定積分概念與性質(zhì)

定積分概念與性質(zhì)第1頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一0定積分概念與性質(zhì)第2頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分割第3頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一取近似第4頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求和取極限2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程第5頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）分割

第6頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）取近似第7頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一共同特性分割，取近似，求和，取極限(3)求和（4）取極限第8頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.定積分的定義1.定義第9頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第10頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第11頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一曲邊梯形的面積變速運(yùn)動(dòng)的路程定理1.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上可積.注(1)定積分是一個(gè)數(shù)值與被積函數(shù)有關(guān)。(2)定積分的值與區(qū)間的分法無(wú)關(guān),2.定積分存在的充分條件(3)定積分的值只與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，與的取法無(wú)關(guān)第12頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.定積分的幾何意義第13頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1利用定積分的定義計(jì)算第14頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第15頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三.定積分的性質(zhì)第16頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于c在區(qū)間[a,b]之內(nèi)或之外,結(jié)論同樣成立第17頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第18頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一幾何解釋：在[a,b]上至少存在一點(diǎn),使曲邊梯形的面積等于以為高的一個(gè)矩形面積第19頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定積分與原函數(shù)的關(guān)系一.變上限的定積分及其導(dǎo)數(shù)第21頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第22頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第23頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理表明:(1)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(2)把定積分與原函數(shù)之間建立起聯(lián)系二.牛頓-----萊布尼茲公式第24頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第25頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第26頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)定積分的換元積分法與分布積分法一.定積分的換元積分法注意:換元的同時(shí)一定要換限第27頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第28頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第29頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第30頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第31頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第32頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第33頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第35頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第36頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.定積分的分布積分法第37頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第38頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第39頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第40頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第41頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定積分應(yīng)用定積分的微元分析法用定積分表示的量U必須具備三個(gè)特征:一.能用定積分表示的量所必須具備的特征(3)部分量的近似值可表示為二.微元分析法則U相應(yīng)地分成許多部分量;用定積分表示量U的基本步驟:(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.即如果把區(qū)[a,b]分成許多部分區(qū)間,第42頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)問(wèn)題的具體情況,選取一個(gè)變量(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間,求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量的近似值.在處的值與的乘積,就把稱為量U的微元且記作,即如果能近似地表示為[a,b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];第43頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)以所求量U的微元為被積表達(dá)式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得平面圖形的面積一直角坐標(biāo)情形1.曲邊梯形當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí),由曲線y=f(x)和x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積就是第44頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù),且則介于兩條曲線第45頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意:根據(jù)具體的圖形特點(diǎn),也可以選擇作為積分變量或者利用圖形的對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算.例1求橢圓的面積(如圖).解由對(duì)稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為第46頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則例2求由所圍圖形面積.解兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,1].由前面討論可知:(1,1)oyx第47頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求由所圍圖形面積.解兩曲線的交點(diǎn)為(2,-2)及(8,4).根據(jù)此圖形特點(diǎn),可以選擇y作為積分變量,其變化區(qū)間為[-2,4].yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得圖形面積第48頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.極坐標(biāo)情形1.曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.相應(yīng)于[,+d]的面積微元為則圖形面積為or=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線=,=所圍成.取為積分變量,其變化區(qū)間為[,],第49頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.一般圖形及射線=,=所圍圖形的面積微元為則面積為o相應(yīng)于從0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積.解如圖,可視為=0,=2及r=a圍成的曲邊扇形.則其面積為o由曲線例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上第50頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一NoM例5求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解如圖,曲線交點(diǎn)為由對(duì)稱性則而第51頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三.參數(shù)方程情形當(dāng)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方x=(t),y=(t),且()=a,()=b,在[,]上(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),(t)連續(xù),則曲邊梯形面積面積為在例1中,若采用橢圓的參數(shù)方程則第52頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一立體的體積一.平行截面面積已知的立體體積點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積.如圖,體積微元為dV=A(x)dx,則體積為例1如圖,從圓柱體上截下一塊楔形體,abx求其體積.取x為積分變量,其變化范圍為[a,b].設(shè)立體介于x=a,x=b之間,A(x)表示過(guò)第53頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則邊長(zhǎng)分別為y和ytan.因此如圖,過(guò)x的截面是直角三角形,解-RRyxoxy第54頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xyoRh高為h的正劈錐體的體積.底邊長(zhǎng)為2y,高為h.因此則過(guò)x的截面是等腰三角形,解如圖,例2求以圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,第55頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一稱為旋轉(zhuǎn)體.則如前所述,可求得截面面積二.旋轉(zhuǎn)體的體積則平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設(shè)旋轉(zhuǎn)體由圖1的曲邊梯形繞x軸形成.yxaby=f(x)ox圖1第56頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理,如旋轉(zhuǎn)體由圖2的曲邊梯形繞y軸形成.ycoxdx=(y)例3求如圖直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積.解可求得過(guò)點(diǎn)O及P(h,r)的直線方程為由公式得yoxP(h,r)則體積為圖2圖3第57頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積解由對(duì)稱性及公式aaxy第58頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)的圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積.yxoba解圓的方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.分別與直線y=-a,y=a及y軸所圍成的則第59頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例證明：由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為柱殼法——就是把旋轉(zhuǎn)體看成是以y軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的，即為圓柱薄殼當(dāng)dx很小時(shí)，此小柱體的高看作f（x），以此柱殼的體積作為體積元素，第60頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在區(qū)間上柱殼體的體積元素為平面曲線的弧長(zhǎng)光滑曲線可應(yīng)用定積分求弧長(zhǎng).若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則稱曲線y=f(x)為區(qū)間[a,b]上的光滑曲線,第61頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一.直角坐標(biāo)情形設(shè)光滑曲線方程:可用相應(yīng)的切線段近似代替.即則弧長(zhǎng)微元(弧微分)故弧長(zhǎng)為oyxdyabdxy=f(x)取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].[a,b]內(nèi)任意小區(qū)間[x,x+dx]的一段弧長(zhǎng)第62頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求曲線相應(yīng)于x從a到b的一段弧長(zhǎng).解第63頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2求的全弧長(zhǎng).解y=y(x)的定義域?yàn)?故弧長(zhǎng)為:二.參數(shù)方程情形設(shè)光滑曲線方程:弧長(zhǎng)微元?jiǎng)t如前所述,第64頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求星形線的弧長(zhǎng).解由對(duì)稱性及公式第65頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上相應(yīng)于從0到2的一段弧長(zhǎng).解三.極坐標(biāo)情形設(shè)曲線方程:r=r()().化為參數(shù)方程:則第66頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定積分的物理應(yīng)用一.變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動(dòng)s距離,.由x=a移到x=b,可用微元法解決做功問(wèn)題.dW=F(x)dx則F(x)abxx+dx則W=Fs若物體在變力F(x)作用下沿力的方向取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].相應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]的功的微元第67頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長(zhǎng)1厘米,解從而由公式(焦耳)例2形如圓錐臺(tái)的水桶內(nèi)盛滿了水(如圖),解設(shè)想將水分成許多薄層,問(wèn)將全部水吸出需作多少功?(水比重為9800牛頓/立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸長(zhǎng)10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時(shí),已知F=kx,F=980x.吸出各層水所作的功的總和即為所求.第68頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一取x為積分變量,變化區(qū)間為則例3一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出這層水的位移近似于x.的薄層水近似于圓柱,[0,2].相應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]繩子系著,將它從20m深的井里提上來(lái)需作多少功?第69頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解將水桶從井里提上來(lái)所作的功為將繩子從井里提上來(lái)所作的功,則所作的總功為xo20xx+dx即變力沿直線作的功為第70頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.靜液壓力設(shè)有一面積為A的平板,水平放置在液體下深度h處,則平板一側(cè)所受壓力為N=hA.(為液體比重)則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決.取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x處水平放置的長(zhǎng)方形窄條所受的壓力.相應(yīng)于[x,x+dx]的窄條所受到的壓力如果平板垂直放置在液體下,以如圖曲邊梯形為例:第71頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則壓力微元為dN=xydx=xf(x)dx因此整個(gè)平板所受壓力為例4一個(gè)橫放的半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油(比重)