基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競(jìng)賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)專題市賽一等獎(jiǎng)

倍數(shù)約數(shù)一、賽點(diǎn)要求：1、兩個(gè)整數(shù)A和B（B≠0），如果B能整除A（記作B｜A），那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如3｜12，12是3的倍數(shù)，3是12的約數(shù)。2、因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、整數(shù)A（A≠0）的倍數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，0，±A，±2A，……都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有±5，±10，……。4、整數(shù)A（A≠0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的，其中必包括±1和±A。例如6的約數(shù)是±1，±2，±3，±6。5、通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最大的公約數(shù)。（1）．最大公約數(shù)定義1設(shè)a1，a2，…，an(n≥2)是n個(gè)整數(shù)，若整數(shù)d是這n個(gè)整數(shù)中每一個(gè)數(shù)的約數(shù)，則稱d為這n個(gè)整數(shù)的公約數(shù)．由于1是任意整數(shù)的約數(shù)，且任何非零整數(shù)的約數(shù)只有有限個(gè)，因此，我們有定義2不全為零的n(n≥2)個(gè)整數(shù)a1，a2，…，an的一切公約數(shù)中的最大數(shù)d叫做這n個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)，記作(a1，a2，…，an)，即(a1，a2，…，an)=d．特別地，若(a1，a2，…，an)=1，則稱整數(shù)a1，a2，…，an互質(zhì)．若a1，a2，…，an中任意兩個(gè)整數(shù)都互質(zhì)，則稱a1，a2，…，an兩兩互質(zhì)．顯然，若a1，a2，…，an兩兩互質(zhì)，則這n個(gè)數(shù)必互質(zhì)，反之則不真．例如，(6，10，15)=1，但(6，10)=2，(10，15)=5，(15，6)=3．（2）．最小公倍數(shù)定義3設(shè)a1，a2，…，an(n≥2)是n個(gè)非零整數(shù)，若m是這n個(gè)數(shù)中每一個(gè)ai的倍數(shù)，則稱m為這n個(gè)數(shù)的一個(gè)公倍數(shù)，其所有正的公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫做這n個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，記作[a1，a2，…，an]．6、公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝除數(shù)×商數(shù)＋余數(shù)若用字母表示可記作：A＝BQ＋R，當(dāng)A，B，Q，R都是整數(shù)且B≠0時(shí)，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2則23－2能被3整除。二、類型分解：例1寫(xiě)出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)數(shù)整數(shù)正約數(shù)數(shù)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)21，2231，322×31，2，3，6421，2，4321，3，32322×31，2，3，4，6，12631，2，4，8431，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，36941，2，4，8，16541，3，32，33，345其規(guī)律是：設(shè)A＝ambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))那么合數(shù)A的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（m+1）(n+1)例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：360＝23×32×5，360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（個(gè)）評(píng)點(diǎn)：此題通過(guò)對(duì)實(shí)例的觀察和分析，找出規(guī)律性的東西。它體現(xiàn)了歸納法的數(shù)學(xué)思想。歸納法將在第二章中詳細(xì)介紹。例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公約數(shù)是2×3，記作（24，90）＝6最小公倍數(shù)是23×32×5＝360，記作[24,90]=360評(píng)點(diǎn)：方法---分解質(zhì)因數(shù)---公共質(zhì)因數(shù)=最大公約數(shù)---兩數(shù)相乘/最大公約數(shù)=最小公倍數(shù)。例3己知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公約數(shù)∵（30，42）＝6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意，∴N＝6，3例4一個(gè)數(shù)被10除余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時(shí)被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的數(shù)是359三、專題訓(xùn)練：12的正約數(shù)有_________,16的所有約數(shù)是_________________分解質(zhì)因數(shù)300＝_________,300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_________用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。一個(gè)三位數(shù)能被7，9，11整除，這個(gè)三位數(shù)是_________能同時(shí)被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_______最大三位數(shù)是________己知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A＝________寫(xiě)出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答____一個(gè)長(zhǎng)方形的房間長(zhǎng)丈，寬丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問(wèn)正方形最大邊長(zhǎng)可以是幾寸？若用整數(shù)寸作國(guó)邊長(zhǎng)，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？一條長(zhǎng)階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步跨4階，那么最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4階，如果每步跨6階，那么最后剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？專題訓(xùn)練答案：1.1，2，3，4，6，12；±1，±2，±3，±6，±9，±182.22×3×52；183.2×5；22×534.6935.［3，5，11］＝165，1155；9906.A＝3即求14－2與23－2的公約數(shù)7.30，60，90（135，105）＝15，正約數(shù)有1，3，5，15119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119四、同步測(cè)試：一、選擇題1．在小于100的自然數(shù)中，含有奇數(shù)個(gè)正整數(shù)因子的自然數(shù)個(gè)數(shù)是()．(A)7個(gè)(B)8個(gè)(C)9個(gè)(D)10個(gè)2．從1，2，3，…，20這20個(gè)數(shù)中挑選一些數(shù)，使得選出的數(shù)中，任何兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)也在選出的數(shù)中，則最多可以選出()．(A)5個(gè)數(shù)(B)6個(gè)數(shù)(C)7個(gè)數(shù)(D)8個(gè)數(shù)3．A，月兩數(shù)都恰有公約數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，已知A數(shù)有12個(gè)約數(shù)，月數(shù)有10個(gè)約數(shù)，那么A，g兩數(shù)的和是()．(A)1950‘(B)2250(C)2550(D)28504．在100以內(nèi)具有8個(gè)約數(shù)的所有自然數(shù)的個(gè)數(shù)是()．(A)7個(gè)(B)8個(gè)(C)9個(gè)(D)10個(gè)二、填空題5．兩個(gè)兩位數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的6倍，又知最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的和為49，則這兩位數(shù)是_____．6．約數(shù)共有9個(gè)的最小自然數(shù)是_____．7．一塊長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)357厘米，寬105厘米，高84厘米，要把它鋸成同樣大小的正方體木塊若干塊，所有正方體的體積和要最大，則木塊的邊長(zhǎng)是_____厘米．8．金星和地球在某一時(shí)刻相對(duì)于太陽(yáng)處于某一確定位置．已知金星繞太陽(yáng)一周225日，地球繞太陽(yáng)一周為365日，則這兩個(gè)行星至少經(jīng)過(guò)____日同時(shí)回到原來(lái)位置．三、解答題9．設(shè)n是滿足