2023屆福建省福州市三校聯(lián)考數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則（）A．2 B． C．1 D．2．即將畢業(yè)，4名同學與數(shù)學老師共5人站成一排照相，要求數(shù)學老師站中間，則不同的站法種數(shù)是A．120 B．96 C．36 D．243．有名學生，其中有名男生.從中選出名代表，選出的代表中男生人數(shù)為，則其數(shù)學期望為（）A． B． C． D．4．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是楊輝三角數(shù)陣，記為圖中第行各個數(shù)之和，為的前項和，則A．1024 B．1023 C．512 D．5115．若復數(shù)是純虛數(shù)（是實數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．6．設函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1,f(2)=,則()A．a(chǎn)< B．a(chǎn)<且a≠1 C．a(chǎn)>且a<-1 D．-1<a<7．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．18．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．512 B．12 C．79．設，，，則（）A． B． C． D．10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．在極坐標系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點，則線段的長度為（）A．2 B． C． D．112．設實數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，過且斜率為的直線交于，兩點，設，則_______.14．在的展開式中，的系數(shù)為________15．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質量如下（單位：克）125124121123127，則該樣本標準差（克）（用數(shù)字作答）．16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中，三內(nèi)角所對的邊分別為，已知成等差數(shù)列．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求角的取值范圍．18．（12分）現(xiàn)有男選手名，女選手名，其中男女隊長各名.選派人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結果用數(shù)字表示）（1）男選手名，女選手名；（2）至少有名男選手；（3）既要有隊長，又要有男選手.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間與上均有零點；（提示）（2）若關于的方程存在非負實數(shù)解，求的最小值.20．（12分）已知正四棱柱中，底面邊長為2，，點在線段上.（1）求異面直線與所成角的大?。唬ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.21．（12分）已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.22．（10分）（1）六個從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法有幾種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此可得，結合函數(shù)的周期性與奇偶性，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即；故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用，其中解答中根據(jù)題設條件，求得函數(shù)的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、D【解析】分析：數(shù)學老師位置固定，只需要排學生的位置即可.詳解：根據(jù)題意得到數(shù)學老師位置固定，其他4個學生位置任意，故方法種數(shù)有種，即24種.故答案為：D.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．3、B【解析】

利用超幾何分布分別求隨機變量X的概率，分布列及其數(shù)學期望即可得出．【詳解】隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，隨機變量X的分布列為X1234P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝.【點睛】本題考查了超幾何分布的概率計算公式、分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、B【解析】

依次算出前幾行的數(shù)值，然后歸納總結得出第行各個數(shù)之和的通項公式，最后利用數(shù)列求和的公式，求出【詳解】由題可得：，，，，，依次下推可得：，所以為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故；故答案選B【點睛】本題主要考查楊輝三角的規(guī)律特點，等比數(shù)列的定義以及前項和的求和公式，考查學生歸納總結和計算能力，屬于基礎題。5、B【解析】

利用復數(shù)的運算法則進行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎題．6、D【解析】

先利用函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范圍．【詳解】因為函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因為f（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1?＜0

解可得-1＜a＜．

故選：D．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)奇偶性的性質和分式不等式的解法，屬于基礎題．7、D【解析】分析：求二項展開式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.8、C【解析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點：相互獨立事件概率的計算．9、B【解析】

根據(jù)對數(shù)運算法則求得，進而求得，由此得到結果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，涉及到對數(shù)的運算，屬于基礎題.10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、B【解析】

分別將曲線，的極坐標方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點到直線的距離公式結合垂徑定理，可得結果【詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設長為，則有，即解得（舍負）故線段的長度為故選【點睛】本題主要考查的是極坐標與直角坐標方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關系，是一道基礎題12、D【解析】

對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯；當0＜c＜1時，ca＜cb；當c＝1時，ca＝cb；當c＞1時，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯．，D對；故選D．【點睛】本題考查不等式的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得交點的橫坐標，再由焦半徑公式得出，求比值即得。【詳解】聯(lián)立，可得，解得，所以，故答案為：?！军c睛】本題考查直線與拋物線相交問題，考查焦半徑公式。解題方法是直接法，即解方程組得交點坐標。14、【解析】

由題意，二項式展開式的通項為，令，即可求解．【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，即，可得，即展開式中的系數(shù)為40.【點睛】本題主要考查了二項式展開式中項的系數(shù)問題，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15、2【解析】因為樣本平均數(shù)，則樣本方差所以．16、【解析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由成等差數(shù)列，可得，結合基本不等式和正弦定理可以證明出；(Ⅱ)運用余弦定理可以求出的表達式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的結論，可以求出，結合余弦函數(shù)的圖象和角是三角形的內(nèi)角，最后可求出角的取值范圍．【詳解】解:(Ⅰ)成等差數(shù)列，，，即，當且僅當時取等號由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，當且僅當時取等號由(Ⅰ)得，，，故角的取值范圍是【點睛】本題考查了等差中項的概念，考查了正弦定理、余弦定理、重要不等式和基本不等式，考查了余弦函數(shù)的圖象，是一道綜合性很強的題目.18、（1）30；（2）65；（3）51.【解析】

（1）先選兩名男選手，再選兩名女選手，乘法原理得到答案.（2）用總的選擇方法減去全是女選手的方法得到答案.（3）分為有男隊長和沒有男隊長兩種情況，相加得到答案.【詳解】(1)第一步：選名男運動員，有種選法.第二步：選名女運動員，有種選法.共有(種)選法.(2)至少有名男選手”的反面為“全是女選手”.從人中任選人，有種選法，其中全是女選手的選法有種.所以“至少有名女運動員”的選法有(種).(3)當有男隊長時，其他人選法任意，共有種選法.不選男隊長時，必選女隊長，共有種選法，其中不含男選手的選法有種，所以不選男隊長時，共有種選法.故既要有隊長，又要有男選手的選法有(種).【點睛】本題考查了排列組合問題的計算，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.19、（1）證明見解析；（2）-4【解析】

（1）利用零點判定定理直接計算求解，即可證明結果；（2）設，令，通過換元，利用函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解的取值范圍，進而可得最小值.【詳解】（1）證明：，在區(qū)間上有零點，在區(qū)間上有零點.從而在區(qū)間與上均有零點（2）設，令則，，，時，，則在上遞增，，故【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的單調(diào)性的判斷，零點判定定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用異面直線所成角的定義再結合正四棱柱中的性質可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來確定點的位置后問題就解決了．【詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長為2，，，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，，，，即多面體的體積為．【點睛】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關鍵是第一問要利用圖形的性質將異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角；第二問對于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體的體積轉化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.21、（1）見解析（2）【解析】

⑴因為，所以，即,其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因為，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.22、（1）216（2）36（3）120【解析】分析：（1）分兩種情況討論甲在最左端時，有，當甲不在最左端時，有(種）排法，由分類計數(shù)加法原理可得結果；（2）分三步：將看成一個整體，將于剩余的2件產(chǎn)品全排列，有3個空位可選，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可得結果；（3）用表示歌舞類節(jié)目，小品類節(jié)目，相聲類節(jié)目，利用枚舉法可得共有種，每一種排法種的三個，兩個可以交換位置，故總的排法為種.詳解：（1）當甲在最左端時，有；當甲不在最左端時，乙必須在最左端，且甲也不在最右端，有(種）排法，共計（種）排法.（2）根據(jù)題意，分3步進行分析：產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，將看成一個整體，考慮之間的順序，有種情況，將于剩余的2件產(chǎn)品全排列，有種情況，產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，有3個空位可選，即有3種情況，共有種；（3）法一：用表示歌舞類節(jié)目，小品類節(jié)目，相聲類節(jié)目，則可以枚舉出下列10種：每一種排法種的三個，兩個可