振動。注意§10.2平面簡諧波第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1313（2）由⑵知：t一定時，y

是x

的周期函數(shù)，也存在空間位置上的周期，波長（3）即：波長是波在一個周期內(nèi)傳播的距離；或，沿波傳播方向相鄰?fù)辔粌牲c間的距離?！?0.2平面簡諧波第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1414另外，由空間位置的周期性可知：§10.2平面簡諧波第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1515定義：，稱為波數(shù)：（4）表示單位長度上的波數(shù)，而表示長度上波的數(shù)目。都描述平面簡諧波的空間周期性。§10.2平面簡諧波第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一16163.

聯(lián)系平面簡諧波的空間周期性與時間周期性的公式：（5）§10.2平面簡諧波第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1717四、平面簡諧波方程的多種形式§10.2平面簡諧波平面簡諧波的一般形式（原點初位相不為零）第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1818[例]（10.2.10）圖（1）、圖（2）分別表示t=0和t=2s時的某一平面簡諧波的波形圖，試寫出此平面簡諧波方程?！?0.2平面簡諧波第18頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1919§10.2平面簡諧波第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一20[例]

有一列向x軸正方向傳播的平面簡諧波，它在t=0時刻的波形如圖所示,其波速為u=600m/s。試寫出波動方程。x/my/m512.O§10.2平面簡諧波第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一21=5mA24m=原點處質(zhì)點的振動方程為波動方程為[解]§10.2平面簡諧波第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2222§10.3波動方程與波速一、波動方程（平面簡諧波的動力學(xué)方程）（不是依據(jù)課本上的推導(dǎo)，而是從“平面簡諧波方程”出發(fā)來尋找動力學(xué)方程。）已知：(代表t

時刻x

處質(zhì)元的速度)（波的動力學(xué)方程）

第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2323(代表t

時刻x

處質(zhì)元的加速度)(代表t

時刻x

處的應(yīng)變)§10.3波動方程與波速第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2424（1）⑴式就是波的動力學(xué)方程，而就是波的運動學(xué)方程。類比于：（簡諧振動的動力學(xué)方程）（簡諧振動的運動學(xué)方程）§10.3波動方程與波速第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2525二、波速⒈橫波（多為固體剪切形變，詳見第八章）由§10.3波動方程與波速第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2626質(zhì)元所受的和外力（忽略掉質(zhì)元的重力）：因此，§10.3波動方程與波速第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2727或（2）此式也是波的動力學(xué)方程。其中：

N

是剪切模量，是物塊的密度。⑴、⑵比較可知：（3）§10.3波動方程與波速第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2828⒉縱波同理：其中：

Y是楊氏模量，是物塊的密度（固體中）。由此可知：固體中的縱波和橫波的波速與媒質(zhì)彈性密切相關(guān)?！?0.3波動方程與波速第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2929另外，張緊的柔軟細(xì)繩中橫波波速為：（其中，T

是繩中的張力）流體中縱波的波速為（其中K為流體的體積模量）聲速（拉普拉斯）：§10.3波動方程與波速第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3030三、色散現(xiàn)象在重力和表面張力作用下的表面波，若其波長為λ，則其波速為此式也適用于深水情況，即水深比波長大很多。此時：波速不僅與介質(zhì)性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān)、還和波長從而和頻率有關(guān)。

色散：幾列波在介質(zhì)中傳播，因其頻率不同而傳播速度不同的現(xiàn)象。色散介質(zhì)§10.3波動方程與波速第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3131§10.4平均能流密度·聲強與聲壓一、媒質(zhì)中波的能量分布主要研究某體元動能、形變勢能以及總能的變化規(guī)律。1.動能由（體元的振動速度）第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3232設(shè)：媒質(zhì)密度為ρ，dv表示體元的體積。則該體積的動能為：（1）§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一33332.勢能由體元的剪切應(yīng)變?yōu)椋海裕后w元剪切應(yīng)變勢能為：（2）§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3434又因為橫波：，所以有：（2’）(1)和(2’)式比較，得：。

即：體元的動能和勢能具有相同的數(shù)值，同時達(dá)最大或最小?！?0.4平均能流密度·聲強與聲壓第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一35353.總能由前面討論，某體元的總能等于兩者之和，即：（3）由（3）式可知：某體元的總能為空間和時間的函數(shù)。注意：波動過程中體元勢能是由于體元的形變而為體元所有?！?0.4平均能流密度·聲強與聲壓第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一36364.能量密度單位體積媒質(zhì)所有的能量,用ε

表示，由（3）式知：§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3737平均能量密度：能量密度在一周期內(nèi)的平均值：（4）§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3838二、平均能流密度媒質(zhì)中體元的能量由振動狀態(tài)決定，而振動狀態(tài)又以波動傳播，所以能量也以波速傳播。現(xiàn)取波面上一面元ds

，則在一周期內(nèi)體積為vTds的柱體內(nèi)的能量均得流過該面元，流過的能量為：，則：單位時間通過單位面積的能量：§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3939

平均能流密度：大小等于單位時間內(nèi)通過與波傳播方向面積的能量，方向沿波傳播方向，是一矢量，符號“”：即：平均能流密度的大小等于平均能量密度與波速的乘積。單位：

§10.4平均能流密度·聲強與聲壓第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4040三、聲強與聲強級聲強：聲波平均能流密度的大小。聲功率：單位時間內(nèi)通過一定面積的聲波能量。

人剛好能聽見的1000Hz聲音的聲強約10×10－12

W/m2，能引起耳膜壓迫痛感的聲強則高達(dá)10W/m2。§10.4平均能流密度·聲強與聲壓聲波：次聲波：超聲波：第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4141

聲強級：取10－12W/m2的聲強為標(biāo)準(zhǔn)聲強I0，聲強I與標(biāo)準(zhǔn)聲強I0之比的對數(shù)則為聲強I的聲強級：國際符號：B國際符號：dB§10.4平均能流密度·聲強與聲壓

聲波傳播的速度幾乎與頻率無關(guān)，而速度與介質(zhì)的密度有關(guān)，所以聲波傳播的速度對于溫度和壓強的變化很敏感。第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一42（紅線為等響度線）語言區(qū)域痛閾聞閾/HZ20100050010050001000002040608010012010-210-410-610010-810-1010-12L/dbI/Wm-2第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一43引起痛覺的聲音炮聲鉚釘機交通繁忙的亍道通常談話耳語引起聽覺的最低聲音樹葉沙沙聲聲源聲強/Wm-21110-210-510-610-1010-1110-12聲強級/dB

震耳響正常輕極輕120100706020100120第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一44

聲壓：在有聲波傳播的空間，某一點在某一瞬時的壓強p與沒有聲波時壓強p0的差。第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4545§10.5波的疊加和干涉駐波一、波的疊加

波的疊加原理：兩列波相獨立的傳播，在兩列波相遇處體元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。波的疊加第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4646(b)兩者疊加，產(chǎn)生拍的現(xiàn)象(a)兩組波動的頻率不同，但相差很小§10.5波的疊加和干涉駐波第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4747理論上解釋：因波動方程對于t

和x都是線性的，若：y1

和y2是該方程的解，則y1+y2也是方程的解。因此，波的疊加原理與方程的線性密切相關(guān)?！?0.5波的疊加和干涉駐波注：此原理只適用于線性行波，對非線性行波(如爆炸)不適用。重要性：可將任一復(fù)雜的線性行波分解為簡諧波的疊加。第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4848二、波的干涉１.波的干涉

兩列波滿足一定條件，則兩列波相遇各空間點的合振動能各保持恒定振幅而不同位置各點以不同動能振動，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。§10.5波的疊加和干涉駐波第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4949２.波的干涉條件（１）兩列波具有相同的振動方向；（２）兩列波具有相同的頻率；（３）兩列波在空間每一點引起的振動都有固定的相位差。

簡言之，即：振動方向相同、頻率相同且在各空間點保持固定的相位差。如：同頻率同方向的正弦或余弦振動的合運動仍為正弦或余弦振動，合振動的振幅由分振動振幅以及相位差決定?！?0.5波的疊加和干涉駐波第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5050光學(xué)里，常用“光程差”：如果光程差是波長的整數(shù)倍，則該處振動加強；如果光程差是半波長的奇數(shù)倍，則該處振動減弱。滿足干涉條件的兩列波，才能實現(xiàn)干涉現(xiàn)象所要求的空間各點振動強弱所具有的確定的分布。§10.5波的疊加和干涉駐波第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5151三、駐波１.駐波的概念

振幅、頻率相同而傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動，稱為駐波?！榜v波”可造成高速行車爆胎駐波演示§10.5波的疊加和干涉駐波第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一52第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5353２.駐波方程相遇處各體元的合位移為：設(shè)兩列波：§10.5波的疊加和干涉駐波第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5454將代入上式得：（1）(1)式振幅介于0~2A之間，(1)式就是駐波方程?！?0.5波的疊加和干涉駐波第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一55

（1）振幅：令，對于不同x處的質(zhì)元，振幅不同，介于0~2A之間。55當(dāng)A駐＝2A時，（2）即：處于(2)式中處的質(zhì)元的振幅為2A，最大振幅，稱為駐波的波腹，用（A）表示。駐波方程的特點：§10.5波的疊加和干涉駐波第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5656當(dāng)A駐＝0

時，（3）即：處于(3)式中處的質(zhì)元的振幅為0，是最小振幅，稱為相鄰兩波節(jié)，用（Ｎ）表示?！?0.5波的疊加和干涉駐波波節(jié)波腹/2/2第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一57（2）由(2)式知，相鄰兩波腹間的距離為由(3)式知，相鄰兩波節(jié)間的距離為由(2)、(3)式知：相鄰波節(jié)和波腹之間距離則為§10.5波的疊加和干涉駐波（2）（3）波節(jié)波腹/2/2第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5858（3）相位（駐波各點振動的相位關(guān)系）（a）相鄰波節(jié)之間各點質(zhì)元的相位關(guān)系

由：，取兩相鄰的波節(jié)處的質(zhì)元：代入駐波方程中的振幅因子，得：§10.5波的疊加和干涉駐波第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一5959由此可知，處于兩波節(jié)之間的各點的值不是第2、3象限就是第1、4象限，即符號不變化。

由此可知：處于兩波節(jié)間各點質(zhì)元具有相同的相位?！?0.5波的疊加和干涉駐波第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一6060（b）相鄰兩波腹處質(zhì)元的相位關(guān)系由相鄰兩波腹：由此可知：相鄰兩波腹的相位是相反的；又由：相鄰波節(jié)之間的質(zhì)元的相位相同，可以得知：波節(jié)兩側(cè)各體元的振動相位相反；波腹兩側(cè)各體元的振動相位相同?！?0.5波的疊加和干涉駐波第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一61613.駐波中的能量駐波中的能量以形變勢能集中于波節(jié)附近，以動能形式集中于波腹附近，某些時刻，動能和勢能并存；總之，駐波中不斷進行著動能和勢能之間的轉(zhuǎn)換和在波腹與波節(jié)之間的轉(zhuǎn)移，然而沒有能量的定向傳播?！?0.5波的疊加和干涉駐波第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一62624.行波與駐波的區(qū)別行波駐波波方程

振幅

所有質(zhì)元處都為A

各質(zhì)元處的振幅不同：

相位：各處的相位不同

：同相位或反相位能量由近向遠(yuǎn)傳播（沿波傳播方向）波節(jié)或波腹之間的能量交換和轉(zhuǎn)移（沒有定向的傳播）

經(jīng)常見到的駐波是：一列前進波與它在某一界面的反射波疊加而形成的?！?0.5波的疊加和干涉駐波第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一63635.舉例

半波損失：波從波疏媒質(zhì)傳入波密媒質(zhì)時，反射波在邊界處引起的分震動比入射波在此引起的分振動在相位上落后π，即：波傳播中此處相距半個波長，故這種現(xiàn)象稱半波損失。如：一金屬絲上傳播波，金屬絲兩端固定，在固定端處將發(fā)生半波損失?！?0.5波的疊加和干涉駐波第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一64有半波損失Z大Z小無半波損失Z大Z小§10.5波的疊加和干涉駐波第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一6565如：兩端固定的弦振動，入射波與反射波在該處引起的分振動因半波損失而反相位，所以如形成駐波，兩端點必是波節(jié)，設(shè)弦長為l,，則有如下關(guān)系：如，兩端自由，反射波與入射波在該處引起的分振動無半波損失，則端點是同相位，即：端點處是波腹?！?0.5波的疊加和干涉駐波第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一66入射波反射波透射波介質(zhì)1(Z1小)介質(zhì)2(Z2大）界面入射波反射波透射波介質(zhì)1(Z1大介質(zhì)2(Z2小)界面

脈沖波在界面處的反射和透射§10.5波的疊加和干涉駐波第66頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一6767§10.6多譜勒效應(yīng)

多普勒效應(yīng)：由于波源或觀察者的運動而出現(xiàn)觀測頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象。一、波源靜止而觀察者運動

討論：靜止點波源的振動在均勻各向同性媒質(zhì)中傳播的情況：O點為波源，相位差為，（縱向，橫向多譜勒效應(yīng)為零）第67頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一68

設(shè)：觀測者觀測到的波速，波長，觀測頻率，即：

設(shè)：波相對于靜止媒質(zhì)以波速傳播，為波源振動的頻率，則：§10.6多譜勒效應(yīng)第68頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一69當(dāng)波源和觀察者都相對于媒質(zhì)靜止時，則：設(shè)：觀測者以相對于媒質(zhì)朝波源O運動，