離散型隨機(jī)變量的方差+課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征第七章隨機(jī)變量及其分布 7.3.離散型隨機(jī)變量的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則X的數(shù)學(xué)期望（或均值）為

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=_____p數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì):E(aX＋b)=__________aE(X)＋b1、離散型隨機(jī)變量取值的平均水平——數(shù)學(xué)期望2、求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：復(fù)習(xí)回顧：(1)確定隨機(jī)變量取值(2)求概率(3)寫(xiě)分布列(4)求均值均值E(X)刻畫(huà)的是隨機(jī)變量X取值的“平均水平”.

均值在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如在成績(jī)預(yù)測(cè)、消費(fèi)預(yù)測(cè)、工程方案預(yù)測(cè)、產(chǎn)品合格率預(yù)測(cè)、投資收益預(yù)測(cè)中，都可以通過(guò)隨機(jī)變量的均值來(lái)進(jìn)行估計(jì).（決策問(wèn)題）離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征——一組數(shù)據(jù)的均值和方差樣本均值：樣本方差：

已知一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn

反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。問(wèn)題1從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過(guò)計(jì)算可得，由于兩個(gè)均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.評(píng)價(jià)射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.E(X)=8；E(Y)=8

思考：怎樣定量刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?類(lèi)似于這個(gè)概念,我們可以定義隨機(jī)變量的方差.樣本數(shù)據(jù)的均值和方差樣本均值：樣本方差：

已知一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn

離散型隨機(jī)變量取值的方差Xx1x2???xnPp1p2???pn設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.則稱(chēng)：D(X)=(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋???＋(xn－E(X))2pn.為隨機(jī)變量X的方差，用D(X)表示.

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.類(lèi)比問(wèn)題1從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.分別計(jì)算兩位同學(xué)的方差?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03已知：E(X)=8；E(Y)=8

∴隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定.

證明如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則D(aX＋b)=a2D(X)(其中a,b為常數(shù))證明：設(shè)X的分布列為：所以，下面的結(jié)論成立：Xx1x2…xnPp1p2…pn已知：E(aX+b)＝

aE(X)+bD(aX+b)＝(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋…

＋(axi+b－E(aX+b))2·pi＋…＋(axn+b－E(aX+b))2pn＝(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi

＋…＋(axn－aE(X))2pn＝a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi

＋…＋(xn－E(X))2pn]＝a2D(X)D(aX＋b)=a2D(X)離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的性質(zhì):均值的性質(zhì)：方差的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：解：1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).課本70頁(yè)2.若隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P（X＝c）＝1，其中c為常數(shù)，求E(X)和D(X)解：XcP1離散型隨機(jī)變量X的分布列為：E(X)＝c×1＝cD(X)＝(c－c)2×1＝0課本70頁(yè)在方差的計(jì)算中，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)化，還可以用下面的結(jié)論.證明：解：1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).課本70頁(yè)例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解：隨機(jī)變量X的分布列為例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解2：隨機(jī)變量X的分布列為說(shuō)明:方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法．(1)寫(xiě)分布列(2)求均值E(X)(3)求方差D(X)求離散型隨機(jī)變量方差的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X的所有取值；(2)求出X取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列；(4)計(jì)算E(X)；(5)計(jì)算D(X)．選擇合適的計(jì)算公式例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高?

分析：如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低.例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高?解：∵E(X)>E(Y)∴投資股票A的期望收益較大∵D(X)>D(Y)∴投資股票A的風(fēng)險(xiǎn)較高

隨機(jī)變量的方差是一個(gè)重要的數(shù)字特征,它刻畫(huà)了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度,或者說(shuō)反映隨機(jī)變量取值的離散程度.在不同的實(shí)際問(wèn)題背景中,方差可以有不同的解釋----（1）如果隨機(jī)變量是某項(xiàng)技能的測(cè)試成績(jī),那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性;（2）如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差,那么方差的大小反映了加工的精度;（3）如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低.決策問(wèn)題1.離散型隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，2.方差的性質(zhì)：則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).3.求離散型隨機(jī)變量方差的步驟：(1)寫(xiě)分布列(2)求均值(3)求方差課堂小結(jié)：3.甲、乙兩個(gè)班級(jí)同學(xué)分別目測(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)的長(zhǎng)度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測(cè)誤差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個(gè)離散程度大，再分別計(jì)算X和Y的方差，驗(yàn)證你的判斷.乙班的目測(cè)誤差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05解：直觀的觀察可判斷X的離散程度較大，下面用方差驗(yàn)證.∵D(X)>D(Y)∴X的分布離散程度較大課本70頁(yè)解:隨機(jī)變量X的可能取值為6,9,12.則練習(xí)1

有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為X，求E(X)和D(X).所有X的分布列為

P1296X練習(xí)2有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息:解：據(jù)已知分布列可得甲單位不同職位月工資X

/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X

/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1根據(jù)工