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文檔簡介
大數(shù)定理及中心極限定理第1頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望與方差
數(shù)學期望又稱期望或均值,是隨機變量所有可能取值的平均水平,代表隨機變量分布的集中趨勢,一般用E(X)或μ表示。
數(shù)學期望有如下性質:
1)若C為常數(shù),則有E(C)=C;2)若X是一個隨機變量,C為常數(shù),則有E(CX)=CE(X);3)若X、Y是兩個任意隨機變量,則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)4)若X、Y是兩個獨立的隨機變量,則有E(XY)=E(X)E(Y)第2頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量方差是每一個隨機變量可能取值與期望值的離差的平方的期望值,是用來反映隨機變量取值的離散程度,一般用D(x)或σ2表示 ,即
D(X)=σ2=E[X-E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2
標準差σ=D(X)
方差基本性質:
1)若C為常數(shù),則有D(C)=0;
2)若X是一個隨機變量,C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X)
D(X+C)=D(X)
3)若X、Y是兩個相互獨立的隨機變量,則有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)第3頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的期望及方差
若隨即變量為有限個值:x1,x2,…,xn,其對應的概率分別是p1,p2,…,pn,其中,pi>0,=1,則數(shù)學期望為
E(X)=μ=X1P1+X2P2+…+XnPn=若隨即變量為有限個值:x1,x2,…,xn,…,其對應的概率分別是p1,p2,…,pn,其中,pi>0,=1,則數(shù)學期望為第4頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的期望及方差
E(X)=μ=X1P1+X2P2+…+XnPn=
設X是一個隨機變量,若E[X-E(X)]2存在,則它是X的方差,記為D(X)或σ2
即
D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2
第5頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征兩點分布的數(shù)字特征
若隨即變量X~B(1,p)則
E(X)=pD(X)=pq(q=1-p)二項分布的數(shù)字特征
若隨機變量X~B(n,p)則
E(X)=npD(X)=npq(q=1-p)幾何分布的數(shù)字特征若隨即變量X~G(p)則
E(x)=1/pD(X)=q/p2(q=1-p)第6頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征泊松分布的數(shù)字特征若隨即變量X~P(λ)則
E(X)=λD(X)=λ超幾何分布的數(shù)字特征若隨即變量X~H(λ)則
E(X)=D(X)=NnMN2(N-1)n(N-n)(N-M)M第7頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望和方差
對于隨機變量X,如果它的密度函數(shù)為非負函數(shù)f(x),若積分絕對收斂,則
E(x)=D(X)=第8頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征均勻分布的數(shù)字特征
均勻分布的隨機變量X的分布密度函數(shù)為
f(x)=
那么數(shù)學期望E(x)=方差為0b-a1a≤x≤bx<a或x>b=第9頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征指數(shù)分布的數(shù)字特征指數(shù)分布的隨機變量X的分布密度函數(shù)為
f(x)=
則有數(shù)學期望
E(x)=
方差為0x<0第10頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一一、隨機變量的數(shù)字特征正態(tài)分布數(shù)字特征正態(tài)分布的隨機變量X的分布密度函數(shù)為E(X)=D(X)=σ2第11頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理大數(shù)定理
定理1
(貝努利大數(shù)定理)設n次獨立試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)為m,事件A在每次試驗中的發(fā)生的概率為p,則對于任意正數(shù)ε,有:定理2(切比雪夫大數(shù)定理)設隨機變量X1,X2,…相互獨立,且服從同一分布,它們的數(shù)學期望E(Xk)=μ,方差D(X)=σ2,(K=1,2,3,…)則對任意正數(shù)ε,有:第12頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理中心極限定理
設X1,X2,…Xn是具有相同分布且相互獨立的一列隨機變量,當n時,對任意X有:∞定理表明,當n很大時,隨機變量的分布漸進服從期望和方差分別為nμ和nσ2的正態(tài)分布N(nμ,nσ2)第13頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理上述定理的推論推論表明,當n很大時,隨機變量的分布漸進服從期望和方差分別為μ和σ2/n的正態(tài)分布N(μ,σ2/n)n第14頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一二、大數(shù)定理及中心極限定理例4-20在n重貝努利試驗中,若事件A發(fā)生的概率為p,隨機變量Xk定義如下:
Xk=(k=1,2,3…),若Xk相互獨立,且n較大,求n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)在a到b(0<a<b)之間的概率01在第k次試驗中A不發(fā)生在第k次試驗中A發(fā)生第15頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布樣本函數(shù)與統(tǒng)計量
樣本函數(shù):g=g(x1,x2,…,xn)
統(tǒng)計量:如果g中不含任何參數(shù),則稱g=g(x1,X2,
…,xn)為一統(tǒng)計量。例如,設(x1,x2,…,xn)是取自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本,若μ,σ2已知,則樣本函數(shù)是一個統(tǒng)計量;若μ,σ2有未知的呢?統(tǒng)計量是一個隨機變量,有其自己的概率分布,其概率分布通常稱為抽樣分布x-μσ第16頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布樣本均值的分布
設總體X~N(μ,σ2),(x1,X2,…,xn)是X的一個樣本。由于這些樣本相互獨立,且與總體同分布,可得樣本平均值的抽樣分布仍為正態(tài)分布,其數(shù)學期望和方差分別是
~即第17頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布問題:若X的分布不是正態(tài)分布,則均值例4-21一汽車蓄電池商,聲稱其生產(chǎn)的電池具有均值54個月,標準差為6個月的壽命分布?,F(xiàn)消費者團體決定檢驗該廠的說法是否正確,為此購買了50個該廠生產(chǎn)的電池進行檢驗(1)假定廠商聲稱是正確的,試描述50個電池的平均壽命的抽樣分布(2)假定廠商聲稱是正確的,則50個電池組成的樣本的平均壽命達不到52個月的概率是多少服從什么分布?第18頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布
分布
設x1,x2,…xn是幾個相互獨立同分布的隨機變量,且每一隨機變量xi(i=1,2,…,n)都服從標準正態(tài)分布,即xi~N(0,1),則隨機變量的分布稱為服從自由度為n的分布。記為χ2第19頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布
分布密度函數(shù)為注意:1)自由度n是指變量中所含的獨立隨即變量xi(i=1,2,…,n)的個數(shù)
2)分布中的是伽馬函數(shù),其值等于參數(shù)為n/2的廣義積分0x≥0x<0第20頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布函數(shù)是以α>0為參數(shù)的廣義積分,其定義是:
函數(shù)具有以下性質:
1)對于參數(shù)α有
2)對于任意正整數(shù)n,有
3)!第21頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布分布性質
性質:1)若X~,則均值E(X)=n,方差D(X)
=2n2)若X1,X2相互獨立,且X1~,X2~則(X1+X2
)~n=10n=4n=3n=2n=1第22頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布t分布
設隨機變量X與Y相互獨立,而且X服從標準正態(tài)分布,即X~N(0,1),Y服從自由度為n的,即Y~,則稱隨機變量t=服從自由度為n的t分布,記為t(n)。XN(0,1)
t(10)t(2)
t分布t(n)的數(shù)學期望和方差分別為μ=0,σ2=n/(n-2)第23頁,共27頁,2023年,2月20日,星期一三、統(tǒng)計量及其分布F分布設隨機變量X~,Y~且X與Y相互獨立,則隨機變量F=的分布稱為自由度為(n,m)的F的分布,并記為F~F(n,m)。
F(n,m)分布的數(shù)學期望和方差
μ=m/(m-2)
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