河北省高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)檢測(cè) 5.6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(Ⅱ)課件 舊人教版 課件

第六節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（Ⅱ）基礎(chǔ)梳理1.作y=Asin(ωx+φ)的圖象主要有以下兩種方法：（1）用“五點(diǎn)法”作圖.用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=ωx+φ,由z取0，,π,,2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.（2）由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象,有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.方法一：先平移后伸縮方法二：先伸縮后平移2.y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈［0,+∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A叫做振幅，T=叫做周期，f=叫做頻率，ωx+φ叫做相位，x=0時(shí)的相位φ叫做初相.典例分析題型一三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象分析（1）由振幅、周期、初相的定義即可解決.

（2）五點(diǎn)法作圖，關(guān)鍵是找出與x相對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn).

（3）只要看清由誰變換得到誰即可.【例1】已知函數(shù)y=2sin(2x+).（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；（3）說明y=2sin(2x+)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.解

(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.(2)令x′=,則y=2sin=2sinx′.列表，并描點(diǎn)畫出圖象:x′0π2πXy=010-10y=2sin

020-20(3)方法一：把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin的圖象，再把y=sin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）,得到y(tǒng)=sin的圖象，最后把y=sin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.方法二：將y=sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位,得到y(tǒng)=sin=sin

的圖象；再將y=sin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)=2sin的圖象.舉一反三學(xué)后反思（1）作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象.（2）變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用ωx+φ=來確定平移單位.1.已知函數(shù)y=(x∈R).（1）用“五點(diǎn)法”畫出它的圖象；（2）求它的振幅、周期及初相；（3）說明該函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.x′0π2πxy020-20解析:（1）y=2sin，令x′=，列表如下：描點(diǎn)連線：題型二三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式【例2】下圖為y=Asin(ωx+φ)的圖象的一段，求其解析式.（2）振幅A=2,周期T=4π，初相為.（3）將y=sinx圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin的圖象，再把y=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sin的圖象，最后把y=sin的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，即得函數(shù)y=2sin的圖象.分析首先確定A.若以N為五點(diǎn)法作圖中的第一零點(diǎn)，由于此時(shí)曲線是先下降后上升（類似于y=-sinx的圖象），所以A＜0;若以M點(diǎn)為第一個(gè)零點(diǎn)，由于此時(shí)曲線是先上升后下降（類似于y=sinx的圖象），所以A＞0.而ω=,φ可由相位來確定.解方法一：以N為第一個(gè)零點(diǎn)，則A=-3,T=∴ω=2,此時(shí)解析式為y=-sin(2x+φ).∵點(diǎn)N(-,0)在圖象上，∴-×2+φ=0

φ=，∴所求解析式為y=①方法二：以點(diǎn)M(,0)為第一個(gè)零點(diǎn)，則A=,ω==2,解析式為y=sin(2x+φ)，將點(diǎn)M(,0)代入得:2×+φ=0∴所求解析式為y=學(xué)后反思

(1)本例中①與②這兩個(gè)解析式是一致的，由①可得②.

同樣由②也可得①.(2)由此題兩種解法可見，在由圖象求解析式時(shí)，“第一零點(diǎn)”的確定是很重要的，盡量使A取正值，由f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一段圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法:①如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由ω=即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的零點(diǎn)的橫坐標(biāo),則令+φ=0（或+φ=π）即可求出φ.舉一反三②代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn)）坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖形解出ω和φ.若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.（3）利用圖象特征確定函數(shù)解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+k或根據(jù)代數(shù)條件確定解析式時(shí)，要注意以下幾種常用方法：①振幅A=.②相鄰兩個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差，或者一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)為，由此推出ω的值.③確定φ值，一般用給定特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式確定.2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)ω＞0,|φ|＜,x∈R的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為()A.y=-4sinB.y=-4sinC.y=4sinD.y=4sin答案：B題型三三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)模型【例3】某港口的水深y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是不同時(shí)間的水深數(shù)據(jù)：解析：由圖象可知，A=-4,=8,=16,∴ω=,設(shè)y=-4sin,代入最低點(diǎn)坐標(biāo)（2,-4）,可得sin=1,∴=2kπ+（k∈Z）,∴φ=2kπ+（k∈Z）,滿足條件的一個(gè)是k=0,即φ=,∴y=-4sin.t(時(shí))03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+b的圖象.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=Asin

ωt+b的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5米時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間）分析

(1)從擬合曲線可知函數(shù)y=Asin

ωt+b的周期；由t=0時(shí)的函數(shù)值,t=3時(shí)取得最大值，進(jìn)而可求出ω、A、b的值，即得函數(shù)的表達(dá)式.（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出數(shù)值不小于4.5+7=11.5(米)的時(shí)段，從而可回答題中的兩問.解

(1)從擬合曲線可知：函數(shù)y=Asin

ωt+b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6小時(shí)，此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12，因此=12,ω=.又∵當(dāng)t=0時(shí)，y=10;當(dāng)t=3時(shí)，=13，∴b=10,A=13-10=3.于是所求的函數(shù)表達(dá)式為y=3sint+10.（2）由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于7+4.5=11.5（米）.由擬合曲線可知，一天24小時(shí)，水深y變化兩個(gè)周期，故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時(shí)間最長(zhǎng)，則應(yīng)從凌晨3點(diǎn)前進(jìn)港，而從第二個(gè)周期中的下午15點(diǎn)后離港.令

可得∴2kπ+≤≤2kπ+（k∈Z）,∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z).取k=0，則1≤t≤5,取k=1，則13≤t≤17;而取k=2時(shí)，則25≤t≤29（不合題意）.從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)（1點(diǎn)到5點(diǎn)都可以）進(jìn)港，而下午的17點(diǎn)（即13點(diǎn)到17點(diǎn)之間）前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16小時(shí).學(xué)后反思由于一天24小時(shí)中，港口的水深變化是周期性的，且變化兩個(gè)周期，因此我們計(jì)算船舶在港內(nèi)停留的時(shí)間時(shí)不要只限制在一個(gè)周期內(nèi)，應(yīng)該在兩個(gè)周期內(nèi)考慮.舉一反三3.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512;005.021:002.56:005.015;007.524:005.0(1)用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？（若sinφ=0.2，則φ=0.2014，π取3.14）解析：（1）以時(shí)間x為橫坐標(biāo)，以水深y為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并用平滑的曲線連接（如圖）.根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h刻畫水深y與時(shí)間x的關(guān)系，從數(shù)據(jù)和圖象可以看出，A=2.5，h=5,T=12,φ=0,ω=,∴y=2.5sinx+5.(2)貨船需要的安全水深為5.5米，y=2.5sinx+5≥5.5時(shí)就可以通過（如圖所示）.令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2，由圖象可知，x=0.2014或π-x=0.2014,,由周期T=12，因此，貨船應(yīng)在0時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30分左右離開,或12時(shí)30分左右進(jìn)港，17時(shí)30分左右離開.題型四三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的綜合應(yīng)用【例4】(12分)(2008·山東）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ）-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f()的值；(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.分析

(1)先把函數(shù)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，再利用奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而求出f().(2)利用函數(shù)圖象的變換確定出新函數(shù)y=g(x)的解析式，再求出其單調(diào)遞減區(qū)間.解

(1)……………..3′因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以任意對(duì)x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，∴，…………..5′即整理得………………….6′因?yàn)棣?gt;0且x∈R,所以.又因?yàn)?<φ<π,故.7′所以f(x)=2=2cosωx.由題意得所以ω=2，故f(x)=2cos2x.因此…………8′(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.所以g(x)=….9′當(dāng)2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減…….11′因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+,4kπ+](k∈Z)…12′舉一反三學(xué)后反思本題是一個(gè)三角函數(shù)的綜合題，綜合考查了三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間的求解，還有圖象的平移問題.解題的關(guān)鍵是明確正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，一般地，正、余弦函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸（或兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心）的距離等于函數(shù)的半個(gè)周期，因此，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象上任意兩條對(duì)稱軸（或兩個(gè)對(duì)稱中心）之間的距離為(k∈Z),其中T為函數(shù)的最小正周期；正余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸與它相鄰的對(duì)稱中心之間的距離恰好是周期的，所以正、余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸和任意一個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是(k∈Z).4.（2009·重慶）設(shè)函數(shù).(1)求f(x)的最小正周期；（2）若函數(shù)y=g(x）與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求當(dāng)x∈時(shí)，y=g(x)的最大值.解析：（1）

故f(x)的最小正周期為T==8.(2)方法一：在y=g(x)的圖象上任取一點(diǎn)（x,g(x)）,它關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)為（2-x,g(x)）.由題設(shè)條件，點(diǎn)（2-x,g(x)）在y=f(x)的圖象上，從而g(x)=f(2-x)=當(dāng)0≤x≤時(shí)，,因此y=g(x)在區(qū)間上的最大值為.方法二：因?yàn)殛P(guān)于x=1的對(duì)稱區(qū)間為，且y=g(x)與y=f(x)的.圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故y=g(x)在上的最大值即為y=f(x)在上的最大值.由（1）知f(x)=,當(dāng)≤x≤2時(shí),因此y=g(x)在上的最大值為易錯(cuò)警示【例】函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，所得函數(shù)解析式為()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin

錯(cuò)解1

將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：y=sin=sin

再壓縮橫坐標(biāo)得y=sin.錯(cuò)解2

將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：y=再壓縮橫坐標(biāo)得y=錯(cuò)解3

將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：y=sin=sin,再壓縮橫坐標(biāo)得y=錯(cuò)解分析這三種解法都是錯(cuò)誤的，其原因在于沒有抓住變換的對(duì)象.錯(cuò)解1在平移變換時(shí)把5x看做變換的對(duì)象；錯(cuò)解2中，在伸縮變換時(shí)把看成了變換的對(duì)象；錯(cuò)解3則犯了上述兩種錯(cuò)誤，即把5x看做變換的對(duì)象，又把看成了變換的對(duì)象.事實(shí)上，無論是平移變換還是伸縮變換，都應(yīng)緊緊抓住變?cè)钦l這個(gè)關(guān)鍵.在本例中，變?cè)獂才是變換的對(duì)象，圖象向右平移個(gè)單位，是將自變量x減去個(gè)單位長(zhǎng)度，即將x換成x-,其余的不變，壓縮橫坐標(biāo)到原來的，是將x換成2x，其余的不變.考點(diǎn)演練正解將原函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)解析式為：y=再壓縮橫坐標(biāo)得y=.故選D.10.(2009·濟(jì)寧模擬)設(shè)函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,)的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則有下面四個(gè)結(jié)論