向量共線的分層教學研究 論文

向量共線的分層教學研究摘要：在以往每一年的高考試題中，向量都是必考的知識點，而把向量作為工具使用，解決與其他知識交匯的綜合性問題成為高考的熱門之一。其中把平面向量共線定理作為核心內(nèi)容，考查數(shù)形結(jié)合思想，學生分析問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學直觀想象的核心素養(yǎng)和邏輯推理的核心素養(yǎng)。本文將對向量共線問題進行三個不同層次的分析和研究，目的是讓不同層次的同學都能在這一節(jié)的學習中取得理想的進步。關(guān)鍵詞：向量共線，分層教學，分層評價。一、知識背景根據(jù)向量的數(shù)乘運算，可以發(fā)現(xiàn)向量a與a（a0，是實數(shù))之間的位置關(guān)系一定是共線的關(guān)系。具體地，對于向量與及實數(shù)，（1）如果b

a

(a0)，則向量a，b共線；（2）如果b

與a(a0)是共線向量則b

a成立。由此我們得出如下定理 向量共線定理：對于平面內(nèi)任意的兩個向量a,b(b0),a//b的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使ab。二、在教學中的分層設(shè)計1．定理的直接應(yīng)用定理本身就是描述的共線，所以在實際解題中的應(yīng)用最基本的就是解決與向量共線有關(guān)的基本問題，常見的題型有：（1）判斷兩個向量是否共線。 【例a-1】已知e1，e2是兩個不共線的向量，m＝1＋22，＝41－82，則m與是否共線？n（2）利用向量的共線來研究點共線的問題?！? → 【例a-2】已知兩個非零且不共線的向量e1和e2，如果AB＝21＋32，BC＝61 → ＋232，CD＝41－82，求證：A、B、D三點共線．【（3）利用向量共線定理和平面向量基本定理研究向量的關(guān)系和求參數(shù)的問題。 【例a-3】已知兩個非零且不共線的向量1和2→ →(1)如果AB＝1＋2，BC → → →

＝21＋82，CD＝3(1－2)，求證：AB，BD共線； (2)如果t1＋2和1＋t2共線，求實數(shù)t的值．以上問題主要是定理的直接應(yīng)用，對于所有的學生，通過適當?shù)木毩暥寄芎芎玫恼莆?，對于在試卷中出現(xiàn)的這類基本題型都要做到能快速準確的解答。對于班級中基礎(chǔ)較弱的同學，重點關(guān)注他們對這部分題型的掌握情況。2．定理的推廣及應(yīng)用我們利用向量共線可以解決平面幾何中兩直線平行的問題，同時也可以解決解析幾何和立體幾何中三點共線或平行等問題。平面向量的共線定理在解決具體問題時，為了方便運算，我們還可以把它等價轉(zhuǎn)化為如下形式。推論：假設(shè)點O是直線l外任意一點，點A，B是直線l上不同的兩點，對 uuuruuur直線l上的任意一點P，存在實數(shù)λ，使得OP可以利用基底{OAOB}表示為OP=（1-λ）OA+λOB 反之，若OP=（1-λ）OA+λOB則A，P，B三點共線. 在上述的表達式中如果令x=(1-λ),y=λ,則上述表達還可以進一步描述為如下定理。三點共線定理：同一平面內(nèi)的三點P、A、B共線的充要條件為：對該平面內(nèi)uuuv uv uuuv任意一點的O，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）使得：OP=xOA+yOB且x+=1。當點P在線段AB之外時，當P、A、B三點共線時我們可以從

xy<0OP、OA、OB三個向 特別地：當點P在線段AB上時，x>0,y>0量中任意任意選擇兩個作為基底可以表示另外一個向量，并且兩基底的系數(shù)和等于1。以上結(jié)論主要反映了向量在幾何方面的應(yīng)用，因此經(jīng)常和平面解析幾何，正余弦定理，三角函數(shù)和基本不等式等知識相結(jié)合，題目具有綜合性，有一定的難度和技巧，考查了學生對知識點的綜合應(yīng)用能力。下面通過幾個例題研究三點共線定理在解決具體問題是的應(yīng)用。適合學習成績中等及以上的學生，重點關(guān)注中等生的掌握情況?！纠齜-1】若點P為三角形ABC的邊BC上的任一點，并且滿足，APxAByAC,x.yR，求1x4的最小值。y解：Q點P落在VABC的邊BC上\B，P,C三點共線QuuurAPuuur=xABuuur+yAC\x+=1且x>0,y>0\1+4=(1+4)1′=(1+4)(x+y)y 4x=++x yy 4x+=++x yxyxyxyQx>0,y>0\y>0,4x>0由基本不等式可知：y4x+y32y′4x=4xyxxy當且僅當y=4x等號成立\y2=4x2\y=±2xQx>0,y>0\y=2xQx+=1xy\x 1=3,y=2，符合，因此1x4的最小值是93y點評：本題是考查二元函數(shù)求最值的問題，利用三點共線定理把函數(shù)求最值問題等價轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值的問題，比較綜合的考查了學生對基礎(chǔ)知識的掌握和基本解題方法的應(yīng)用?！纠齜-2】已知如圖在三角形ABC中，N點是邊AC上一點，且AC=3AN，點P為BN上的一點，若uuurAPuuur=mAB 2+11uuurAC，則實數(shù)m的值為（）A．9B.5C.3D.211111111解：QBPN三點共線，又QuuurAP uuur=mAB 2+11uuurACuuur=mAB 2+11′4uuurANuuur=mAB 8+11uuur

AN\m 8+11=1\m 3=11，故選C【例b-3】已知在三角形ABC中，BC邊的中點為O，直線MN過點O分別交直線AB、AC于M、N兩點，若uuurAB＝xAM，AC＝y(tǒng)AN，則x+的值為．解：Q因為O是BC的中點，故連接AO，由向量的線性運算法則可知：) 1 uuurAO=(2ABAC+ ),又QAB＝xAM，AC＝y(tǒng)AN 1

，∴AO=(x2AM+yAN x即AO=2AM+2ANyQMON三點共線，\ x由平面內(nèi)三點共線定理可得：2+y=1∴+=22【例b-4】如圖在三角形OAB中，點G是△OAB的重心，過點G的直線分別交OA、OB于P、Q兩點。設(shè)OPxOA，OQyOB,證明：1x1是定值。y證明：Q因為G是VOAB的重心，\uuurOG2

=′31uuur(OA uuur

+OB) 1=3uuur(OA uuur

+OB)2QuuurOPuuur=xOA\uuurOA=1uuur

OPQuuurOQ=uuuryOB\uuurOB=1uuur

OQxy\uuurOG 1=3uuur(OA uuur

+OB) 11= (3 xuuurOP 1+yuuurOQ)\uuurOG 1=3xuuurOP 1+3yuuur

OQ又QPGQ三點共線，\1 1+3y=1\1 1+y=3\1 1+y為定值33xxx以上例題主要是考查三點共線定理的應(yīng)用，利用三點共線定理得到基向量的系數(shù)和為1這一等式，從而解決問題。題目按照由易到難的順序，讓學生在解題過程中逐步加深對定理的理解，掌握定理的應(yīng)用方式，形成自己的解題思路和方法。3．定理的延伸與拓展在三點共線定理中，若P、A、B三點共線則作為基底的兩向量的系數(shù)和等于1，若三點不共線則作為基底的兩向量系數(shù)和將不等于1，那么此時基底的系數(shù)和應(yīng)該是多少呢？下面我們按照從特殊到一般的推理過程來研究這一結(jié)論，并利用所研究的結(jié)論幫助我們解決更多的問題。（1）等和線定理：平面內(nèi)一組基底及任一向量 , ,若點C在直線AB上或者平行與AB的直線上，也成立。（直線AB以及直線AB平行的直線稱為等和線）且反之①；②當?shù)群途€恰為直線AB時，；

③當?shù)群途€在點O和直線AB之間時，；④當直線AB在點O和等和線之間時，；⑤當?shù)群途€過O點時，。利用等和線定理解題的步驟及說明

①確定等值線值為1的線；

②平移該線,結(jié)合動點所在的區(qū)域,分析何處取得最大值和何處取得最小值；③可以從長度比或點的位置兩個角度,求最大值和最小值；

④在應(yīng)用此定理解決有關(guān)問題時，表示向量的有向線段一定要起點相同。（2）等和線定理的應(yīng)用【例c-1】已知平面向量和的模長都是1，它們的夾角是，如圖所示，點C是以O(shè)為圓心1為半徑的弧AB上的動點。若,其中，則的最大值是思路1.利用|uuur

OC=|1,得x2+y2=xy+1，基本不等式求得（條件不符：x、y若為負數(shù)則不能用基本不等式求最值）.思路2.坐標法，設(shè)C(cos,sin)，得x+=cosq+ 3sin,qq?[0,2p]求解.3思路3.幾何法，設(shè)AB交OC于M，令OCλOM，由A、M、B三點共線得x+=l.【例c-2】在長方形ABCD中，AB=1，AD=2，點P是以點C為圓心且與BD相切的圓上的動點．若uuurAP=luuurABuuur+mAD，則l+m的最大值為解法1：以點A為坐標原點，AB所在的直線為軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0)B(1,0)C(1,2)D(0,2)因為uuurAP=luuurABuuur+mAD=l(1,0)+m(0,2)=(,2)，所以Pl(,2)，又BD的方程為2x+-2=0，且C到BD的距離為2=25，所以點C為圓心且與BD相切的圓的方程為55(x-1)2+(y-2)2=4，又Pl(,2)在圓上，所以(l-1)2+4(m-1)2=4，令55l-1=25sina，m-1=5cosa，55所以1￡l+m=25sina+5cosa+=sin(a+q)+￡3.55解法2：連接AP與BD相交于點N，則OP=tON,根據(jù)平面幾何的知識可知t∈[1,3]，所以根據(jù)等和線定理可知l+m的最大值為3.通過以上例題的解答可以看出，在研究平面向量的綜合問題時，可能題目的計算過程比較復(fù)雜，不論是利用向量的方法還是坐標的運算都不容易算出結(jié)果，如果能夠巧妙的利用好等和線定理將會節(jié)省很多解題時間，并提高解題的效率。這部分內(nèi)容對于大多數(shù)同學來說可能不太容易理解，適合尖子生拔高難度提高解題效率，在課堂教學中不宜花太多時間講解，可以適當引導(dǎo)，激發(fā)尖子生的學習興趣，采用課后輔導(dǎo)的方式讓學有余力的同學去深入鉆研，體會其在解決難題時的妙用。本課時雖然只是研究向量的共線，但是在教學過程中深入的研究了定理的內(nèi)涵和外延，挖掘出適合不同層次的同學所要達到的學業(yè)水平，既滿足了普通學生的學業(yè)要求，又滿足了尖子生對知識深層次的理解和解題技巧的訓練。參考文獻[1]萬紅;陳正非;楊文;;利用平面向量解決三點共線策略研究[J];中學生數(shù)學;2020年07期[2]胡傳虎;;平面向量三點共線定理在高考中的運用[J];數(shù)理化學習(高中版)