2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：壓軸選擇（第10題）

第1頁/共1頁2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編壓軸選擇（第10題）1．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于）按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑，軟件會在運動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知劉老師共跑了，恰好回到起點，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）名學(xué)生參加某次測試，測試由道題組成．若一道題至少有名學(xué)生未解出來，則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了道題，則該生本次測試成績合格．如果這次測試至少有名學(xué)生成績合格，且測試中至少有道題為難題，那么的最小值為（

）A． B．C． D．3．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001），可得N的值為（

）M23711130.3010.4770.8451.0411.114A．13 B．14 C．15 D．164．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知項數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．175．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱中，，，，，點在棱上，點在棱上，給出下列三個結(jié)論：①三棱錐的體積的最大值為；②的最小值為；③點到直線的距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）已知正方體的棱長為2，點為正方形所在平面內(nèi)一動點，給出下列三個命題：①若點總滿足，則動點的軌跡是一條直線；②若點到直線與到平面的距離相等，則動點的軌跡是拋物線；③若點到直線的距離與到點的距離之和為2，則動點的軌跡是橢圓.其中正確的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，已知正方體，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與三條直線所成的角都相等的直線有且僅有一條B．與三條直線所成的角都相等的平面有且僅有一個C．到三條直線的距離都相等的點恰有兩個D．到三條直線的距離都相等的點有無數(shù)個8．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）已知點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．9．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天

參考答案1．B【分析】利用環(huán)形道的周長與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長的范圍，再結(jié)合跑回原點的長度建立方程，即可求解.【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長為，劉老師總共跑的圈數(shù)為，（），則由題意，所以，所以，因為，所以，又，所以，即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.故選：B2．B【分析】由題意可得學(xué)生人數(shù)和題目數(shù)必須是3的倍數(shù)，可從進(jìn)行討論即可得出的最小值為9.【詳解】根據(jù)題意可知，不妨設(shè)，所以，若求的最小值，只需最小即可；易知當(dāng)時，即；此時即有3名學(xué)生不妨設(shè)為甲、乙、丙；3道題目設(shè)為；根據(jù)題意可得至少有2名學(xué)生成績合格，這兩名學(xué)生至少做出了4道題，可設(shè)甲同學(xué)做出了兩道題，乙同學(xué)做出了兩道題，丙同學(xué)做出了0道題，此時合格的學(xué)生為甲乙，即有名學(xué)生成績合格，三道題目中有兩道題，有名學(xué)生未解出來，即滿足測試中有道題為難題；所以符合題意.故選：B3．C【分析】利用對數(shù)的運算公式計算即可.【詳解】由題意知，的70次方為83位數(shù)，所以，則，即，整理得，根據(jù)表格可得，，所以，即.故選：C.4．B【分析】通過條件，，得到，再利用條件得到，進(jìn)而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.【詳解】由，，得到，即，當(dāng)時，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故選：B5．C【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將翻折到與矩形共面時連接交于點，此時取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】在直三棱柱中平面，對于①：因為點在棱上，所以，又，又，，，點在棱上，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在點、在點時取等號，故①正確；對于②：如圖將翻折到與矩形共面時連接交于點，此時取得最小值，因為，，所以，所以，即的最小值為，故②錯誤；對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，所以，，則點到直線的距離，當(dāng)時，當(dāng)時，，，則，所以當(dāng)取最大值，且時，即當(dāng)在點在點時點到直線的距離的最小值為，故③正確；故選：C6．C【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足的動點的軌跡，從而可判斷①；利用線線關(guān)系將點線距離轉(zhuǎn)化為點點距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動點的軌跡，即可得判斷②③，從而可得答案.【詳解】對于①，如圖在正方體中，連接，在正方體中，因為四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面平面，平面，點總滿足，所以平面，所以，則動點的軌跡是一條直線，故①正確；對于②，平面,平面，則點到直線等于到的距離，又到平面的距離等于到的距離，則到的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線，故②正確；對于③，點到直線的距離等于到的距離，所以到的距離與到點的距離之和為2，即，則點的軌跡為線段，故③不正確.所以正確的命題個數(shù)是2.故選：C.7．D【分析】所成的角都相等的直線有無數(shù)條，A錯誤，成的角相等的平面有無數(shù)個，B錯誤，距離相等的點有無數(shù)個，C錯誤，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：根據(jù)對稱性知與三條直線的夾角相等，則與平行的直線都滿足條件，有無數(shù)條，錯誤；對選項B：根據(jù)對稱性知平面與三條直線所成的角相等，則與平面平行的平面都滿足條件，有無數(shù)個，錯誤；對選項C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，，，上一點，則，，，點到直線的距離為，同理可得到直線和的距離為，故上的點到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，錯誤；對選項D：上的點到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，正確；故選：D8．D【分析】由題可設(shè)，，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，則，設(shè)，，所以，所以，即的最小值為故選：D.【點睛】方法點睛：向量數(shù)量積問題常用方法一是利用基底法，結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解；二是利用坐標(biāo)法，結(jié)合圖形建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積.9．B【