彈性力學(xué)第一章

彈性力學(xué)第一章第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一§1-1彈性力學(xué)的內(nèi)容

彈性力學(xué)─研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。第一章緒論定義研究彈性體的力學(xué)，有材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)。它們的研究對象分別如下：第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一材料力學(xué)─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)組合變形等問題。

彈性力學(xué)─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。 第一節(jié)彈性力學(xué)的內(nèi)容

結(jié)構(gòu)力學(xué)─在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)

（如桁架、剛架等）。研究對象第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

在研究方法上，彈力和材力也有區(qū)別：

彈力研究方法：在區(qū)域V內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程;在邊界S上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。第一節(jié)彈性力學(xué)的內(nèi)容研究方法第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

材力也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴(yán)格：常常引用近似的計算假設(shè)（如平面截面假設(shè)）來簡化問題，并在許多方面進(jìn)行了近似的處理。第一節(jié)彈性力學(xué)的內(nèi)容研究方法因此材力建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材力解法只能適用于桿件形狀的結(jié)構(gòu)。第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

彈性力學(xué)是其他固體力學(xué)分支學(xué)科的基礎(chǔ)。

彈性力學(xué)是工程結(jié)構(gòu)分析的重要手段。尤其對于安全性和經(jīng)濟(jì)性要求很高的近代大型工程結(jié)構(gòu)，須用彈力方法進(jìn)行分析。第一節(jié)彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)在力學(xué)學(xué)科和工程學(xué)科中,具有重要的地位：地位第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)彈性力學(xué)的內(nèi)容

工科學(xué)生學(xué)習(xí)彈力的目的：學(xué)習(xí)目的（3）有助于培養(yǎng)科學(xué)的思維方法。

……（1）理解和掌握彈力的基本理論和方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他固體力學(xué)分支學(xué)科打下基礎(chǔ)。（2）用彈力的方法（主要是近似解法）解決工程實際問題。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一思考題彈性力學(xué)和材料力學(xué)相比，其研究對象有什么區(qū)別？2.彈性力學(xué)和材料力學(xué)相比，其研究方法有什么區(qū)別？

3.試考慮在土木、水利工程中有哪些非桿件和桿系的結(jié)構(gòu)？第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

外力─其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。

第一章緒論§1－2彈性力學(xué)中的

幾個基本概念第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一體力─（定義）作用于物體的體積內(nèi)的力（表示）單位體積內(nèi)所受的力來量度（量綱）[力][長度]－3第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念（符號）坐標(biāo)正向為正。第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一面力─（定義）作用于物體表面上的力第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念（符號）坐標(biāo)正向為正

（量綱）[力][長度]－2（表示）以單位面積所受的力來量度第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一例：表示出下圖中正的體力和面力第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)力─假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)，稱為內(nèi)力。第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力─截面上某一點處，單位截面面積上的內(nèi)力值。第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念（量綱）[力][長度]－2（表示）─面上沿向正應(yīng)力

─面上沿向切應(yīng)力（符號）應(yīng)力成對出現(xiàn)，坐標(biāo)面上的應(yīng)力以正面正向，負(fù)面負(fù)向為正。第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一例：正的應(yīng)力第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負(fù)面上，兩者正方向相反。第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一彈力與材力相比，正應(yīng)力符號，相同切應(yīng)力符號，不同材力：以拉為正材力：繞一個方向轉(zhuǎn)動為正第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

由微元體的平衡條件得：

第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念在彈力中，與不僅數(shù)值相同，符號也相同。在材力中，與

數(shù)值相同，符號相反。因此，彈力與材力中的符號規(guī)定不完全相同。

切應(yīng)力互等定理：第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一正應(yīng)變

，以伸長為正。應(yīng)變

─描述線段長度的改變和兩線段夾角的改變。以通過一點的坐標(biāo)正向微分線段的正應(yīng)變和切應(yīng)變來表示。切應(yīng)變

,以直角減小為正,用弧度表示。第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變,

正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變。第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念()第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一位移

─

一點位置的移動，用,，表示,量綱為L。以坐標(biāo)正向為正。變形前變形后第二節(jié)彈性力學(xué)中的幾個基本概念第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

思考題試畫出正負(fù)y面上正的應(yīng)力和正的面力的方向。在的六面體上，試問面和面上切應(yīng)力的合力是否相等？第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

由微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；

由應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系,

建立物理方程；

彈力的研究方法，在V中：

由微分線段上應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系，建立幾何方程；第一章緒論研究方法§1－3彈性力學(xué)中基本假定

第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

給定面力的邊界上，建立應(yīng)力邊界條件;第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定研究方法

在邊界S上:

然后在邊界條件下求解上述方程，得出應(yīng)力、應(yīng)變和位移。給定約束的邊界上，建立位移邊界條件；第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

任何學(xué)科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素，建立計算模型，歸納為學(xué)科的基本假定。第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定基本假定

為什么要提出基本假定？第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一（1）連續(xù)性─假定物體是連續(xù)的。各物理量可用連續(xù)函數(shù)表示。第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定材料性質(zhì)假定

彈性力學(xué)中的五個基本假定:

關(guān)于材料性質(zhì)的假定及其在建立彈力理論中的作用：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一（2）完全彈性

─假定物體即應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可用胡克定律表示。（物理線性）第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定材料性質(zhì)假定

a.完全彈性—外力取消，變形恢復(fù)，無殘余變形。b.線性彈性—應(yīng)力與應(yīng)變成正比。第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一（3）均勻性─假定物體由同種材料組成。

E、μ等與位置無關(guān)。（4）各向同性─假定物體各向同性。

E、μ等與方向無關(guān)。符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體。第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定材料性質(zhì)假定

（3），（4）→E、μ等為常數(shù)第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一（5）小變形假定

─假定位移和應(yīng)變很小。第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定變形狀態(tài)假定

變形狀態(tài)假定：例：梁的≤10－3

＜＜1,

＜＜1弧度（57.3°）a.位移＜＜物體尺寸例：梁的撓度y＜＜梁高h(yuǎn)第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一a.簡化平衡條件：考慮微分體的平衡條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸， b.簡化幾何方程：在幾何方程中，由于

可略去項,使幾何方程成為線性方程。第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定變形狀態(tài)假定

作用第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

彈力基本假定，確定了彈力的研究范圍:第三節(jié)彈性力學(xué)中的基本假定變形狀態(tài)假定

理想彈性體的小變形問題。第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一教學(xué)參考資料第一章緒論一、本章的學(xué)習(xí)要求及重點

1、彈性力學(xué)的研究內(nèi)容，及其研究對象和研究方法，認(rèn)清它們與材料力學(xué)的區(qū)別；

2、彈性力學(xué)的幾個主要物理量的定義、量綱、正負(fù)方向及符號規(guī)定等，及其與材料力學(xué)相比的不同之處；

3、彈性力學(xué)的幾個基本假定，及其在建立彈性力學(xué)基本方程時的作用。第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一二、本章內(nèi)容提要

1、彈性力學(xué)的內(nèi)容─彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。

2、彈性力學(xué)中的幾個基本物理量體力—分布在物體體積內(nèi)的力、記號為、、，量綱為L-2MT-2，以坐標(biāo)正向為正。第一章教學(xué)參考資料第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一面力—

分布在物體表面上的力，記號為。量綱為L-1MT-2

，以坐標(biāo)正向為正。應(yīng)力—

單位截面面積上的內(nèi)力，記號，量綱為L-1MT-2，以正面正向為正，負(fù)面負(fù)向為正；反之為負(fù)。第一章教學(xué)參考資料第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

應(yīng)變—用線應(yīng)變和切應(yīng)變表示，量綱為1，線應(yīng)變以伸長為正，切應(yīng)變以直角減小為正。第一章教學(xué)參考資料位移—一點位置的移動，記號為、、，量綱為L，以坐標(biāo)正向為正。第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料3、彈性力學(xué)中的基本假定

理想彈性體假定—連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性,小變形假定。4、彈性力學(xué)的問題和研究方法已知：物體的邊界形狀，材料性質(zhì)，體力,邊界上的面力或約束。求解：應(yīng)力、形變和位移。第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料解法：在彈性體區(qū)域內(nèi)，根據(jù)微分體上力的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上應(yīng)變和位移的幾何條件，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理條件，建立物理方程。

在彈性體邊界上，根據(jù)面力條件，建立應(yīng)力邊界條件，根據(jù)約束條件，建立位移邊界條件。然后在邊界條件下，求解區(qū)域內(nèi)的微分方程，得出應(yīng)力、應(yīng)變和位移。第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料三、彈力的發(fā)展簡史與其他任何學(xué)科一樣，從這門力學(xué)的發(fā)展史中，我們可以看出人們認(rèn)識自然的不斷深化的過程：從簡單到復(fù)雜，從粗糙到精確，從錯誤到正確的演變歷史。許多數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和實驗工作者做了幸勤的探索和研究工作，使彈性力學(xué)理論得以建立，并且不斷地深化和發(fā)展。

第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料1、發(fā)展初期（約于1660－1820）這段時期主要是通過實驗探索了物體的受力與變形之間的關(guān)系。1678年，胡克通過實驗，發(fā)現(xiàn)了彈性體的變形與受力之間成比例的規(guī)律。1807年，楊做了大量的實驗，提出和測定了材料的彈性模量。伯努利（1705）和庫侖（1776）研究了梁的彎曲理論。一些力學(xué)家開始了對桿件等的研究分析。第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料2、理論基礎(chǔ)的建立（約于1821－1855）這段時間建立了線性彈性力學(xué)的基本理論，并對材料性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究。納維（1821）從分子結(jié)構(gòu)理論出發(fā)，建立了各向同性彈性體的方程，但其中只含一個彈性常數(shù)?？挛鳎?822－1827）從連續(xù)統(tǒng)模型出發(fā)，建立了彈性力學(xué)的平衡（運(yùn)動）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義胡克定律。第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料格林（1838）應(yīng)用能量守衡定律，指出各向異性體只有21個獨立的彈性常數(shù)。此后，湯姆遜由熱力學(xué)定理證明了上述結(jié)果。同時拉梅等再次肯定了各向同性體只有兩個獨立的彈性常數(shù)。至此，彈性力學(xué)建立了完整的線性理論，彈性力學(xué)問題已經(jīng)化為在給定邊界條件下求解微分方程的數(shù)學(xué)問題。第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一3、線性理論的發(fā)展時期（約于1854－1907）在這段時期，數(shù)學(xué)家和力學(xué)家應(yīng)用已建立的線性彈性理論，去解決大量的工程實際問題，并由此推動了數(shù)學(xué)分析工作的進(jìn)展。第一章教學(xué)參考資料第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料

圣維南（1854－1856）發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，并提出了圣維南原理。艾里（1862）提出了應(yīng)力函數(shù)，以求解平面問題。赫茲（1882）求解了接觸問題。克?；舴颍?850）解決了平板的平衡和振動問題。還有，愛隆對薄殼作了一系列工作等等。彈性力學(xué)在這段時期得到了飛躍的發(fā)展。第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料4、彈性力學(xué)更深入的發(fā)展時期（1907—）

1907年以后，非線性彈性力學(xué)迅速地發(fā)展起來?？ㄩT（1907）提出了薄板的大撓度問題；卡門和錢學(xué)森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題；力學(xué)工作者還提出了大應(yīng)變問題，非線性材料問題（如塑性力學(xué)等）等等。同時，線性彈性力學(xué)也得到進(jìn)一步的發(fā)展，出現(xiàn)了許多分支學(xué)科，如薄壁構(gòu)件力學(xué)、薄殼力學(xué)、熱彈性力學(xué)、粘彈性力學(xué)、各向異性彈性力學(xué)等。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料彈性力學(xué)的解法也在不斷地發(fā)展。首先是變分法（能量法）及其應(yīng)用的迅速發(fā)展。貝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亞諾（1873－1879）建立了最小余能原理，以后為了求解變分問題出現(xiàn)了瑞利－里茨（1877，1908）法，伽遼金法（1915）。此外，赫林格和瑞斯納（1914，1950）提出了兩類變量的廣義變分原理，胡海昌和鷲津（1954，1955）提出了三類變量的廣義變分原理。第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一第一章教學(xué)參考資料

其次，數(shù)值解法也廣泛地應(yīng)用于彈性力學(xué)問題。邁可斯（193