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2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線:1,左右焦點(diǎn)分別為,,過的直線交雙曲線左支于,兩點(diǎn),則的最小值為()A. B.11 C.12 D.162.長方體中,,,則直線與平面ABCD所成角的大小()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之差為()A.-1 B.1C. D.4.已知,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到的圖象關(guān)于軸對稱,則為()A. B. C. D.5.若實(shí)數(shù)x、y的取值如表,從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA.15 B.16 C.16.2 D.176.已知雙曲線x2a2-yA.x212-y287.如圖,在菱形ABCD中,,線段AD,BD,BC的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),K,連接EF,F(xiàn)K.現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn),令二面角A-BD-C的平面角為,則在旋轉(zhuǎn)過程中有()A. B. C. D.8.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次,設(shè)事件{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同},{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)},則()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.實(shí)軸上 B.虛軸上 C.第一象限 D.第二象限10.某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世園會(huì)的中國館服務(wù),任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國征集留言”、“歡樂世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項(xiàng)活動(dòng),其中1人負(fù)責(zé)“征集留言”,2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”,則不同的分配方案共有()A.30種 B.60種 C.120種 D.180種11.已知函數(shù),若,均在[1,4]內(nèi),且,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知?jiǎng)t復(fù)數(shù)A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.14.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)=______.15.已知函數(shù),有以下結(jié)論:①若,則;②在區(qū)間上是增函數(shù);③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱;④設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),.其中正確的結(jié)論為__________.16.不等式的解集是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于的不等式的解集;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,的值.19.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.曲線的極坐標(biāo)方程是.(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn),在第一象限內(nèi)曲線上任取一點(diǎn),求四邊形面積的最大值.20.(12分)某育種基地對某個(gè)品種的種子進(jìn)行試種觀察,經(jīng)過一個(gè)生長期培養(yǎng)后,隨機(jī)抽取株作為樣本進(jìn)行研究.株高在及以下為不良,株高在到之間為正常,株高在及以上為優(yōu)等.下面是這個(gè)樣本株高指標(biāo)的莖葉圖和頻率分布直方圖,但是由于數(shù)據(jù)遞送過程出現(xiàn)差錯(cuò),造成圖表損毀.請根據(jù)可見部分,解答下面的問題:(1)求的值并在答題卡的附圖中補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)通過頻率分布直方圖估計(jì)這株株高的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(3)從育種基地內(nèi)這種品種的種株中隨機(jī)抽取2株,記表示抽到優(yōu)等的株數(shù),由樣本的頻率作為總體的概率,求隨機(jī)變量的分布列(用最簡分?jǐn)?shù)表示).21.(12分)如圖,直三棱柱中,,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若,求證:;(2)若,異面直線與所成的角為,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,是曲線上的一動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)雙曲線的定義,得到,再根據(jù)對稱性得到最小值,從而得到的最小值.【詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到,根據(jù)雙曲線的定義可得,,所以得到,根據(jù)對稱性可得當(dāng)為雙曲線的通徑時(shí),最小.此時(shí),所以的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義求線段和的最小值,雙曲線的通徑,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2、B【解析】
連接,根據(jù)長方體的性質(zhì)和線面角的定義可知:是直線與平面ABCD所成角,在底面ABCD中,利用勾股定理可以求出,在中,利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【詳解】連接,在長方體中,顯然有平面ABCD,所以是直線與平面ABCD所成角,在底面ABCD中,,在中,,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解析】試題分析:,故選B.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的運(yùn)算.4、D【解析】
由平移后,得,再由圖象關(guān)于軸對稱,得,解之即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得圖象關(guān)于軸對稱,即又時(shí)滿足要求.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和函數(shù)的對稱性,屬于中檔題.5、D【解析】
計(jì)算出樣本的中心點(diǎn)x,y,將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得出【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點(diǎn)x,y,所以,3.5×3-1.3=m+295【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線的基本性質(zhì),在解回歸直線相關(guān)的問題時(shí),熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)x,6、D【解析】試題分析:因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62,所以ca考點(diǎn):雙曲線的性質(zhì).7、B【解析】
首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體,表示和,轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題,還需考慮和兩種特殊情況.【詳解】如圖,繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個(gè)圓錐,(為圓心,為半徑,為的中點(diǎn)),,,當(dāng)且時(shí),與等腰中,為公共邊,,,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,綜上,。C.D選項(xiàng)比較與的大小關(guān)系,如圖即比較與的大小關(guān)系,根據(jù)特殊值驗(yàn)證:又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,都不正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角的相關(guān)知識(shí),考查空間想象能力,難度較大,本題的難點(diǎn)是在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中,如何轉(zhuǎn)化和,從而達(dá)到比較的目的,或考查和兩種特殊情況,可快速排除選項(xiàng).8、A【解析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同},包含的基本事件數(shù)是36?6=30,事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn),有10種,∴,本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:條件概率的計(jì)算方法:(1)利用定義,求P(A)和P(AB),然后利用公式進(jìn)行計(jì)算;(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),然后求概率值.9、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式,即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】,對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn),考查復(fù)數(shù)的乘法法則,關(guān)于復(fù)數(shù)問題,一般要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行解答,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”,從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,再從剩下的人中選3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩,即可得出不同的分配方案.【詳解】從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”,從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,再從剩下的人中選3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩,則不同的分配方案共有種故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合,確定;再利用,即,可得,,設(shè),,確定在上遞增,在有零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時(shí),恒成立,則f(x)在(0,+∞)上遞增,則f(x)不可能有兩個(gè)相等的函數(shù)值.故;由題設(shè),則=考慮到,即,設(shè),,則在上恒成立,在上遞增,在有零點(diǎn),則,,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn),求參數(shù)取值范圍的問題,本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件,以及,變形為,,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題.12、A【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡復(fù)數(shù),再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即.詳解:因?yàn)椋?,,故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于中檔題.解答復(fù)數(shù)運(yùn)算問題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1.【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】分析:純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是中,且,根據(jù)這個(gè)條件,列出關(guān)于的方程組,從而可得結(jié)果.詳解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),且,,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查純虛數(shù)的定義,意在考查對基本概念掌握的熟練程度,屬于簡單題.15、②③④【解析】
首先化簡函數(shù)解析式,逐一分析選項(xiàng),得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí),函數(shù)的周期為,,或,所以①不正確;②時(shí),,所以是增函數(shù),②正確;③函數(shù)還可以化簡為,所以與關(guān)于軸對稱,正確;④,當(dāng)時(shí),,,④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題型.16、【解析】
由不等式得,所以,等價(jià)于,解之得所求不等式的解集.【詳解】由不等式得,即,所以,此不等式等價(jià)于,解得或,所以不等式的解集是:,故填:.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法,一般的步驟是:移項(xiàng)、通分、分解因式、把每個(gè)因式未知數(shù)的系數(shù)化成正、轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或作簡圖數(shù)軸標(biāo)根、得解集,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)絕對值的意義,取到絕對值號(hào),得到分段函數(shù),進(jìn)而可求解不等式的解集;(2)因?yàn)椋?,再利用絕對值的定義,去掉絕對值號(hào),即可求解?!驹斀狻浚?)因?yàn)?,所以的解集?(2)因?yàn)椋?,即,則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值不等式問題,對于含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.18、(1),.(2).【解析】分析:(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程,再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)先求P直角坐標(biāo),再設(shè)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式,代入曲線的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達(dá)定理得結(jié)果.詳解:(1)的普通方程為:;又,即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程得,即,.解法二:,,,.點(diǎn)睛:直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù),t可正、可負(fù)、可為0)若M1,M2是l上的兩點(diǎn),其對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則(1)M1,M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0+t1cosα,y0+t1sinα),(x0+t2cosα,y0+t2sinα).(2)|M1M2|=|t1-t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t,則t=,中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|=.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn),則t1+t2=0.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析:(Ⅰ)把整合成,再利用就可以得到曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)因?yàn)樵跈E圓上且在第一象限,故可設(shè),從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示,求出該函數(shù)的最大值即可.詳解:(Ⅰ)由題可變形為,∵,,∴,∴.(Ⅱ)由已知有,,設(shè),.于是由,由得,于是,∴四邊形最大值.點(diǎn)睛:直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式,而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí),我們可用一個(gè)參數(shù)來表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題.20、(1),補(bǔ)圖見解析(2)估計(jì)這株株高的中位數(shù)為82(3)見解析【解析】
根據(jù)莖葉圖和頻率直方圖,求出中位數(shù),得離散型隨機(jī)變量的分布列.【詳解】解:(1)由第一組知,得,補(bǔ)全后的頻率分布直方圖如圖(2)設(shè)中位數(shù)為,前三組的頻率之和為,前四組的頻率之和為,∴,∴,得,∴估計(jì)這株株高的中位數(shù)為82.(3)由題設(shè)知,則的分布列為012【點(diǎn)睛】本題考查頻率直方圖及中位數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布列,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征,又,可作中點(diǎn),連接DM,通過線面垂直證明平面,可推出,又,可證(2)通過作圖,分別以,,為軸、軸、軸,建立空間直角體系,先通過幾何法求出長度,分別表示出線面角各點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo),再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【詳解】證明:(1)取中點(diǎn),連接,,有,因?yàn)?,所以,又因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫嫫矫?,又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以又因?yàn)椋?,平面,平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,所?(2)設(shè),如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸、軸、軸,建立空間直角體系,由(1)可知,,所以,故,,,,,對平面,,,所以其法向量可表示為.又,所以直線與平面成角的正弦值.【點(diǎn)睛】證線線垂直一般是通過線面垂直進(jìn)行證明,本題其實(shí)還可以采用射影逆定理進(jìn)行證
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