高中數(shù)學(xué)(蘇教版選修2-3)雙基達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.5.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

77672r8r2rrrr6612nxn10k329910029977672r8r2rrrr6612nxn10k3299100299100210010022498·4－1)8(4498

二項(xiàng)式系的性質(zhì)及應(yīng)雙基達(dá)標(biāo)

鐘1．若(3x－1)＝x＋ax＋…＋ax＋a，則a＋a＋…＋a＝7071解析

令x1a＋a＋…＋＋a＝1287令x0a＝(－1)0

＝－1∴a＋＋…＋＝129.7答案

1292.

－3

的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________．解析

只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以＝通項(xiàng)T＝＋1

＝(－C8

，令

2443

＝0r所以常數(shù)項(xiàng)為－1)2－C＝7.8答案

73．已________．

的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為解析

由已知可得展開式的系數(shù)也為二項(xiàng)式系數(shù)，故＝32∴＝，此時(shí)展開式的通項(xiàng)為TCxk1

3

，令10k＝k＝故展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為C＝5答案

104．1＋3＋3＋…＋被4，所得的余數(shù)為________解析

131133＋…＝＝(3－＝1311[(4－－1]

C

199100

＋…＋C

·4100

2

－C

99100

－C

197100＋…＋C

－100顯然能被4除，故余數(shù)為0.答案

0第頁(yè)6

2)3nnn1n＋nnnn3n1n1n＋＋x＋n401222r8·＝r448r111kkkk－－＋－8811k22kkk－－＋－－＋8×2≥，2)3nnn1n＋nnnn3n1n1n＋＋x＋n401222r8·＝r448r111kkkk－－＋－8811k22kkk－－＋－－＋8×2≥，5．若(1＋5

n

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，n

＋5)

的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)a式系數(shù)之和為b，則的值為_．3bn解析

由已知可得a(1n

＝6

n

，b＝n

，a6∴＝＝.3·2n答案

136．若展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．2求：展開式中含的一次冪的項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解

11由已知條件知：C＋C·＝2C·，nn解得n＝8或n＝舍去．T

r

1

＝C(8

x

－

r

4x

.3令4－r＝1，解得r＝4.∴含x的一次冪的項(xiàng)為T＝·241

35·＝.記第r項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，r則有t≥t，且t.t＝C－kkkkr8

·

－r

，2≥2，于是有≥·即

8！k！8！8！≥×∴

2≥，9－k12≥k－10－

.

解得3≤≤第頁(yè)6

848kkkk8kk2428412310kkk1010199238288232n01x2n848kkkk8kk2428412310kkk1010199238288232n01x2n242n110nnn822242n∴系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)T＝3

和第4T＝7·.4綜合提高

鐘7．－)

展開式中不含x

項(xiàng)的系數(shù)的和為________．解析

k展開式的通項(xiàng)公式TC·2－·(x＝(1)C2－x.k1k由＝4k＝，則含

項(xiàng)的系數(shù)為1.令x1展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為(2＝故展開式中不含x項(xiàng)的系數(shù)的和－1答案

08．1－＋－＋…＋－1)C＋…＋90除以88的余數(shù)是10________．解析

原式＝－90)＝(88＋1)＝88＋＋…＋C881010因?yàn)榍?0均能被整除，故余數(shù)為答案

19．已(1＋)＋＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)＝a＋x＋a＋…＋a，則a0121＋a＋＋…＋＝________.2解析

令x1a＋a＋＋…＋a＝0222＋2＋…＋2＝＝51012令x0a＝，∴a＋＋a＋…＋a＝502.01238答案

50210的二項(xiàng)展開式中有且只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大－＋11C－…＋(－1)·C＝________.nn解析

由已知第5的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則＝，又C－CC－…＋(1)Cn256答案

125611．(1)求證：46

n

＋5

n

＋

1

－920倍數(shù)(n∈)；＋第頁(yè)6

nnn0n110nn1100505005001494950050503161601216100100nnn0n110nn11005050050014949500505031616012161001002xr8rrrrxrrr1r1＋＋88rrr1r1－－88446今天是星期一，再過(guò)

100

天是星期幾？證明

4×6＋＋

－9＝4·(5＋1)＋5·(4－9＝4(C5＋－nn

＋…＋C

nn

5＋1)＋5(C4＋nn

－

1

＋…＋Cn

4＋1)－9＝20[(C

0n

5

n

－

1

＋C

1n

5

n

－

2

＋…C

nn

－

1

)＋(C

0n

4

n

－

1

＋C

1n

4

n

－

2

＋…C

nn

1

)]，故結(jié)論成立．解

∵3＝9＝(7＋2)＝C·7＋C·2＋…＋C＋C7＝7＋2M∈N)，5050n＋又2

50

＝2

2

＝4×8

＝4(1＋

＝4(C＋＋C＋…＋C)＝＋N(∈N)，161616n＋∴3被除余數(shù)是4故再過(guò)3天是星期五．12在x－2

8

的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求系數(shù)最大的項(xiàng)；求系數(shù)最小的項(xiàng)．解

Tr＝·(x－－8

.設(shè)第r＋1系數(shù)的絕對(duì)值最大．2·，則·≥∴

1≥8－rr＋121≥r9r

，

5≤r≤6，故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即為第項(xiàng)．∴T＝·25

＝1x由(1)知，展開式中的6和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，而6的系數(shù)為負(fù)，第7的系數(shù)為正．第頁(yè)6

66－11.522x221314200822008200866－11.522x22131420082200820087014701477772則系數(shù)最大的項(xiàng)為T＝C·278

·

＝1x

11系數(shù)最小的項(xiàng)為＝－·6813(創(chuàng)新拓)(1)已知(1－2x)＝a

0

＋ax＋ax12

＋…＋a2008

2008

(∈，求

a

0＋a＋＋…＋的值；1008已知(12＋3)＝a＋x＋ax＋…＋x＋a，求a＋＋a＋…01314＋a的值．13解

令＝1則(1－x)

＝a＋＋ax＋…＋0