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第十二章

災(zāi)難那無邊無際的苦難啊，像一口鼎沸的大鍋，不憚辛苦不憚煩，要把一切都化成羹湯。——莎士比亞《麥克佩斯》回顧以往，1930年時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的狀況可說是差強(qiáng)人意。已知的悖論已經(jīng)被解決，但是幾個(gè)學(xué)派為此使用了特定的方法。誠然，對于什么是正確的數(shù)學(xué)這一問題已不再有一致的觀點(diǎn)，然而每一位數(shù)學(xué)家都能采用他所喜歡的方法，進(jìn)而依據(jù)該方法的原理發(fā)揮他的創(chuàng)造力。但是，兩個(gè)問題繼續(xù)困擾著數(shù)學(xué)界。首先是建立數(shù)學(xué)的相容性，這恰恰是希爾伯特在1900年的巴黎講演中提出的。雖然已知的悖論已經(jīng)解決，可再次發(fā)現(xiàn)新悖論的危險(xiǎn)依然存在。另一個(gè)問題被稱為完備性，一般而言，完備性意味著任何數(shù)學(xué)分支的公理對于判別涉及該分支的概念的所有有意義的斷言的真?zhèn)涡允浅浞值?。通俗地講，完備性問題就是一個(gè)合理的歐氏幾何的命題，例如三角形的三條高線交于一點(diǎn)，能否根據(jù)歐氏公理證明或證偽。更專業(yè)的，在超限數(shù)域中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（見第九章）又是一個(gè)例子。完備性要求根據(jù)構(gòu)成超限數(shù)理論基礎(chǔ)的公理證明或證偽該假設(shè)。類似的，完備性要求根據(jù)數(shù)論中的公理證明或證偽哥德巴赫（Goldbach）猜想：任一偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。事實(shí)上完備性問題包括了許多其他的命題，它們的求證向數(shù)學(xué)家們所發(fā)起的挑戰(zhàn)已逾幾十年甚至上百年。對于相容性問題和完備性問題，幾個(gè)學(xué)派采取了稍有不同的態(tài)度。羅素實(shí)際上放棄了他的邏輯方法中使用的邏輯公理是真理的信念，并且還承認(rèn)了他的約化公理的人為屬性（見第十章）。他的層次論避免了已知的悖論，而且羅素確信它能避免所有可能的悖論。然而，信心不能代替證明，羅素沒能解決完備性問題。盡管集合論公理化主義者自信他們的方法不會引起新的矛盾，但這一信念缺乏證據(jù)。同樣，人們關(guān)注的主要不是完備性，直覺主義者對相容性問題漠不關(guān)心。他們認(rèn)為被人類思維所承認(rèn)的直覺具有自然而然的相容性，形式論的證明是不必要的，也與他們的哲學(xué)不相干。至于完備性，他們的看法是，人類的直覺是如此的強(qiáng)有力，以致于能判明絕大多數(shù)有意義的命題的真?zhèn)危词褂袀€(gè)別例外。與之相反，由希爾伯特領(lǐng)導(dǎo)的形式主義學(xué)派并沒有自鳴得意。在20世紀(jì)的最初幾年，希爾伯特為解決相容性問題做了一些初步的工作。此后，在1920年，他的研究工作又一次回到了相容性和完備性問題。在他的元數(shù)學(xué)中，希爾伯特找到了相容性的證明方法。對于完備性，在1925年的論文《論無限》中，他再次從根本上對1900年巴黎演講所表明的觀點(diǎn)進(jìn)行了闡述：“每一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問題必須能被正確地解決”。在1925年的文章中，他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這一觀點(diǎn)：作為可以用來處理基本問題的方法的一個(gè)例子，我更樂于選取一切數(shù)學(xué)問題均可解決這樣一種觀點(diǎn)。我們都相信這一點(diǎn)，吸引我們?nèi)パ芯恳粋€(gè)數(shù)學(xué)問題的最主要的原因是：在我們中間，常常聽到這樣的呼聲，這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知！在1928年波倫亞（意大利一城市）國際數(shù)學(xué)家大會的發(fā)言中，希爾伯特批評了以前的完備性證明，因?yàn)樗鼈兪褂昧嗽獢?shù)學(xué)所不允許的邏輯原理。但他對自己系統(tǒng)的完備性則充滿了信心：“我們的推理并不具有任何秘密的技術(shù)，它只不過按照確切、清楚的規(guī)則進(jìn)行而已，正是這樣的規(guī)則保證了判斷的絕對客觀性。”他還說，每個(gè)數(shù)學(xué)家都相信，任何明確的數(shù)學(xué)問題必是可解的。在1930年的論文《自然知識和邏輯》中，他又這樣說：“我認(rèn)為，孔德（Comte）沒有能找到一個(gè)不可解的問題的真正原因是，本來就不存在不可解的問題?！痹?927年完成，1930年發(fā)表的《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》一文中，希爾伯特詳細(xì)論述了他1905年的觀點(diǎn)：使用他的元數(shù)學(xué)方法（證明論）來建立相容性和完備性。他斷言：我力求用這種建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的新方法達(dá)到一個(gè)有意義的目標(biāo)，這種方法可以恰當(dāng)?shù)乇环Q為證明論。我想把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中所有的問題按照其現(xiàn)在提出的形式一勞永逸地解決，換言之，即把每一個(gè)數(shù)學(xué)命題都變成一個(gè)可以具體表達(dá)和嚴(yán)格推導(dǎo)的公式。經(jīng)過這樣治理的數(shù)學(xué)所推導(dǎo)出來的結(jié)果就會無懈可擊，同時(shí)又能為整個(gè)科學(xué)描繪一幅合適的景象。我相信我能用證明論達(dá)到這一目標(biāo)，盡管為此還要做大量工作。顯然，希爾伯特對于用證明論解決相容性和完備性問題是非常樂觀的。截至1930年，人們已取得了若干關(guān)于完備性的結(jié)果。希爾伯特自己構(gòu)造了一個(gè)只包括算術(shù)且具有一定人為色彩的系統(tǒng)，進(jìn)而建立了它的相容性和完備性。不久其他人也得到了類似的局部結(jié)果，從而相對平凡的公理系統(tǒng)（例如命題演算）被證明是相容的，甚至是完備的。這些證明中的一部分是由希爾伯特的學(xué)生完成的。1930年，后來成為普林斯頓高等研究院教授的哥德爾證明了包括了命題和命題函數(shù)在內(nèi)，一階謂詞演算的完備性。所有這些成果使形式主義者倍受鼓舞。希爾伯特本人也確信，他的元數(shù)學(xué)和證明論將會成功地確立全部數(shù)學(xué)的相容性和完備性。但就在第二年，哥德爾發(fā)表的另一篇論文卻打開了潘多拉的盒子。這篇題為《論數(shù)學(xué)原理中的形式不可判定命題及有關(guān)系統(tǒng)》（1931年）的論文包含了兩個(gè)驚世駭俗的結(jié)論。其中對數(shù)學(xué)界尤具毀滅性的斷言是：任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)，只要其能包含整數(shù)的算術(shù)，其相容性就不可能通過幾個(gè)基礎(chǔ)學(xué)派（邏輯主義學(xué)派、形式主義學(xué)派、集合論公理化學(xué)派）采用的邏輯原理而建立。這一結(jié)果特別適用于形式主義學(xué)派，原因是希爾伯特已經(jīng)仔細(xì)地限定了元數(shù)學(xué)的邏輯原理，能使用的邏輯工具之少甚至連直覺主義者都可以接受。無怪乎魏爾對此評論說：上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性。上述哥德爾的結(jié)果，是他的更為驚人的結(jié)果的一個(gè)推論，其稱為哥德爾不完備性定理。它表明，如果一個(gè)形式理論T足以容納數(shù)論并且無矛盾，則T必定是不完備的。這意味著，有這樣一個(gè)數(shù)論的有意義的語句S，使S和非S用這個(gè)理論都證明不了。因?yàn)镾或非S總會有一個(gè)是真的，于是就有一個(gè)數(shù)論的語句S，它是真的，又是不可證明的，故其是不可判定的。盡管哥德爾并不十分清楚所涉及的公理系統(tǒng)的分類，但事實(shí)上他的定理不僅適用于羅素-懷特海系統(tǒng)、策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)、希爾伯特的數(shù)論公理化，而且事實(shí)上是一個(gè)被廣泛接受的公理系統(tǒng)。很明顯，相容性是以不完備性為代價(jià)的。我們可以通過那些超越前面所提到的形式系統(tǒng)的邏輯的證明，也就是推理的規(guī)則，來說明某些不可確定的語句。就像人們猜測的，哥德爾并非很輕易地就得到了他那令人驚異的結(jié)果。他的方案是將數(shù)與邏輯主義者和形式主義者的數(shù)學(xué)方法中所用的符號及符號的順序相聯(lián)系。進(jìn)而，對于任何構(gòu)成證明的命題或者命題集合，他同樣確定一個(gè)哥德爾數(shù)與之對應(yīng)。更明確地講，他的算術(shù)化在于為數(shù)學(xué)概念指派自然數(shù)：1指派給1，2指派給等號，對希爾伯特的否定符號，指派3，加號指派5等等。于是符號串“1=1”就變成了整數(shù)符號1，2，1。然而，哥德爾并不是將1，2，1指派給公式1=1，而是一個(gè)單一的，但卻能表明各個(gè)指數(shù)的數(shù)。他選取了最小的三個(gè)素?cái)?shù)2、3、5，從而得到21·32·51=90，所以對“1=1”他指派了自然數(shù)90。注意到90只能唯一地被分解為21·32·51，因此我們能夠再次得到符號1，2，1。對考察的系統(tǒng)中每一個(gè)公式，哥德爾都指定了一個(gè)數(shù)，而且對構(gòu)成證明的整個(gè)公式序列，他同樣指定了一個(gè)數(shù)，該數(shù)的各個(gè)指數(shù)正是每個(gè)公式的數(shù)值，盡管它們本身并不是素?cái)?shù)，可與它們相對應(yīng)的底數(shù)都取素?cái)?shù)。例如，2900·390就是一個(gè)證明的哥德爾數(shù)，此證明由公式900和公式90構(gòu)成。于是，從一個(gè)證明的哥德爾數(shù)出發(fā)，我們可以重新構(gòu)造出構(gòu)成這一證明的公式。在此基礎(chǔ)上，哥德爾進(jìn)一步指出，他所考察的形式系統(tǒng)的元數(shù)學(xué)概念同樣可以用數(shù)值表示出來。因此，元數(shù)學(xué)的任何斷言都有指派給它的哥德爾數(shù)，一個(gè)元數(shù)學(xué)語句的數(shù)，與此同時(shí)，它還是某個(gè)算術(shù)語句的數(shù)值。這樣，元數(shù)學(xué)也就被“映射”為算術(shù)了。使用這些算術(shù)術(shù)語，哥德爾證明了如何構(gòu)造一個(gè)算術(shù)論斷G，用元數(shù)學(xué)語言來說就是，具有哥德爾數(shù)m的陳述不可證明。但是G作為一串符號，具有哥德爾數(shù)m，于是，G對自己說：“我是不可證明的”。但如果純粹的算術(shù)論斷G是可證明的，它就斷言了自己不可證明；反之，如果G是不可證明的，那么正如它所斷言的，G就是不可證明的。然而，既然算術(shù)斷言要么可證明，要么不可證明，那么算術(shù)論斷所從屬的形式系統(tǒng)如果無矛盾，必定不完備。即使這樣，算術(shù)論斷G確實(shí)是真的，因?yàn)樗且粋€(gè)關(guān)于整數(shù)的論斷，可以通過較形式系統(tǒng)所允許的更直觀的推理而建立。人們還可以從下面的例子中把握和領(lǐng)會哥德爾的方案的精髓所在?？疾爝@樣的陳述，“這句話是假的”，我們遇上了矛盾。若這句話為真，它斷言自己是假的；如果該句話為假，那么它為真。對此，哥德爾用“不可證明”取代“假”，這時(shí)句子變?yōu)椋骸斑@句話是不可證明的”。于是，如果這句話不可證明，那么它講的是真的；相反，如果這句話可以證明，那么它為假，或是按照標(biāo)準(zhǔn)邏輯，如果它為真，則不可證明。因此，當(dāng)且僅當(dāng)不可證明時(shí)這個(gè)陳述為真。這個(gè)結(jié)果沒有矛盾，但卻出現(xiàn)了一個(gè)不可判定的真陳述。在展示了他的不可判定陳述之后，哥德爾將“算術(shù)是相容的”這一元數(shù)學(xué)陳述表述為一個(gè)算術(shù)陳述A，而且他證明了A蘊(yùn)涵G。因而如果A是可證明的，那么G也是可證明的；既然G是不可判定的，那么A就是不可證明的，也就是不可判定的。這一結(jié)果表明，能被轉(zhuǎn)換為算術(shù)系統(tǒng)的任何方法或邏輯原理，對于證明相容性都是無能為力的?？瓷先ニ坪蹩梢酝ㄟ^向形式系統(tǒng)加入邏輯原理或數(shù)學(xué)公理來避免不完備性。但哥德爾的方法表明：如果新加入的語句可以按他的方案，即對符號和公式指派一個(gè)哥德爾數(shù)，用算術(shù)術(shù)語表示，那么，不可判定的命題仍能被構(gòu)造出來。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”為算術(shù)的推理原理來避免不可判定的命題并證明一致性。下面是一個(gè)不很嚴(yán)密的類比：如果推理原理和數(shù)學(xué)公理是日語，哥德爾的算術(shù)化是英語，那么只要日語可以翻譯成英語，哥德爾的結(jié)果就能得到。哥德爾不完備性定理斷言，不僅僅是數(shù)學(xué)的全部，甚至任何一個(gè)系統(tǒng)，都不可能用類似哥德爾使用的能算術(shù)化的數(shù)學(xué)和邏輯公理系統(tǒng)加以概括。因?yàn)槿魏芜@樣的公理系統(tǒng)都是不完備的。存在著有意義的陳述從屬于這些系統(tǒng)，卻不能在系統(tǒng)內(nèi)部得出證明。然而非形式的論證可以證明其正確性。這個(gè)結(jié)論，即公理化的能力具有局限性，與19世紀(jì)末的觀點(diǎn)形成了尖銳的對比。那時(shí)人們認(rèn)為數(shù)學(xué)與公理化了的各分支的總和具有相同的廣度，所以，哥德爾的結(jié)果是對內(nèi)涵公理化一個(gè)致命的打擊。公理化方法的這個(gè)缺陷本身并不是一個(gè)矛盾，但卻是驚人的。因?yàn)閿?shù)學(xué)家，尤其是形式主義者，原本期望任何一個(gè)真命題一定會在某個(gè)公理系統(tǒng)的框架內(nèi)確立起來。因此，當(dāng)布勞維弄清楚了直覺上明確的東西不及經(jīng)典數(shù)學(xué)上證明的東西多時(shí)，哥德爾卻證明了直覺的可靠超出了數(shù)學(xué)的證明。正像伯奈斯所說的，過分推崇公理體系是不明智的。當(dāng)然，上述論點(diǎn)并沒有排除這樣的可能性，新的證明方法可能優(yōu)于幾個(gè)基礎(chǔ)學(xué)派接受的邏輯原理所允許的方法。哥德爾的兩個(gè)結(jié)果都是毀滅性的。相容性不能證明給予希爾伯特形式主義哲學(xué)以沉重打擊，因?yàn)樗?jì)劃了以元數(shù)學(xué)為工具的這樣一種證明，而且相信它能成功。然而，災(zāi)難大大超出了希爾伯特的方案，哥德爾關(guān)于相容性的結(jié)論表明，我們使用任何數(shù)學(xué)方法都不可能借助于安全的邏輯原理證實(shí)相容性，已提出的各種方法概莫能外。這可能是本世紀(jì)某些人聲稱的數(shù)學(xué)的一大特征，即其結(jié)果的絕對確定性和有效性已喪失。更為糟糕的是，由于相容性的不可證明，數(shù)學(xué)家們正冒著傳播謬誤的危險(xiǎn)，因?yàn)椴欢ㄊ裁磿r(shí)候就會冒出一個(gè)矛盾。如果真的發(fā)生了這種情況，而且矛盾又不能消除，那么全部數(shù)學(xué)都會變得毫無意義。因?yàn)閷τ趦蓚€(gè)相互矛盾的命題，必定有一個(gè)是假的，并且被所有的數(shù)理邏輯學(xué)家采用的蘊(yùn)涵的邏輯概念，稱為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，都允許一個(gè)假命題推出任何命題，因而數(shù)學(xué)家們正工作在厄運(yùn)即將來臨的威脅之下。不完備定理則是另一場沉重打擊，這里又一次直接牽涉到希爾伯特，雖然這個(gè)定理適合于所有關(guān)于數(shù)學(xué)的形式化方法。盡管數(shù)學(xué)家們一般并沒有像希爾伯特那樣自信，可他們確實(shí)希望解決任何明確的問題。例如證明費(fèi)馬大定理（其斷言沒有大于2的整數(shù)滿足xn+yn=zn）的努力，到1930年為止，已經(jīng)產(chǎn)生了數(shù)百篇冗長而深奧的論文。也許這些努力完全是徒勞的，因?yàn)槠浜芸赡苁遣豢膳卸ǖ摹Ｔ谀撤N程度上，哥德爾不完備性定理是對排中律的否定。我們相信一個(gè)命題非真即假，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的觀點(diǎn)看，這意味著依據(jù)該命題歸屬的特定學(xué)科的邏輯規(guī)律和公理，它或者可以證明，或者可以證偽。但是哥德爾表明，有些命題既不能被證明，也不能被證偽。這是有利于直覺主義者的又一論據(jù)，他們是從其他角度出發(fā)反對排中律的。依然存在著證明相容性的可能，只要人們能夠用不同于哥德爾的方法，給出一個(gè)包含了不可判定命題的系統(tǒng)。這是因?yàn)?，根?jù)前面提及的理由，關(guān)于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵有：如果存在一個(gè)矛盾，任何命題都是可以證明的。但是迄今為止并沒有得到上面的結(jié)果。希爾伯特不相信他的失敗，他是一個(gè)樂觀主義者，對人類推理和理解的能力具有無限的信心。這種樂觀主義給他以勇氣和力量，但卻阻止了他去了解可能存在的不可判定的數(shù)學(xué)命題。對希爾伯特來說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中研究者除了自身的能力之外，沒有任何其他的限制。哥德爾1931年的結(jié)果發(fā)表的時(shí)候，希爾伯特正在和伯奈斯合作寫一本關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的書（1934年第一卷，1939年第二卷）。因此，在第二卷的前言中作者們提出下面的觀點(diǎn)：人們必須擴(kuò)充元數(shù)學(xué)中的推理方法，其包括超限歸納法。希爾伯特覺得，這些新原理仍舊是直觀上可靠的，并且會被普遍接受。他堅(jiān)持了這一方向，卻沒能取得新的成果。在經(jīng)歷了嚴(yán)酷的1931年之后，進(jìn)一步的進(jìn)展使情況更加復(fù)雜，進(jìn)而挫敗了任何定義數(shù)學(xué)及何為正確結(jié)果的企圖。但其中的一項(xiàng)工作還是值得一提。根茨（GerhardGentzen），希爾伯特學(xué)派的一員，他放寬了在希爾伯特元數(shù)學(xué)中對證明方法的限制，例如使用超限歸納法，在1936年設(shè)法確立了數(shù)論和分析中一些受限制部分的相容性。根茨的相容性證明為一些希爾伯特主義者支持和接受，他們認(rèn)為根茨的工作并沒有超出人們樂于接受的邏輯的限制。于是，為了捍衛(wèi)形式主義，人們必須從有限的布勞維邏輯發(fā)展到超限的根茨邏輯。根茨方法的反對派爭辯說：“可接受”的邏輯是如此地深奧莫測，而且我們對算術(shù)相容性的懷疑竟然可以用同樣值得懷疑的元數(shù)學(xué)原理來緩解，這太不可思議了。事實(shí)上，對于超限歸納法早在根茨使用之前就有過爭論，并且一些數(shù)學(xué)家盡量在任何可能的場合從證明中消除它。這不是一個(gè)直覺上使人信服的原理，正如魏爾評論的那樣：這樣的原理降低了有效推理的標(biāo)準(zhǔn)，且把原本可靠的東西變模糊了。哥德爾不完備性定理引發(fā)的附屬問題同樣應(yīng)當(dāng)提及。既然無論多么錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)分支都有不可判定的斷言存在，那么我們對某一特定斷言能否判定呢？這就是著名的判定問題。它要求一個(gè)有效的程序如同計(jì)算機(jī)一樣，能在有限次步驟之內(nèi)判定一個(gè)陳述或一類陳述的可證性。為了具體化一個(gè)判定程序的概念，讓我們考察一個(gè)很普遍的例子。為判定一個(gè)整數(shù)是否能被另一個(gè)整數(shù)整除，可以進(jìn)行除法，如果沒有余數(shù)，回答就是能。這同樣適用于多項(xiàng)式的整除。類似的，對于判定方程ax+by=c是否有整數(shù)解，同樣存在一個(gè)明確的方法（這里a、b、c是整數(shù)）。在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會的著名演講中，希爾伯特提出了一個(gè)非常有趣的問題：人們能否通過有限步驟判定丟番圖方程是否有整數(shù)解（希爾伯特第十問題）。由于方程ax+by=c涉及兩個(gè)未知數(shù)且解必須為整數(shù)，所以它屬于丟番圖方程，而希爾伯特第十問題則更加一般化。在任何情況下判定問題都大大復(fù)雜于希爾伯特第十問題，但人們往往喜歡稱這一類判定問題為希爾伯特第十問題，因?yàn)樵谙柌貑栴}上取得成果這一事實(shí)本身就使得該成果引人注目。何為有效的程序？普林斯頓大學(xué)的教授丘奇(AlonzoChurch)用遞歸函數(shù)，或者說可計(jì)算函數(shù)，給出了它的概念。讓我們考察遞歸性的一個(gè)簡單例子：如果定義f(1)=1，f(n+1)＝f(n)+3。那么，

f(2)=f(1)+3=1＋3=4，f(3)=f(2)+3=4+3=7。依次類推，我們能連續(xù)地計(jì)算f(n)的值，函數(shù)f(x)就稱為是遞歸的。丘奇對遞歸性的定義更加一般，但等價(jià)于可計(jì)算性。1936年，丘奇使用他新發(fā)展的遞歸函數(shù)的概念表明一般不存在判定程序。因此，對一個(gè)特定的斷言，我們并非總能夠找到一個(gè)算法判定它是否能證明。在所有特定的情況下人們都有可能發(fā)現(xiàn)一個(gè)證明，然而這樣的證明能否被發(fā)現(xiàn)事先并沒有檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。于是，數(shù)學(xué)家們嘗試求證什么是不可以證明的可能是在浪費(fèi)時(shí)間。至于希爾伯特第十問題，馬蒂塞維奇（YuriMatyasevich）于1970年證明：一般情況下沒有算法能夠判定相應(yīng)的丟番圖方程是否有整數(shù)解。這一問題也許并非不可判定，但不存在有效的程序，這意味著對今天大多數(shù)的數(shù)學(xué)家而言，沒有一個(gè)遞歸的程序（不必是上面所描述的那一個(gè)）能預(yù)先告訴我們它是否可解。不可判定的命題與不存在判定程序的問題之間存在著某種微妙然而卻是明確的區(qū)別。不可判定的命題在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)內(nèi)是不可判定的，它們存在于任何有意義的公理系統(tǒng)中。例如，歐幾里得平行公理就不能依據(jù)其他平行公理判定，另一個(gè)例子是斷言實(shí)數(shù)是滿足通常實(shí)數(shù)公理性質(zhì)的最小集合。還未得到解決的問題也許可判定，但這不總是能預(yù)先決定的。尺規(guī)作圖的三等分角問題至少有數(shù)百年被錯(cuò)誤地看作是不可判定的問題，可它已被證明是不可能做到的。丘奇定理表明，不可能預(yù)先確定一個(gè)命題是否能證明或證偽，或許二者都不能，即該命題不可判定，但這可不像已知的不可判定命題那么明顯。哥德巴赫猜想目前仍沒有得到證明，也許依據(jù)數(shù)論的公理它是不可判定的，但現(xiàn)在還沒能明顯地看出這一點(diǎn)，這與哥德爾的例子恰恰相反。于是，不知什么時(shí)候，它或許能被證明或證偽。盡管哥德爾對不完備性所做的工作及不可能證明相容性所帶來的震撼已經(jīng)過去十年了，但它們還沒有從數(shù)學(xué)界完全消散，而新的震撼又一次來臨。仍舊是哥德爾，他發(fā)表的一系列研究論文引起了更大的困惑：什么是正確的數(shù)學(xué)，它又正在向什么方向發(fā)展？我們再一次回想起起源于本世紀(jì)初的數(shù)學(xué)方法之一：在集合論的基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈。正是基于這一理由，策梅羅公理系統(tǒng)獲得了發(fā)展。在《選擇公理和廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)二者與集合論公理的相容性》（1940年）一文中，哥德爾證明，如果策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)在除去選擇公理后仍是相容的，那么加上這條公理以后這個(gè)系統(tǒng)也是相容的。這就是說，選擇公理不能被證偽。同樣地，康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（沒有基數(shù)存在于與20之間，后者是實(shí)數(shù)集的基數(shù)）與策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)（即使將選擇公理包括進(jìn)去）是無矛盾的，換言之，這些斷言不能被證偽。為了證明他的結(jié)果，哥德爾構(gòu)造了包含這些斷言的模型。在一定程度上，選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相容性是令人信服的，就像對待其他的策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)的公理那樣，人們至少是在充滿自信地使用著它們。然而，數(shù)學(xué)家們的自得，如果存在的話，被接下來的進(jìn)展擊得粉碎。哥德爾的結(jié)果并沒有排除這樣一種可能性，選擇公理或是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（或者兩者都）能夠基于其他策梅羅-弗蘭克爾公理得出證明。選擇公理不可能在此基礎(chǔ)上證明的思想至少可以回溯到1922年，從這一年開始的幾年中，包括弗蘭克爾在內(nèi)的幾個(gè)人，證明了選擇公理的獨(dú)立性。但是他們每一個(gè)人都發(fā)現(xiàn)，為了得出證明，必須向策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)加入某個(gè)輔助公理，并且以后其他人的證明也存在同樣的缺陷。哥德爾在1947年推測連續(xù)統(tǒng)假設(shè)同樣獨(dú)立于策梅羅-弗蘭克爾公理以及選擇公理。然而，在1963年，斯坦福大學(xué)的數(shù)學(xué)教授柯恩（PaulCohen）證明了選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)二者同時(shí)獨(dú)立于其他策梅羅-弗蘭克爾公理，如果后者是相容的。換言之，這兩個(gè)論斷并不能基于其他策梅羅-弗蘭克爾公理得出證明，而且，即使把選擇公理保留在策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，也包括一般的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，還是不能證明（然而，不包括選擇公理的策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)，如果加入一般的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，都蘊(yùn)涵了選擇公理）。這兩個(gè)獨(dú)立性結(jié)果意味著在策梅羅-弗蘭克爾系統(tǒng)中，選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)都是不可判定的。特別是，對于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，柯恩的結(jié)果表明了有可能在0和20。（即c）之間存在某個(gè)超限數(shù)，即便沒有任何已知的集合具有這樣一個(gè)超限數(shù)。從原理而言，柯恩的稱為力迫法的方法，與其他的獨(dú)立性證明并沒有什么不同。由此人們可能會聯(lián)想到，為了表明平行公理確實(shí)獨(dú)立于其他歐氏幾何公理，人們必須要找出一個(gè)解釋或者模型，它能滿足除去存有疑問的平行公理之外的所有其他公理。這一模型必須相容，否則它也許會滿足存有疑問的公理。相對于弗蘭克爾、哥德爾等人早期的證明，柯恩的改進(jìn)在于他僅僅使用到了不包括任何輔助公理的策梅羅-弗蘭克爾公理。還有，與選擇公理的獨(dú)立性存在早期證明（盡管不盡人意）相反，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性在柯恩的工作之前一直懸而未決。因此，為了在集合論基礎(chǔ)之上（甚至在邏輯主義基礎(chǔ)之上或是在形式主義基礎(chǔ)之上）構(gòu)造數(shù)學(xué)，人們可以有幾種不同的做法。一種做法是避免使用選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，這將會限制一些能夠證明的定理?！稊?shù)學(xué)原理》在它的邏輯原理中就沒有包括選擇公理，可是確實(shí)在一些定理的證明中用到了，這時(shí)該公理得到了明確的表述。事實(shí)上，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中它是一個(gè)基本的定理。另一種做法是或者承認(rèn)或者否認(rèn)選擇公理以及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。否認(rèn)選擇公理，可以假定即使對集合的可數(shù)族也不存在明確的選擇；否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，可以假定20=2或3柯恩正是這樣做的，并且他給出了一個(gè)模型。存在許多種數(shù)學(xué)，集合論（除去其他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）可以向許多方向發(fā)展。進(jìn)而，人們可以只對集合的有限族使用選擇公理，也可只對集合的不可數(shù)族使用選擇公理，自然，還可以對任何集合族使用選擇公理。這種種做法，均有人嘗試過。由于柯恩的獨(dú)立性證明，數(shù)學(xué)陷入了類似于非歐幾何所造成的混亂那樣的窘境。眾所周知（見第八章），平行公理獨(dú)立于其他歐氏幾何公理的事實(shí)，使幾種非歐幾何的構(gòu)造成為可能。柯恩的結(jié)論提出了如下的問題：面對這兩個(gè)公理，數(shù)學(xué)家們該做何種選擇？即使只考察集合論公理化的方法，選擇的多樣性也同樣令人不知所措。這種選擇之所以不能輕易做出，其原因是在每種情況下都會產(chǎn)生正面的和反面的后果。就像已經(jīng)提及的，克制不用這兩個(gè)公理，將會嚴(yán)格地限制能夠被證明的定理，并且迫使人們排除許多在現(xiàn)存的數(shù)學(xué)中一直被認(rèn)為是基礎(chǔ)的東西。即使是證明任何無限集合S具有可數(shù)無窮子集，也需要選擇公理。需要選擇公理才能證明的許多定理在現(xiàn)代分析、拓?fù)鋵W(xué)、抽象代數(shù)、超限數(shù)理論以及其他一些領(lǐng)域中都是基礎(chǔ)性的定理，因此，不接受選擇公理會使數(shù)學(xué)家們舉步維艱。與之相反，如果承認(rèn)選擇公理，那么某些證出的定理至少是違反直覺的。著名的巴拿赫-塔斯基（Banach－Tarski）悖論即是其中之一，其可以描述如下：兩個(gè)實(shí)心球體，一個(gè)大小與籃球相仿，另一個(gè)大小與地球一樣，它們能夠分別被分割成互不重疊的有限份，而且使得大球體的每一份與小球體的每一份對應(yīng)全等?；蛘咭部蛇@樣描述：可以把整個(gè)地球分成有限份，然而重新拼裝成一個(gè)籃球大小的球體。1914年發(fā)現(xiàn)的這個(gè)悖論的一個(gè)特例表明，一個(gè)球面可以分割成兩部分并重新組合成兩個(gè)完整的球面，每個(gè)新球面的半徑都與原球面相同。與19世紀(jì)集合論碰到的悖論不同，這些新發(fā)現(xiàn)的悖論并不存在矛盾，它們只不過是集合論公理與選擇公理的邏輯推論。否定一般化的選擇公理也導(dǎo)致了新奇的結(jié)論。一個(gè)技術(shù)結(jié)果或許對專家們更有意義，即每個(gè)線性集合都是可測的。換言之，既然選擇公理蘊(yùn)涵著不可測集合的存在，那么通過假定每個(gè)線性集合都可測就能否定選擇公理。此外還有關(guān)于超限基數(shù)的新奇結(jié)論。至于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，無論承認(rèn)它還是否認(rèn)它，人們都冒著進(jìn)入未知領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)，可是，有意義的結(jié)論迄今沒有得到。但是，一旦假定20=2，那么每個(gè)實(shí)數(shù)集合就都是可測的了。當(dāng)然，還可以推導(dǎo)出其他的新結(jié)論，可是它們都不甚重要。就像對平行公理的研究將幾何學(xué)領(lǐng)到了一個(gè)十字路口那樣，柯恩對這兩個(gè)有關(guān)集合的公理所做的工作將以集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)也領(lǐng)到了錯(cuò)綜復(fù)雜的交叉路口。這開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的幾個(gè)發(fā)展方向，但卻沒能給出任何明顯的理由來說明哪個(gè)更為優(yōu)越。事實(shí)上，自從柯恩1963年的工作以來，在策梅羅-弗蘭克爾集合論中發(fā)現(xiàn)了如此眾多不可判定的命題，使得人們對選擇（使用基本的策梅羅-弗蘭克爾公理再加入一條或多條不可判定命題）的多樣性無所適從。選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性證明就好比告訴一個(gè)建筑師，只要稍稍改動他的圖紙，就可以用一個(gè)城堡取代他原來要建造的辦公樓。當(dāng)前集合論的研究者希望他們能按照某種可靠的方式修改集合論公理，借此能確定是否可以從一組能夠?yàn)閿?shù)學(xué)家們廣泛接受的公理出發(fā)推導(dǎo)出選擇公理以及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。按照哥德爾的觀點(diǎn)，這些可能性應(yīng)該是可以實(shí)現(xiàn)的，為此人們已付出了巨大的努力，但迄今為止沒有成功?；蛟S在未來的某一天，對于使用什么樣的公理最終會取得一致的意見。困撓數(shù)學(xué)家們的并不僅僅是哥德爾、丘奇以及柯恩的工作帶來的問題，數(shù)學(xué)家們的麻煩與日俱增。由勒文海姆(LeopoldL?wenheim）1915年開始的，通過從1920年到1933年之間斯科倫（ThoralfSkolem）發(fā)表的一系列論文得以簡化和完成的一項(xiàng)研究，揭示了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的又一缺陷，這就是為人們熟知的勒文海姆-斯科倫定理。設(shè)想人們?yōu)閿?shù)學(xué)的某個(gè)分支，或者說就是為可以作為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的集合論，建立了合乎邏輯的數(shù)學(xué)公理，對此，最合適的例子莫過于用于整數(shù)的那組公理了。人們希望這些公理能確定整數(shù)的全部特性，并且僅僅是這些特性。然而奇怪的是，人們發(fā)現(xiàn)可以找出截然不同的解釋或模型，都能滿足這些公理。因此，鑒于整數(shù)集是可數(shù)的，或者按照康托爾的記法，存在0個(gè)整數(shù)，則存在著與整個(gè)實(shí)數(shù)集合（甚至在超限的涵義上更大的集合）同樣多元素的集合的解釋。同理，相反的現(xiàn)象也可能出現(xiàn)，也就是說，假設(shè)人們承認(rèn)了關(guān)于集合論的某個(gè)公理系統(tǒng)，進(jìn)而還希望這些公理可以容納并且的確能描述不可數(shù)集族的全部特性。然而，人們卻發(fā)現(xiàn)了滿足這個(gè)公理系統(tǒng)的可數(shù)集族以及其他一些與人們的常識非常不同的超限解釋。實(shí)際上，每一個(gè)相容的系統(tǒng)都存在著相應(yīng)的可數(shù)模型。這意味著什么呢？假定人們打算開列一張?zhí)卣鞅?，并認(rèn)為它可以刻劃且僅僅刻劃了美國人，但令人吃驚的是，某人發(fā)現(xiàn)了一種動物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美國人。換言之，試圖用公理系統(tǒng)來描述一類唯一的數(shù)學(xué)對象事實(shí)上是不可能做到的。就像哥德爾不完備性定理告訴人們的，一組公理對于證明屬于它們所覆蓋的數(shù)學(xué)分支的全部定理是不充分的那樣，勒文海姆-斯科倫定理告訴人們，一組公理能夠容許比人們預(yù)期多得多的解釋，而且這些解釋具有本質(zhì)的區(qū)別。公理沒有限制住解釋或是模型，因此，數(shù)學(xué)真理性不可能一絲不茍地與公理化一致。非預(yù)期的解釋之所以可能，原因之一在于每個(gè)公理化系統(tǒng)內(nèi)部都有未定義的概念。先前人們認(rèn)為這些概念是被公理隱含地加以定義的，可事實(shí)上公理并沒能做到這一點(diǎn)。因此，未定義概念的概念必須以某種非預(yù)期的方式加以更改。勒文海姆-斯科倫定理與哥德爾不完備性定理同樣驚世駭俗。對于發(fā)端于20世紀(jì)初的公理化方法而言，它無疑是另一次沉重打擊。直到不久前公理化仍被認(rèn)為是唯一可靠的方法，而且仍被邏輯主義者、形式主義者和集合論公理化主義者使用著。從總體上來看，勒文海姆-斯科倫定理并不出人意料。哥德爾不完備性定理表明每個(gè)公理化系統(tǒng)都是不完備的，即存在著不可判定的命題。假定P就是一個(gè)這樣的命題，那么不管是P還是非P都不能從這些公理中推導(dǎo)出來。因而人們可以接受一個(gè)更大的公理系統(tǒng)：原來的公理集合加上命題P或是命題非P。由于解釋不會是同構(gòu)的，所以這兩個(gè)公理系統(tǒng)也不是無條件的，也就是說，不完備性是有條件的。但勒文海姆-斯科倫定理是以一種更強(qiáng)硬也更根本的方式否定了無條件性。它證實(shí)了對于一個(gè)給定的公理系統(tǒng)，可以存在完全不同的解釋或模型，而這無須加入任何新的公理。當(dāng)然必須得出不完備性，否則的話，完全不同的解釋是不可能的。而且為了不被所有的解釋所共同包容，關(guān)于某個(gè)解釋的一些有意義的陳述也必定會是不可判定的。經(jīng)過對自己的結(jié)論再三考慮之后，斯科倫在1923年的一篇論文中表示，對于把公理化方法當(dāng)作集合論的基礎(chǔ)他是持反對意見的。即便是馮·諾依曼也在1925年表示贊同他自己的公理以及其他關(guān)于集合論的公理系統(tǒng)全都貼上“不真實(shí)的標(biāo)記，……集合論不可能無條件地公理化。……既然算術(shù)、幾何等不存在公理體系，而對集合論卻沒有這樣假定，那么也就必定不存在無條件的公理化無窮系統(tǒng)?！边@一情況，他繼續(xù)寫道，“對我而言，是有利于直覺主義的又一論據(jù)。”數(shù)學(xué)家們試圖通過回想非歐幾何的歷史使他們自己平靜下來。在對平行公理爭論了幾個(gè)世紀(jì)之后，羅巴切夫斯基和鮑耶創(chuàng)立了他們的非歐幾何，黎曼也給出了另一個(gè)幾何學(xué)。數(shù)學(xué)家們起初傾向于拋棄這些新生的幾何學(xué)，這有若干理由，其中之一是它們必定是不相容的，可后來的解釋表明它們是相容的。例如黎曼的雙橢圓幾何學(xué)，與人們開始的意愿（應(yīng)用于普通平面的圖形）完全不同地按照球面上的圖形得到了解釋（見第八章）。然而，這個(gè)解釋或模型的發(fā)現(xiàn)是受歡迎的，它證實(shí)了相容性。而且黎曼最初的期望與后來的解釋在研究對象的數(shù)目上并沒有引入什么不同，無非是點(diǎn)、線、面、三角形等等而已。用數(shù)學(xué)的語言來講，這兩個(gè)解釋是同構(gòu)的。然而，勒文海姆-斯科倫定理所適用的公理系統(tǒng)的不同解釋并不同構(gòu)，它們是完全不同的。關(guān)于數(shù)學(xué)的抽象性，彭加勒曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)是一門為不同事物起相同名字的藝術(shù)。例如，群的概念就可以表示整數(shù)、矩陣以及幾何變換的全部特性。勒文海姆-斯科倫定理支持了彭加勒的觀點(diǎn)，然而卻改變了它的含義。人們并不期望群公理能表明所有解釋具有相同的適用范圍和特性（群公理不是無條件的；如果忽略平行公理，歐氏幾何也不是無條件的）；與此相反，數(shù)學(xué)家們原以為適用勒文海姆-斯科倫定理的那些公理系統(tǒng)只指明一個(gè)特定的解釋，于是，當(dāng)它們適用于完全不同的解釋時(shí)，令數(shù)學(xué)家們茫然不知所措。上帝打算毀滅某些人，首先是使他們發(fā)瘋。也許是上帝仍不相信哥德爾和柯恩的工作，或者是勒文海姆和斯科倫還打算施展什么詭計(jì)，他們又開始了進(jìn)一步的發(fā)展，似乎要使數(shù)學(xué)家們陷入絕境。在探討微積分時(shí)，萊布尼茨引入了無窮小量（見第六章）。他認(rèn)為無窮小量比1，，，……以及其他任何正數(shù)都小，但不是零。進(jìn)一步他認(rèn)為，人們可以像使用其他普通數(shù)一樣使用無窮小量。雖然它只是一種理想的元素，或者說是一種虛構(gòu)的東西，但確實(shí)是有用的。事實(shí)上，對萊布尼茨而言，微積分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)，就是兩個(gè)無窮小量的比值。萊布尼茨還像對普通數(shù)值那樣，也使用了無窮大量。在整個(gè)18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們一直為無窮小的概念爭論不已。一方面，他們?nèi)我獾?、甚至是不合乎邏輯法則地使用它們；另一方面，他們最終又把無窮小作為沒有意義的東西而扔掉?？挛鞑粌H拒絕無窮小量而且想努力消除它們，然而，無窮小是否合理的問題依舊存在。米塔格-萊夫勒（G?staMittag-Leffler）有一次問康托爾，在有理數(shù)與實(shí)數(shù)之間是否存在另外一類數(shù)，后者堅(jiān)決予以否認(rèn)。1887年，康托爾又證明了無窮小量在邏輯上是不可行的。這個(gè)證明從根本上依賴阿基米得公理，即對于任意實(shí)數(shù)a，總存在一個(gè)整數(shù)n，使得na大于另一給定的實(shí)數(shù)b。皮亞諾也證明了無窮小量不存在。羅素在他的《數(shù)學(xué)原理》中對此表示贊同。然而，即便是偉人的號召，也不會得到非常迅速的響應(yīng)。從亞里士多德時(shí)代以及從那時(shí)起很長的一段時(shí)間里，地球是球體的觀念被眾多思想家認(rèn)為是荒誕不經(jīng)而遭摒棄。因?yàn)槿绻悄菢?，生活在地球另一面的人就會在空中倒垂著他們的頭顱?？墒聦?shí)上，球體才是正確的觀念。同樣地，盡管萊布尼茨關(guān)于無窮小量的證明必須摒棄，依然有許多人試圖為它建立一個(gè)合乎邏輯的推論。杜布爾-雷蒙、斯篤茲（OttoStolz）和克萊因的確認(rèn)為基于無窮小的相容理論是可能的。事實(shí)上，克萊因指出，為了得到一個(gè)這樣的理論，就必須放棄阿基米得公理這一關(guān)于實(shí)數(shù)的最基本的公理。斯科倫也在1934年引入了不同于普通實(shí)數(shù)的一種新數(shù)，超整數(shù)，而且給出了它們的一些性質(zhì)。若干數(shù)學(xué)家的一系列論文最終導(dǎo)致了一種使無窮小合理化的新理論的產(chǎn)生，而最重要的貢獻(xiàn)則是由羅賓遜（AbrahamRobinson）作出的。稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析的新系統(tǒng)引入了超實(shí)數(shù)，它包括原有的實(shí)數(shù)以及無窮小。正像萊布尼茨所做的那樣，一個(gè)正無窮小被定義為小于一切普通的正數(shù)而大于零的數(shù)值；類似的，一個(gè)負(fù)無窮小則大于一切負(fù)實(shí)數(shù)而小于零。這些無窮量都是固定的數(shù)值，從而它們既不是萊布尼茨意義上的變量，也非可以逼近零的變量，而是柯西有時(shí)使用這個(gè)術(shù)語時(shí)所表示的含義。更進(jìn)一步，非標(biāo)準(zhǔn)分析又引入了新的無窮大數(shù)，它們是無窮小量的倒數(shù)但不是康托爾的超限數(shù)。每一個(gè)有限的超實(shí)數(shù)r可表成x+a的形式，其中x是一個(gè)普通的實(shí)數(shù)而a是一個(gè)無窮小量。有了無窮小的概念，人們就可以說兩個(gè)超實(shí)數(shù)無限接近了，這意味著它們的差是一個(gè)無窮小量。于是每個(gè)超實(shí)數(shù)都無限地接近于一個(gè)普通的實(shí)數(shù)，因?yàn)椴钋『檬菬o窮小。人們可以隨心所欲地使用超實(shí)數(shù)，就像使用普通的實(shí)數(shù)那樣。使用新的超實(shí)數(shù)系統(tǒng)，人們可以引入其值既可以是普通實(shí)數(shù)又可以是超實(shí)數(shù)的函數(shù)。根據(jù)這些數(shù)，人們還可以定義函數(shù)的連續(xù)性：如果x-a是無窮小量，那么f(x)-f(a)也是無窮小量，此時(shí)稱f(x)在x=a處連續(xù)。我們還可以用超實(shí)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)和其他微積分的概念，進(jìn)而證明分析的全部結(jié)論。最主要的一點(diǎn)是：超實(shí)數(shù)系統(tǒng)使人們能以一種精確的方式取得微積分學(xué)的成果，而先前人們正是因?yàn)椴磺逦踔翢o意義而拒不接受微積分。使用新的數(shù)系將會增長數(shù)學(xué)的力量嗎？迄今為止，通過這種方法仍沒能得到任何有重大意義的新結(jié)論，可重要的是又開創(chuàng)了一條新路，而這正是一些數(shù)學(xué)家所渴望的。事實(shí)上，關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析的論著已經(jīng)并正在不斷涌現(xiàn)，而另外一些人則因?yàn)檫@樣或那樣的原因而責(zé)難這種新型的分析。但是，物理學(xué)家們確實(shí)得救了，因?yàn)榧幢闶窃谥懒丝挛饕艳饤墴o窮小之后，為了方便起見，他們?nèi)耘f在使用著這一有益的工具。1900年以來數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)展是令人迷惑的，即使在目前，數(shù)學(xué)的狀況仍舊雜亂無章，前進(jìn)的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍贊賞和普遍接受的數(shù)學(xué)，其證明盡管有時(shí)需要校正，但曾被認(rèn)為是可靠推理的極致，到現(xiàn)在，這種看法改變了。對待數(shù)學(xué)可以采取相互矛盾的態(tài)度，在邏輯主義、直覺主義和形式主義的基礎(chǔ)之外，集合論的方法又獨(dú)立地給出了眾多的選擇。一些有歧義的甚至是矛盾的觀點(diǎn)在其他學(xué)派內(nèi)也是可能的。正由于此，在直覺主義哲學(xué)內(nèi)部，可構(gòu)造化運(yùn)動又分成了許多小派別。對形式主義，什么樣的數(shù)學(xué)原理可以使用存在眾多有待取舍的選擇。而非標(biāo)準(zhǔn)分析，雖然并不屬于任何一個(gè)學(xué)派，卻允許采取在分析中會引起歧義甚至是矛盾的觀點(diǎn)的態(tài)度。無論如何，以前曾被當(dāng)作不合乎邏輯的和應(yīng)該摒棄的，現(xiàn)在卻被一些學(xué)派認(rèn)為是邏輯上可靠的而接受。至此，旨在消除可能存在的矛盾與建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相容性的努力宣告失敗。是接受公理化方法，還是接受非公理化的直覺主義方法，如果接受公理化方法又接受哪些公理，對這一切再也不會存在一致的看法了。數(shù)學(xué)是建立在各自的公理集合之上的一組結(jié)構(gòu)，這一流行的觀點(diǎn)不足以包含數(shù)學(xué)所應(yīng)該包含的東西，另一方面又包含了比它應(yīng)該包含的更多的東西。不一致甚至殃及到推理，排中律不再是毫無疑義的邏輯原理，爭論的焦點(diǎn)是存在性證明中不允許計(jì)算其存在性正被確立的量及是否可用排中律證題，