導(dǎo)數(shù)的基本公式及運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的基本公式及運(yùn)算法則第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理2.1

設(shè)函數(shù)

u(x)、v(x)在x處可導(dǎo)，在x

處也可導(dǎo)，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+

u(x)v(x);2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且則它們的和、差、積與商第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一推論

1

(cu(x))

=cu(x)(c為常數(shù)).推論

2乘法法則的推廣：第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充例題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解根據(jù)推論1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4

-ex+5cosx-1)=(3x4)

-(ex)+(5cosx)

-(1)=12x3

-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，

例

1設(shè)f(x)=3x4–ex

+5cosx-1，求f(x)及f(0).

第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例

2設(shè)y=xlnx

，求y.解根據(jù)乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解根據(jù)除法公式，有例

3設(shè)求y.第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一教材P32例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：

第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.2.3高階導(dǎo)數(shù)如果可以對(duì)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)再求導(dǎo)，所得到的一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y或如對(duì)二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或

四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為y(4)，y(5)，·

·

·，y(n)或·

·

·

，

而把f(x)

稱為f(x)的一階導(dǎo)數(shù).第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解：二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

推論

設(shè)

y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

y=f[((x))]也可導(dǎo)，第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一以上法則說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.

任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).求導(dǎo)方法小結(jié)：第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一*2.2.7

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法求對(duì)自變量(或)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只須將另一自變量(或)看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.例1設(shè)函數(shù)求解：

第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2設(shè)函數(shù)解：類似可得第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一*2.2.8二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一般說(shuō)來(lái)仍然是x,y

的函數(shù)，

如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于

x,y

的偏導(dǎo)數(shù)也存在，

則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序，二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：（用符號(hào)表示如下）第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中及稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類似的，可以定義三階、四階、…

、n

階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).注：當(dāng)兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，它們是相等的即