信號(hào)與系統(tǒng)北郵

2023/4/271

第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析§3.1線性離散系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)目的要求:1、了解離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述法；2、掌握離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求法；作業(yè)：P110

3.4(1)(2),3.6(2)(4)2023/4/272離散時(shí)間信號(hào)：時(shí)間變量是離散的，函數(shù)只在某些規(guī)定的時(shí)刻有確定的值，在其他時(shí)間沒(méi)有定義。離散時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出都是離散的時(shí)間信號(hào)。如數(shù)字計(jì)算機(jī)。離散信號(hào)可以由模擬信號(hào)抽樣而得，也可以由實(shí)際系統(tǒng)生成。2023/4/273幅值量化——幅值只能分級(jí)變化。采樣過(guò)程就是對(duì)模擬信號(hào)的時(shí)間取離散的量化值過(guò)程——得到離散信號(hào)。數(shù)字信號(hào)：離散信號(hào)在各離散點(diǎn)的幅值被量化的信號(hào)。2023/4/274連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)——微分方程描述

離散時(shí)間系統(tǒng)——差分方程描述2023/4/275本章內(nèi)容

注意離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)分析方法上的聯(lián)系、區(qū)別、對(duì)比，與連續(xù)系統(tǒng)有并行的相似性。和前幾章對(duì)照，溫故而知新。學(xué)習(xí)方法離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——差分方程；線性差分方程的時(shí)域解法；離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；離散卷積。2023/4/276

一般，單輸入---單輸出的線性非時(shí)變系統(tǒng)可用n階常系數(shù)線性差分方程描述對(duì)因果系統(tǒng)或2023/4/277差分方程的解法:1.迭代法;2.古典解法;3.用卷積和的方法求零狀態(tài)響應(yīng);4.變換域方法.2023/4/278迭代法例

描述某線性非時(shí)變離散系統(tǒng)的差分方程為若已知初始狀態(tài)y(-1)=0，激勵(lì)為單位階躍序列，即試求y(k)。解：……2023/4/279例3.1-1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵(lì)f(k)=2kε(k),求y(k)。

解：

y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)k=2y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2k=3y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10k=4y(4)=–3y(3)–2y(2)+f(4)=–10……

2023/4/2710二、差分方程的古典解齊次解：一階系統(tǒng):齊次方程：P862023/4/2711n階系統(tǒng)特征方程特征根2.特征根，其余均為單根1.特征根均為單根齊次解：2023/4/2712特解其形式與激勵(lì)形式有關(guān),見(jiàn)表3--2全解:

若激勵(lì)信號(hào)f(k)是在k=0接入的,則差分方程的解適合于k≥0。

給定初始條件y(0),y(1),……,y(n-1)就可確定各系數(shù)。P87頁(yè)2023/4/2713初始條件：例

描述某線性非時(shí)變離散系統(tǒng)的差分方程為求全響應(yīng)。解：第一步：求齊次解第二步：求特解將代入差分方程化簡(jiǎn)得到：特解比較系數(shù)得到K為常數(shù)2023/4/2714初始條件：例

描述某線性非時(shí)變離散系統(tǒng)的差分方程為求全響應(yīng)。解：解得：第三步：求全解代入初始條件：全響應(yīng)：2023/4/2715

差分方程的初始條件并不限于y(0),y(1),…y(n-1)。對(duì)于n階差分方程只要給出n個(gè)獨(dú)立的y(k)值，就可作為初始條件，用以確定系數(shù)Ci。

對(duì)于因果系統(tǒng)，常以y(-1),y(-2),…y(-n)為初始狀態(tài)（條件）。

如果激勵(lì)信號(hào)是在k=0時(shí)接入的，那末所謂零狀態(tài)就是指y(-1)=y(-2)=…=y(-n)=0

。確定系數(shù)Ci的初始條件必須是y(0),y(1),…y(n-1)2023/4/2716三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)1.特征根均為單根2.特征根，其余均為單根各系數(shù)由初始狀態(tài)（零輸入初始條件）yzi(-1),yzi(-2),……,yzi(-n)

確定。2023/4/2717零狀態(tài)響應(yīng)各系數(shù)由零狀態(tài)初始條件yzs(0),yzs(1),……,yzs(n-1)確定。2023/4/2718解：第一步：求零輸入響應(yīng)由初始條件列方程解得：例：已知系統(tǒng)差分方程為，求：零輸入初始條件：，激勵(lì)2023/4/2719第二步：求零狀態(tài)響應(yīng)解得：例：已知系統(tǒng)差分方程為，求：零輸入初始條件：，激勵(lì)2023/4/2720第三步：求全響應(yīng)例：已知系統(tǒng)差分方程為，求：零輸入初始條件：，激勵(lì)2023/4/2721

第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析§3.2單位序列和單位響應(yīng)目的要求:1、掌握單位序列和單位階躍序列；2、掌握單位響應(yīng)的求法；作業(yè)：P1113-8(1)(2),3-10（a).第9次課2023/4/2722§3.2一、單位序列和單位響應(yīng)一.單位序列和單位階躍系列

單位序列單位階躍序列k1-1012k10123452023/4/2723二.單位響應(yīng)h(k)1.迭代法;對(duì)因果系統(tǒng),當(dāng)k<0時(shí),h(k)=0,可用迭代法依次求出h(0),h(1),h(2),……。2、等效初始狀態(tài)法：?jiǎn)挝缓瘮?shù)僅在k=0處等于1，所以在k>0時(shí)，h(k)與零輸入響應(yīng)的形式相同3、待定系數(shù)法；4、移序算子法（參見(jiàn)管致仲下冊(cè)第七章）；5、Z變換法。2023/4/27241.迭代法對(duì)因果系統(tǒng),當(dāng)k<0時(shí),h(k)=0,可用迭代法依次求出h(0),h(1),h(2),……。例一階系統(tǒng)，求h(k)。解由定義：h(k)是的解。2023/4/27252、等效初始狀態(tài)法(1)一階系統(tǒng)的單位響應(yīng)

∑+-令由于k>0時(shí)，一階系統(tǒng)的響應(yīng)可以認(rèn)為由零輸入引起，因此2023/4/2726例3.2-1∑+++122、等效初始狀態(tài)法2023/4/2727

例3.2-1

系統(tǒng)的差分方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求單位序列響應(yīng)h(k)。(P96)解

根據(jù)h(k)的定義有

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）

h(–1)=h(–2)=0（1）遞推求初始值h(0)和h(1)。

h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)

h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1

h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=12023/4/2728(2)求h(k)對(duì)于k>0，h(k)滿足齊次方程

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0特征方程

(λ+1)(λ–2)=0

h(k)=C1(–1)k+C2(2)k

，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3

h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或?qū)憺?/p>

h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)2023/4/2729

例3.2-2方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)-f(k-2)求單位序列響應(yīng)h(k)。（P97）解

h(k)滿足

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k),它滿足

h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)根據(jù)線性時(shí)不變性，

h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2

+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)2023/4/2730例∑+---10.52、等效初始狀態(tài)法2023/4/2731令當(dāng)，故可以用零輸入響應(yīng)解的形式表示。解：2023/4/2732∴例2023/4/2733例

描述某線性非時(shí)變離散系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的單位響應(yīng)。解：由線性性質(zhì)，系統(tǒng)的單位響應(yīng)h2(k)為差分方程其中h1(k)為差分方程--------①的解。----②的解。2023/4/27342023/4/2735特征方程特征根結(jié)論：對(duì)

n階常系數(shù)線性差分方程3、待定系數(shù)法2023/4/27362.特征根，其余均為單根1.特征根均為單根2023/4/27371.特征根均為單根2.特征根，其余均為單根由初始條件h(0),h(1),……,h(n-1)就可確定各系數(shù)。2023/4/2738求單位響應(yīng)的步驟：①

由迭代法求h(0)，h(1),h(2),h(3)…….。②

由齊次方程的特征根寫出標(biāo)準(zhǔn)解形式。③

代入系數(shù)求單位解。④

根據(jù)方程右邊輸入的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)線性系統(tǒng)的時(shí)移特性，計(jì)算各延時(shí)輸入項(xiàng)對(duì)應(yīng)解。⑤

求代數(shù)和得到h(k)。小結(jié)2023/4/2739

第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析§3.3卷積和目的要求:掌握卷積和的計(jì)算方法；作業(yè)：P1113.11(1),(3)3.12(2),(4)3.173.22.重點(diǎn)圖解法2023/4/2740§3.3卷積和求離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，分下列幾步進(jìn)行。1、求單位信號(hào)的響應(yīng)。2、將任意信號(hào)分解成一系列信號(hào)之和。3、利用卷積和公式求零狀態(tài)響應(yīng)，主要有三個(gè)方法：①列表法②圖解法③解析法

第10次課2023/4/2741一、卷積和1.序列的時(shí)域分解任意序列f(k)可表示為

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…2023/4/27422.任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)f(k)根據(jù)h(k)的定義：δ(k)

h(k)

由時(shí)不變性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齊次性：f(i)h(k-i)由疊加性：‖f(k)‖yzs(k)卷積和2023/4/27433.卷積和的定義

已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡(jiǎn)稱卷積；記為

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。2023/4/2744若則若則2023/4/2745例：f(k)=a

kε(k),h(k)=b

kε(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)當(dāng)i<0,ε(i)=0；當(dāng)i>k時(shí)，ε(k-i)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)P1062023/4/2746二、卷積的圖解法卷積過(guò)程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。舉例2023/4/2747例：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)2023/4/2748k1012345k012345i012345例3.3-2(P103)2023/4/2749i-4-3-2-1012345k=-1f(-1)=0i-4-3-2-1012345k=0f(0)=12023/4/2750i-4-3-2-1012345k=1f(1)=3i-4-3-2-1012345k=2f(2)=62023/4/2751i-4-3-2-1012345k=3f(3)=6i-4-3-2-1012345k=4f(4)=52023/4/2752i-4-3-2-1012345k=5f(5)=3i-4-3-2-1012345k=6f(6)=02023/4/27533、二、卷積和的性質(zhì)1、線性性質(zhì)：2、交換律

2023/4/2754若則2023/4/2755例3.3-3

例3.3-4p107

注意兩種初始值的區(qū)別2023/4/2756性質(zhì)求卷積和例

復(fù)合系統(tǒng)中h1(k)=ε(k)，h2(k)=ε(k–5)，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h

(k)。

解根據(jù)h(k)的定義，有h(k)=[δ(k)*h1(k)–δ(k)*h2(k)]*h1(k)=[h1(k)–h2(k)]*h1(k)=h1(k)*