2023屆甘肅省東鄉(xiāng)族自治縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門.一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為（）A． B． C． D．2．已知全集，則A． B． C． D．3．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．5．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機(jī)取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．7．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且不在直線上，則周長(zhǎng)的最小值為A． B． C． D．8．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．9．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π411．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“”模式，即“”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，“”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，則一名學(xué)生的不同選科組合有多少種？（）A．種 B．種 C．種 D．種12．已知復(fù)數(shù)z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則__________．14．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．15．的展開式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫答案)16．某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的總數(shù)為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求.18．（12分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.21．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（II）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的基本事件的個(gè)數(shù)，應(yīng)用古典概型公式求出概率.【詳解】解:由題意可知總共情況為，滿足情況為，該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、C【解析】

根據(jù)補(bǔ)集定義直接求得結(jié)果.【詳解】由補(bǔ)集定義得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達(dá)式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.4、D【解析】

首先可換元，，通過再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】由題意，可令，，則，，于是，而，，故的最小值為，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.5、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【詳解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分條件故選B【點(diǎn)睛】命題：若則是真命題，則是的充分條件，是的必要條件6、C【解析】

利用古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可得出答案。【詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個(gè)基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個(gè)，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個(gè)數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)也考查了古典概型的概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。7、C【解析】

求△MAF周長(zhǎng)的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長(zhǎng)的最小值為11，故答案為：C．8、C【解析】分析：三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.9、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.10、D【解析】

由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【詳解】因?yàn)閤+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對(duì)值不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。11、B【解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析該學(xué)生在“語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門”、“化學(xué)、生物、政治、地理四門”、“物理、歷史兩門”中的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，有種選法；③在物理、歷史兩門科目中必選一門，有種選法；則這名學(xué)生的不同選科組合有種.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】解：因?yàn)閦=1-i，所以z2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接利用二項(xiàng)分布公式得到答案.【詳解】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題目.14、【解析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解析】因?yàn)椋粤?，解得，所?15，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，求特定項(xiàng)的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低檔.16、30種【解析】

對(duì)發(fā)言的3人進(jìn)行討論，一類是3個(gè)中有來自甲企業(yè)，一類是3人中沒有來自甲企業(yè).【詳解】（1）當(dāng)發(fā)言的3人有來自甲企業(yè)，則共有：；（2）當(dāng)發(fā)言的3人沒有來自甲企業(yè)，則共有：；所以可能情況的總數(shù)為種.【點(diǎn)睛】本題考查分類與分步計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于對(duì)3個(gè)發(fā)言人來自企業(yè)的討論，即有來自甲和沒有來自甲.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】

可通過和來構(gòu)造數(shù)列，得出是等比數(shù)列，在帶入得出首項(xiàng)的值，以此得出數(shù)列解析式?？梢韵劝逊殖蓛刹糠忠来吻蠛??！驹斀狻浚?）因?yàn)椋?，即，則，所以，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，故．設(shè)，則，所以，所以，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造數(shù)列以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和。18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．推導(dǎo)出AB⊥PD，AB⊥CD，從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，連結(jié)OE．推導(dǎo)出PO⊥AB，從而PO⊥平面ABC，由三垂線定理得OE⊥BC，從而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)椋?，所以，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，則，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（1）見解析；（2）面角的余弦值為【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，由已知條件推導(dǎo)出，，從而平面，從而．（2）由已知得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接．∵，∴，∵四邊形是菱形，且，∴是等邊三角形，∴，又，∴平面，又平面，∴（2）由，得，又在等邊三角形中得，，已知，∴，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，∴，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，∴，∴∴又∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定，二面角的有關(guān)計(jì)算20、（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【解析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而得到結(jié)果；（II）（i）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號(hào)，從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到結(jié)果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.【詳解】（I）解：由已知，的定義域?yàn)?，且，因此?dāng)時(shí)，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（II）證明：（i）由（I）知，，令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，所以，從而，又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn)，又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由題意，，即，從而，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得，【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.21、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)。（II）根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對(duì)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！驹斀狻浚↖）∵，，．∴或1、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，．2、當(dāng)，即時(shí)，，f