工程電磁場第一章

工程電磁場第一章第1頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.0序靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。本章要求

深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的各種計算方法。Introduction下頁上頁返回第2頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結(jié)構(gòu)E

的旋度下頁上頁返回第3頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.1.1庫侖定律(Coulomb’sLow)ElectricFieldIntensityandElectricPotentialN(牛頓)適用條件：庫侖定律1.1電場強度和電位圖1.1.1兩點電荷間的作用力點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)F/m下頁上頁返回第4頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.1.2電場強度(ElectricIntensity)V/m(N/C)

定義：電場強度E等于單位正電荷所受的電場力F（a）單個點電荷產(chǎn)生的電場強度V/m圖1.1.2點電荷的電場一般表達式為下頁上頁返回第5頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一

（b)

n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加原理)（c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度圖1.1.4體電荷的電場圖1.1.3矢量疊加原理元電荷產(chǎn)生的電場，，下頁上頁返回第6頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一線電荷分布體電荷分布面電荷分布下頁上頁返回第7頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解:軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系。

例1.1.1真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為,試求P

點的電場。下頁上頁返回圖1.1.5帶電長直導(dǎo)線的電場xx第8頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場平行平面場。0下頁上頁返回第9頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一矢量積分與標(biāo)量積分；

點電荷是電荷體分布的極限情況，可以把它看成是一個體積很小，電荷密度為，總電量不變的帶電小球體。基本概念平行平面場與軸對稱場；點電荷的相對概念和數(shù)學(xué)模型下頁上頁返回第10頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一矢量恒等式故靜電場是無旋場1.靜電場的旋度1.1.3旋度和環(huán)路定律(CurlandCircuitalLaw)點電荷電場取旋度0下頁上頁返回第11頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.靜電場的環(huán)路定律電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場，是無旋場。由Stokes’定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量說明即下頁上頁返回第12頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.1.4電位函數(shù)(ElectricPotential)負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標(biāo)系中1.

E與的微分關(guān)系矢量恒等式由根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點()()??下頁上頁返回所以第13頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.已知電荷求電位點電荷群連續(xù)分布電荷以點電荷為例式中相應(yīng)的積分原域下頁上頁返回第14頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一3.與E的積分關(guān)系圖1.1.6E與的積分關(guān)系線積分式中設(shè)P0為電位參考點，即，則P點電位為所以下頁上頁返回第15頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一4.電位參考點例如：點電荷產(chǎn)生的電位：點電荷所在處不能作為參考點場中任意兩點之間的電位差與參考點無關(guān)。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。下頁上頁返回第16頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點。電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點，

為什么？見參考書《電磁學(xué)專題研究》P591~P597下頁上頁返回第17頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一5)電力線與等位線（面）E

線微分方程直角坐標(biāo)系當(dāng)取不同的C值時，可得到不同的等位線(面)。等位線(面)方程曲線上任一點的切線方向是該點電場強度E

的方向。電位相等的點連成的曲面稱為等位面。1.1.7電力線方程下頁上頁返回第18頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解：在球坐標(biāo)系中所以用二項式展開，又有r>>d，得例1.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線(r>>d)。圖1.1.8電偶極子下頁上頁返回第19頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一電力線方程(球坐標(biāo)系)：等位線方程(球坐標(biāo)系)：將和代入E線方程表示電偶極矩（dipolemoment)，方向由-q指向+q。圖1.1.9電偶極子的等位線和電力線下頁上頁返回第20頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一電力線與等位線（面）的性質(zhì)：圖1.1.10點電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.1.11點電荷與不接地導(dǎo)體的電場E線不能相交,等線不能相交；E線起始于正電荷，終止于負電荷;E線愈密處，場強愈大;E線與等位線（面）正交；下頁上頁返回第21頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一圖1.1.12介質(zhì)球在均勻電場中圖1.1.13導(dǎo)體球在均勻電場中圖1.1.14點電荷位于無限大介質(zhì)上方圖1.1.15點電荷位于無限大導(dǎo)板上方下頁上頁返回第22頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一作散度運算1.2.1真空中的高斯定律(Gauss’sTheoreminVacuum)高斯定律的微分形式1.E的散度說明靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。1.2高斯定律Gauss’sTheorem下頁上頁返回第23頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.E的通量圖1.2.1閉合曲面的電通量圖1.2.2閉合面外的電荷對場的影響散度定理

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。

E的通量等于閉合面S

包圍的凈電荷。下頁上頁返回第24頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.2.2.電介質(zhì)中的高斯定律(Gauss’sTheoreminDielectric)1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)導(dǎo)體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；電場強度垂直于導(dǎo)體表面，電荷分布在導(dǎo)體表面，接地導(dǎo)體都不帶電。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不

變的。（）下頁上頁返回第25頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一無極性分子有極性分子圖1.2.3電介質(zhì)的極化2.靜電場中的電介質(zhì)電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷(polarizedcharge)；極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。下頁上頁返回EE第26頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一極化強度P(polarizationintensity

)表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中—電介質(zhì)的極化率

各向同性媒質(zhì)媒質(zhì)特性不隨電場的方向改變,反之，稱為各向異性媒質(zhì)；

線性媒質(zhì)媒質(zhì)參數(shù)不隨電場的值而變化，反之，稱為非線性媒質(zhì)；

均勻媒質(zhì)媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)而變化，反之，稱為非均勻媒質(zhì)。下頁上頁返回第27頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一極化強度P

是電偶極矩體密度，單個電偶極子產(chǎn)生的電位體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位3.極化強度與極化電荷的關(guān)系圖1.2.4電偶極子產(chǎn)生的電位下頁上頁返回第28頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一矢量恒等式：下頁上頁返回圖1.2.5體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位第29頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一令極化電荷體密度極化電荷面密度下頁上頁返回第30頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一思考根據(jù)電荷守恒定律，極化電荷的總和為零電介質(zhì)均勻極化時，極化電荷體密度有電介質(zhì)時，場量為下頁上頁返回第31頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一4.電介質(zhì)中的高斯定律定義—電位移矢量（displacementvector）所以高斯定律的微分形式取體積分有高斯定律的積分形式下頁上頁返回第32頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一在各向同性介質(zhì)中—介電常數(shù)F/m其中—相對介電常數(shù)，無量綱量。構(gòu)成方程下頁上頁返回第33頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.2.1平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D、E和P線分布。圖1.2.6D、E與P

三者之間的關(guān)系D線E線P線思考D線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷；E線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷；P線由負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。電介質(zhì)內(nèi)部的電場強度是否減少了？下頁上頁返回第34頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.2.2若點電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)外，問（1)穿過閉合面（金屬球殼）的D通量是多少？（2)閉合面上的D與－q有關(guān)嗎？（3)若在金屬球殼外放置電介質(zhì)，重問1)，閉合面上的D

與電介質(zhì)有關(guān)嗎？下頁上頁返回圖1.2.7點電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外第35頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一計算技巧：a）分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使

中的D可作為常數(shù)提出積分號外。

高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性的場才有解析解。5.高斯定律的應(yīng)用下頁上頁返回第36頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.2.3試求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解:分析場分布,取圓柱坐標(biāo)系由得下頁上頁返回圖1.2.8無限長均勻帶電體第37頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一球殼內(nèi)的電場球殼外的電場例1.2.4哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？下頁上頁返回圖1.2.10±q分別在金屬球內(nèi)外圖1.2.9q在金屬球殼內(nèi)第38頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.3基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition靜電場的基本方程為微分形式積分形式構(gòu)成方程下頁上頁返回第39頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一矢量A

可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度判斷該場是否靜電場?例1.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？解:根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),思考下頁上頁返回第40頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一包圍點P作高斯面()。1.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.D的銜接條件則有根據(jù)圖1.3.1介質(zhì)分界面D的法向分量不連續(xù)當(dāng)時，

D的法向分量連續(xù)。下頁上頁返回第41頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.E的銜接條件圍繞點P作一矩形回路()。

E的切向分量連續(xù)。根據(jù)則有3.折射定理當(dāng)交界面上時，折射定律下頁上頁返回圖1.3.2介質(zhì)分界面第42頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一4、的銜接條件設(shè)P1與P2位于分界面兩側(cè)，

因此電位連續(xù)得電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)由，其中圖1.3.3電位的銜接條件下頁上頁返回第43頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一說明

（1）導(dǎo)體表面是等位面，E線與導(dǎo)體表面垂直；圖1.3.4導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面例1.3.2試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。

解:分界面銜接條件導(dǎo)體中E＝0，分解面介質(zhì)側(cè)（2）導(dǎo)體表面上任一點的D等于該點的。下頁上頁返回第44頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解：忽略邊緣效應(yīng)圖(a)圖(b)例1.3.3試求兩個平行板電容器的電場強度。下頁上頁返回圖1.3.5平行板電容器第45頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.4邊值問題、惟一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)泊松方程—拉普拉斯算子BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem拉普拉斯方程當(dāng)r=0時下頁上頁返回第46頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.4.2邊值問題（BoundaryProblem)邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件(待講）分界面銜接條件強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值泊松方程拉普拉斯方程下頁上頁返回第47頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上導(dǎo)體的電位已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線)下頁上頁返回第48頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計算法實驗法解析法數(shù)值法實測法模擬法邊值問題下頁上頁返回第49頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.4.2試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區(qū)域）下頁上頁返回圖1.4.1纜心為正方形的同軸電纜第50頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一通解例1.4.3試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。解：采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程邊界條件參考電位下頁上頁返回圖1.4.2體電荷分布的球體第51頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一電場強度（球坐標(biāo)梯度公式）：得到圖1.4.3隨r變化曲線下頁上頁返回第52頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一答案:（C）1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)例1.4.4圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？惟一性定理

：

在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。下頁上頁返回圖1.4.4平板電容器外加電源U0第53頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.5分離變量法分離變量法采用正交坐標(biāo)系，將變量分離后得到微分方程的通解，當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。1.5.1解題的一般步驟：SeparationVariableMethod分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加得到通解；寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。下頁上頁返回第54頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.5.1試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。解:

邊值問題1.5.2應(yīng)用實例1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）（D域內(nèi)）下頁上頁返回圖1.5.1接地金屬槽的截面y第55頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一分離變量設(shè)-分離常數(shù),代入微分方程，下頁上頁返回第56頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一代入邊界條件，確定積分常數(shù)

通解沿x方向作正弦變化，下頁上頁返回圖1.5.2雙曲函數(shù)第57頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一比較系數(shù)當(dāng)時，當(dāng)時，下頁上頁返回第58頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一若金屬槽蓋電位，再求槽內(nèi)電位分布通解等式兩端同乘以，然后從積分左式當(dāng)

時，下頁上頁返回第59頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一右式＝代入式（1）代入通解n＝奇數(shù)下頁上頁返回圖1.5.3接地金屬槽內(nèi)的等位線分布第60頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一

解：取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題根據(jù)對稱性例1.5.2垂直于均勻電場E放置一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，試求圓柱內(nèi)外和E

的分布。下頁上頁返回圖1.5.4均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒第61頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)時，當(dāng)時，代入微分方程分離變量,設(shè)通解取n2=常數(shù)，令下頁上頁返回第62頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)，比較系數(shù)得到當(dāng)時，根據(jù)利用給定邊界條件確定積分常數(shù)當(dāng)時，通解根據(jù)得到下頁上頁返回第63頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一比較系數(shù)當(dāng)n=1時，當(dāng)時，An=Bn=0，則最終解由分界面的銜接條件，得下頁上頁返回第64頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一圖1.5.5均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場介質(zhì)柱內(nèi)電場均勻，并與外加電場E0

平行，且E2<E1

。下頁上頁返回第65頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.6有限差分法1.6.1二維泊松方程的差分格式

(DifferenceFormof2DPoisson’sEquation)（1）二維靜電場邊值問題FiniteDifferenceMethod

基本思想：將場域離散為許多網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的微分方程問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上的代數(shù)方程組的問題。（2）下頁上頁返回1.6.1有限差分的網(wǎng)格分割第66頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一令h=x-x0，將x=x1和x3分別代入式(3)（4）（5）（3）由式（4）+（5）（6）（7）同理,沿x方向在x0處的泰勒公式展開為下頁上頁返回第67頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一將式(6)、式(7)代入式(1)，得到當(dāng)場域中即即若場域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為1.6.2矩形網(wǎng)格剖分五點差分格式下頁上頁返回第68頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.6.2邊界條件離散化（DiscreteBoundaryCondition)第二類邊界條件第一類邊界條件

分界面銜接條件對稱邊界條件

其中圖1.6.5介質(zhì)分界面下頁上頁返回圖1.6.3對稱邊界圖1.6.4對稱分界第69頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.6.3差分方程組的求解方法(SolutionMethod)1、高斯—賽德爾迭代法式中：迭代過程直到節(jié)點電位滿足為止。2、超松弛迭代法式中：a

—加速收斂因子（1<a<2）下頁上頁返回圖1.6.5網(wǎng)格編號第70頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一收斂速度與a有明顯關(guān)系：

收斂因子（a）1.01.71.81.831.851.871.92.0迭代次數(shù)（N）>1000269174143122133171發(fā)散最佳收斂因子的經(jīng)驗公式（不唯一）（正方形場域、正方形網(wǎng)格）（矩形場域、正方形網(wǎng)格）收斂速度與電位初始值及網(wǎng)格剖分粗細有關(guān)；迭代次數(shù)與工程精度有關(guān)。下頁上頁返回第71頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一邊界節(jié)點賦已知電位值賦節(jié)點電位初始值累計迭代次數(shù)N=0N=N+1按超松弛法進行一次迭代，求打印NY程序框圖下頁上頁返回第72頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一上機作業(yè)要求：1.試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。給定邊值：如圖示；已知：計算：迭代次數(shù)N=?,分布。給定初值：誤差范圍：下頁上頁返回圖1.6.6接地金屬槽的網(wǎng)格剖分第73頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一給定邊值：如圖示；已知：2.按對稱場差分格式求解電位的分布計算：1)迭代次數(shù)N=?,分布；給定初值：誤差范圍：2)按電位差畫出槽中等位線。下頁上頁返回圖1.6.7接地金屬槽內(nèi)半場域的網(wǎng)格剖分第74頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一3.選做題已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為圖1.6.8無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面要求用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔

中長直矩形導(dǎo)體周圍的電位分布;畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍等位線分布;下頁上頁返回第75頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.7鏡像法與電軸法1.7.1鏡像法（ImageMethod)1.平面導(dǎo)體的鏡像圖1.7.1平面導(dǎo)體的鏡像

ImageMethodandElectricAxisMethod方程相同，邊界條件相同，解惟一。下頁上頁返回空氣中除點電荷外，a上半場域除點電荷外b第76頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一地面上感應(yīng)電荷的總量為（方向指向地面）例1.7.1試求空氣中點電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布。解：設(shè)點電荷q

鏡像后圖1.7.2地面電荷分布下頁上頁返回第77頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.球面導(dǎo)體的鏡像點電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問題（除q點外的空間)設(shè)鏡像電荷如圖，球面電位下頁上頁返回圖1.7.3點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像第78頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一將r1,r2代入方程，得聯(lián)立求解得到鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁返回第79頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一球外任一點P的電位與電場為圖1.7.5球外的電場分布鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場域外。鏡像電荷等于負的感應(yīng)電荷總量。圖1.7.4球外的電場計算下頁上頁返回第80頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.7.2不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。則任一點場強解：邊值問題（除q點外的空間)通量為零（大小相等）球面等位（位于球心）思路圖1.7.6不接地金屬球的鏡像下頁上頁返回第81頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一

用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置。圖1.7.7點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖任一點電位球面電位思考下頁上頁返回圖1.7.8點電荷對導(dǎo)體球面的鏡像第82頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一3.不同介質(zhì)分界面的鏡像根據(jù)惟一性定理圖1.7.9點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和解得下頁上頁返回第83頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一圖1.7.10電場分布圖試確定下圖鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。思考題：中的電場由q與q’共同產(chǎn)生，q’等效替代極化電荷的影響。

中的電場由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。圖1.7.11點電荷q1

與q2

分別置于與區(qū)域中思考下頁上頁返回提示第84頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.7.2電軸法（ElectricAxisMethod）(導(dǎo)線以外的空間)能否用高斯定律求解？思考邊值問題下頁上頁返回1.7.12長直平行雙傳輸線第85頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.兩根細導(dǎo)線產(chǎn)生的電位以y軸為參考電位，C=0，則令：C，等位線方程圖1.7.13兩根帶電細導(dǎo)線下頁上頁返回第86頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一K取不同值時，得到一族偏心圓。a、h、b滿足關(guān)系整理后，等位線方程圓心坐標(biāo)圓半徑圖1.7.14兩根細導(dǎo)線的等位線下頁上頁返回第87頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)，得到Ex和Ey分量圖1.7.15兩細導(dǎo)線的場圖E

線方程思考若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，

是否會影響電場分布？若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。下頁上頁返回第88頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.電軸法(以y軸為參考電位)例1.7.3試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。b)圓柱導(dǎo)線間的電場與電位解：a)取圓柱坐標(biāo)系電軸位置下頁上頁返回圖1.7.16平行傳輸線電場的計算第89頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.7.4試決定圖示不同半徑平行長直導(dǎo)線的電軸位置。圖1.7.17不同半徑傳輸線的電軸位置解：下頁上頁返回第90頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1）參考電位的位置；2）有效區(qū)域。解：確定例1.7.5試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：圖1.7.18偏心電纜電軸位置下頁上頁返回第91頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.7.6已知平行傳輸線之間電壓為U0,試求電位分布。解：

確定電軸的位置所以設(shè)電軸線電荷，任一點電位下頁上頁返回圖1.7.19電壓為U0的傳輸線

第92頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一鏡像法（電軸法）小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是：鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是：鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。

用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：下頁上頁返回第93頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.8.1電容器的電容（CapacitanceofCapacitor)CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容及部分電容定義：單位：電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容的計算思路：設(shè)下頁上頁返回第94頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時（孤立導(dǎo)體球的電容）

例1.8.1試求同心球殼電容器的電容。下頁上頁返回圖1.8.1同心球殼電容器第95頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.8.2部分（分布）電容（DistributedCapacitance)1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)圖1.8.2三導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng)靜電獨立系統(tǒng)部分電容基本概念下頁上頁返回第96頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)體的電位與電荷的關(guān)系為下頁上頁返回第97頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)體i電位的貢獻；

ai

i

—自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷對

a—電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻；

ai

j—互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j上的電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻；下頁上頁返回矩陣形式第98頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)b—靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻；bii—自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體i電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻；bij—互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻。矩陣形式：下頁上頁返回第99頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容矩陣形式部分電容的性質(zhì)靜電獨立系統(tǒng)中n＋1個導(dǎo)體有個部分電容Ci

j均為正值，下頁上頁返回第100頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力

線相連；

部分電容可將場的概念與電路結(jié)合起來。下頁上頁返回圖1.8.3部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)第101頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一

例1.8.2試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知d>>a,且a<<h。解：部分電容個數(shù)由對稱性，得(1)圖1.8.4兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)下頁上頁返回第102頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一電容與帶電量無關(guān)，故則利用鏡像法，兩導(dǎo)體的電位代入式（2），得(2)下頁上頁返回圖1.8.5兩線輸電線對大地的鏡像第103頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一聯(lián)立解得兩線間的等效電容：下頁上頁返回第104頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.6靜電屏蔽

三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為：

4.靜電屏蔽當(dāng)時，說明1號與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。下頁上頁返回第105頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.9靜電能量與力1.9.1靜電能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce1.用場源表示靜電能量q3從移到c點，所需能量q2從移到b點，需克服q1的電場力做功，q1從移到a點不受力，所需能量W1=0，下頁上頁返回圖1.9.1點電荷的能量第106頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一總能量推廣1：若有n個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為單位：J（焦耳）推廣2：若是連續(xù)分布的電荷，下頁上頁返回第107頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一2.用場量表示靜電能量矢量恒等式能量密度因當(dāng)時，面積分為零，故能量下頁上頁返回第108頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.9.1試求真空中體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。解法一

由場量求靜電能量下頁上頁返回第109頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解法二

由場源求靜電能量球內(nèi)任一點的電位代入式（1）(1)下頁上頁返回第110頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一

例1.9.2原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。解：例1.9.1中當(dāng)時下頁上頁返回圖1.9.2原子結(jié)構(gòu)模型第111頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一1.9.2靜電力(ElectrostaticForce)1.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)功=廣義力×廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm廣義力f：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。廣義坐標(biāo)g：距離、面積、體積、角度。下頁上頁返回力的方向：f的正方向為g增加的方向。第112頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一（1）常電荷系統(tǒng)（K斷開）表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,其功能關(guān)系為外源提供能量=

靜電能量增量+電場力所作功即圖1.9.3多導(dǎo)體系統(tǒng)(K斷開)下頁上頁返回第113頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一外源提供能量的增量

說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。（2）常電位系統(tǒng)（K閉合）廣義力是代數(shù)量，根據(jù)f的“±”號判斷力的方向。圖1.9.4多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)下頁上頁返回第114頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解法一：常電位系統(tǒng)例1.9.3試求圖示平行板電容器極板的電場力。圖1.9.5平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對位置坐標(biāo)）負號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回第115頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一解法二：常電荷系統(tǒng)負號表示電場力企圖使d

減小，即電容增大。下頁上頁返回第116頁，共138頁，2023年，2月20日，星期一例1.9.4圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a

，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電