《線(xiàn)性代數(shù)》課件1.3

第一章矩陣第三節(jié)方陣的行列式一、二、三階行列式二、排列與逆序三、n階行列式的定義四、行列式的性質(zhì)五、行列式按行（列）展開(kāi)六、行列式的計(jì)算七、方陣的行列式§3方陣的行列式一、二階和三階行列式設(shè)有二元線(xiàn)性方程組用加減消元法可得

上式給出了二元線(xiàn)性方程組的公式解．但公式解的表達(dá)式比較復(fù)雜，不便于記憶，引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示這個(gè)結(jié)果．我們稱(chēng)由4個(gè)數(shù)組成的記號(hào)為二階行列式．它含有兩行、兩列．橫的叫行，縱的叫列．行列式中的數(shù)叫作行列式的元素．利用二階行列式記號(hào)，取

二階行列式是這樣兩項(xiàng)的代數(shù)和：一個(gè)是從左上角到右下角的對(duì)角線(xiàn)（主對(duì)角線(xiàn)）上兩個(gè)元素的乘積，取正號(hào)；另一個(gè)是從右上角到左下角的對(duì)角線(xiàn)（副對(duì)角線(xiàn)）上兩個(gè)元素的乘積，取負(fù)號(hào)．

需要注意的是二階方陣和二階行列式是兩個(gè)不同的概念，二階方陣是按確定方式排成的一個(gè)數(shù)表，而二階行列式是按照一定運(yùn)算法則確定的一個(gè)數(shù)．

二階行列式的對(duì)角線(xiàn)法則：例解二元線(xiàn)性方程組解由于因此，二元線(xiàn)性方程組的解為

為了進(jìn)一步討論線(xiàn)性方程組的需要，下面給出三階行列式的概念．

三階行列式對(duì)角線(xiàn)法則：實(shí)線(xiàn)上三元素的乘積取正號(hào)，虛線(xiàn)上三元素的乘積取負(fù)號(hào).例計(jì)算三階行列式解按對(duì)角線(xiàn)法則有實(shí)線(xiàn)上三元素的乘積取正號(hào)，虛線(xiàn)上三元素的乘積取負(fù)號(hào).例解方程解方程左端的三階行列式二、排列與逆序

例如，312是一個(gè)3級(jí)排列，3214是一個(gè)4級(jí)排列，而25134是一個(gè)5級(jí)排列．三、n階行列式的定義三階行列式的特征分析

三階行列式具有如下規(guī)律：

(1)三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和；(2)三階行列式中的每一項(xiàng)是三個(gè)元素的乘積，它們是取自不同的行和不同的列；(3)每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排列時(shí)，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號(hào)，為奇排列，則取負(fù)號(hào)．三階行列式可表示為

按此結(jié)構(gòu)規(guī)律可將三階行列式概念的推廣到n階行列式．

需要注意的是n階方陣和n階行列式是兩個(gè)不同的概念，n階方陣是按確定方式排成的一個(gè)數(shù)表，而n階行列式是按照一定運(yùn)算法則確定的一個(gè)數(shù)．例

計(jì)算上三角形行列式上三角形行列式下三角形行列式對(duì)角形行列式

結(jié)論：上(下)三角形行列式及對(duì)角形行列式的值，均等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積．解所以四、行列式的性質(zhì)

推論

如果行列式某兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零．

性質(zhì)３

行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．即例計(jì)算行列式解利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角形行列式例試證明：

證把行列式的第２、３列同時(shí)加到第４列上去，則得例計(jì)算行列式五、行列式按行（列）展開(kāi)對(duì)于三階行列式，有

三階行列式可以展開(kāi)成二階行列式的形式.

為了表述這種展開(kāi)形式下面引入余子式和代數(shù)余子式的概念.由代數(shù)余子式，三階行列式可表述為

這種表述不但對(duì)行列式的第一行成立，對(duì)于行列式的任意行（列）而言均有類(lèi)似結(jié)論.余子式為代數(shù)余子式為

結(jié)論：任何行列式均可展開(kāi)成某行（列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即有為了證明行列式展開(kāi)定理，我們先證明一個(gè)引理.對(duì)于一般情況證設(shè)由行列式性質(zhì)4及引理，可得同理可證列的情形同理可以證明.定理１及其推論可以合并表述為：定理１推論

拉普拉斯（Laplace,1749—1827）法國(guó)著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，拉普拉斯是分析概率論的創(chuàng)始人，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。拉普拉斯在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有突出的貢獻(xiàn)，行列式展開(kāi)定理就是拉普拉斯提出的。

利用展開(kāi)定理計(jì)算行列式的步驟：（1）選擇某一元素簡(jiǎn)單的行（列），利用行列式性質(zhì)，將選擇的行（列）化簡(jiǎn)為僅有一個(gè)非零元素元素的行（列）；（2）再由定理1按該行（列）展開(kāi)，將行列式變?yōu)榈鸵浑A行列式；（3）如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階行列式，以此簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算．例計(jì)算行列式解選擇第２列保留一個(gè)非零元素其余元素化為零例證明證將等式左端的行列式按第1行展開(kāi)，得六、行列式計(jì)算1.三角化方法

三角化方法是利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式，利用三角形行列式結(jié)果來(lái)進(jìn)行行列式計(jì)算的方法．例計(jì)算行列式例計(jì)算行列式解將行列式化為三角形行列式

從第2行起，把每一行均加到第1行上.每一列各減去第1列將行列式化為下三角行列式計(jì)算三角行列式2.降階展開(kāi)法

降階展開(kāi)法是利用行列式的性質(zhì)將某幾行或某幾列盡可能多的元素變?yōu)榱?，然后按行（列）展開(kāi)，將行列式化為較低階行列式進(jìn)行計(jì)算的方法．例計(jì)算行列式解將行列式按第１列展開(kāi)例計(jì)算行列式

3.遞推法遞推法是將行列式從高階向低階變形，找出遞推公式，利用遞推公式將行列式降階