建筑力學(xué) 第四章

第4章平面一般力系[內(nèi)容提要]本章介紹了平面一般力系向一點(diǎn)的簡化；分析了平面一般力系平衡條件；詳細(xì)敘述了平面一般力系平衡條件的應(yīng)用。4.1平面一般力系的概念和實(shí)例平面一般力系是各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不全部匯交于一點(diǎn)也不全部互相平行的力系。圖4-1在實(shí)際工程中，有些結(jié)構(gòu)的某一尺寸比其它兩個(gè)方向的尺寸小的多或大得多。忽略次要因素后，我們可把這種結(jié)構(gòu)看成為平面結(jié)構(gòu)。例如圖4-1(a)所示的三角形屋架，它受到屋面?zhèn)鱽淼呢Q向荷載P、風(fēng)荷載Q以及兩端支座的約束反力FXA、FYA、RB，這些力組成平面一般力系，如圖4-1(b)所示。如圖4-2(a)所示的擋土墻，考慮到它沿長度方向受力情況大致相同，通常取1M長度的墻身作為研究對象，它所受到的重力G、土壓力P和地基反力R也都可簡化到1M長墻身的對稱面上，組成平面力系，如圖4-2(b)所示。在平面結(jié)構(gòu)上作用的力系，可以看成為平面一般力系。還有些結(jié)構(gòu)雖然明顯不是受平面力系作用，但如果本身（包括支座）及其所承受的荷載有一個(gè)共同的對稱面，那么，作用在結(jié)構(gòu)上的力系就可以簡化為在對稱面內(nèi)的平面力系，例如圖4-3所示沿直線行駛的汽車，車受到的重力G、空氣阻力F以及地面對左右輪的約束反力的合力RA、RB，都可簡化到汽車的對稱面內(nèi)，組成平面一般力系?？傊?，在工程中，許多結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題，可以簡化為平面一般力系的問題來處理。本章將討論平面一般力系的簡化和平衡問題。圖4-3圖4-24.2力的平移定理

有一個(gè)力F作用在某剛體的A點(diǎn)，如圖4-4a所示。若在剛體的Ｏ點(diǎn)加上兩個(gè)共線、反向、等值的力F＇和F＂，且作用線與力F平行，大小與力F的大小相等，如圖4—4ｂ所示，并不影響力F對剛體單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)效果。進(jìn)一步分析可以看出，力F與F＂構(gòu)成一個(gè)力偶，其力偶矩為M=F·ｄ=MＯ(F)而作用在點(diǎn)Ｏ的力F＇，其大小和方向與原力F相同，即相當(dāng)于把原來的力F從點(diǎn)A平移到點(diǎn)Ｏ，如圖4-4(ｃ)所示。（a）（b）（c）圖4-4于是，得到力的平移定理：作用于剛體上的力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)Ｏ，同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對于新作用點(diǎn)O的矩。

4.3平面一般力系向一點(diǎn)的簡化4.3.1簡化方法和結(jié)果設(shè)在物體上作用有平面一般力系F1、F2、…、Fn，如圖4-5(a)所示。為了將這力系簡化，在其作用面內(nèi)取任意一點(diǎn)Ｏ，根據(jù)力的平移定理，將力系中各力都平移到O點(diǎn)，就得到平面匯交力系F1＇、F2＇、…、Fn＇和附加的各力偶矩分別為m1、m2、…、mn的平面力偶系，如圖4-5(b)所示。平面匯交力系可合成為作用在O點(diǎn)的一個(gè)力，附加的平面力偶系可合成為一個(gè)力偶，如圖4-5(c)所示。任選的O點(diǎn)，稱為簡化中心。平面一般力系向任一點(diǎn)簡化，就是將平面一般力系中各力向簡化中心平移，同時(shí)附加上一個(gè)力偶系。(a)(b)(c)圖4-54.3.2主矢和主矩平面一般力系簡化為作用于簡化中心的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力R＇稱為原力系的主矢，這個(gè)力偶的力偶矩MO，稱為原力系對簡化中心的主矩。主矢R＇等于匯交力系F1＇、F2＇、…Fn＇的矢量和（4-5b）,因?yàn)?，各力F1＇、F2＇、…、Fn＇分別與各力F1、F2、…、Fn大小相等、方向相同，所以，主矢就等于原力系各力的矢量和，即

R＇=F1+F2+…+Fn=∑F

求主矢R＇的大小和方向，可應(yīng)用解析法。通過Ｏ點(diǎn)取直角坐標(biāo)系xoy，圖4--6所示，主矢R＇在x軸和y軸上的投影為

RX＇=FX1＇+FX2＇+…FXn＇=FX1+FX2+…FXn=∑FX和RY＇=FY1＇+FY2＇+…FYn＇=FY1+FY2+…FYn=∑FY

式中FX1＇、FY1＇和FX1、FY1分別是力Fi＇、Fi在坐標(biāo)軸x和y上的投影。由于力Fi＇和Fi大小相等、方向相同，所以它們在同一軸上的投影相等。得主矢R＇的大小和方向?yàn)棣翞橹魇窻＇與x軸所夾的銳角，R＇指向由∑FX和∑FY的正負(fù)號確定。由平面力偶系的合成知，主矩為

α為主矢R＇與x軸所夾的銳角，R＇指向由∑FX和∑FY的正負(fù)號確定。由平面力偶系的合成知，主矩為MＯ＇=m1+m2+…+mn因?yàn)楦鞲郊恿ε季胤謩e等于原力系中各力對簡化中心Ｏ點(diǎn)的矩，即m1=Mｏ（F1）m2=Mｏ（F2）………………mn=Mｏ(Fn)于是可得主矩為MＯ＇=Mｏ（F1）+Mｏ（F2）+…+Mｏ（Fn）=∑MＯ(F)=∑MＯ4.3.3結(jié)論綜上所述可知：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化的結(jié)果為一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡化中心，稱為原力系的主矢，且等于原力系中各力的矢量和；這個(gè)力偶的力偶矩稱為原力系對簡化中心的主矩，它等于原力系中各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和。主矢等于原力系各力的矢量和，它與簡化中心的選擇無關(guān)。主矩等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，與簡化中心的選擇有關(guān)。這是因?yàn)槿〔煌狞c(diǎn)為簡化中心，各力的力臂將會改變，則各力對簡化中心的矩也會改變，從而導(dǎo)致主矩的改變。所以對于主矩，必須標(biāo)明力系對于哪一點(diǎn)的主矩。主矢描述原力系對物體的平移作用，主矩描述原力系對物體繞簡化中心的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，二者的作用總和代表原力系對物體的作用。因此，單獨(dú)的主矢R＇或主矩MＯ并不與原力系等效，即主矢R＇不是原力系的合力，主矩MＯ也不是原力系的合力偶矩，而主矢R＇與主矩MＯ二者的共同作用才與原力系等效。4.4平面一般力系平衡的條件平面一般力系向任一點(diǎn)Ｏ簡化后，如果得到的主矢量R`和主矩Mo。如果該平面一般力系使物體保持平衡，則必然有R＇=0，Mo=0。反之，如果R＇=0，Mo=0，則說明原力系就是平衡力系。因此，平面一般力系平衡的必要和充分條件是力系的主矢量及力系對任一點(diǎn)的主矩均為零，即R＇=0，Mo=0由于Mo=∑mo(F)故平面一般力系的平衡條件為=0=0（4-1）∑mo(F)=0即，平面一般力系平衡的必要和充分條件也可敘述為：力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；力系中各力對于任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。式(4-1)叫做平面一般力系的平衡方程，其中前兩個(gè)叫做投影方程，后一個(gè)叫做力矩方程?？梢园淹队胺匠痰暮饫斫鉃槲矬w在力系作用下沿坐標(biāo)軸FX和FY方向不可能移動(dòng)；將力矩方程的含意理解為物體在力系作用下繞任一矩心均不能轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)滿足平衡方程時(shí)，物體既不能移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，這就保證了物體處于平衡狀態(tài)。當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，可應(yīng)用這三個(gè)平衡方程求解三個(gè)未知量。式(4-1)是平面一般力系平衡方程的基本形式。除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式或三力矩形式。1．二力矩形式二力矩形式的平衡方程是：

∑FX=0∑mA(F)=0（4-2）∑mB(F)=0

該平衡方程的限制條件是：FX軸不能與A、B兩點(diǎn)的連線垂直。2．三力矩形式三力矩形式的平衡方程是：∑mA(F)=0∑mB(F)=0（4-3）∑mＣ(F)=0

該平衡方程的限制條件是：A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上。平面一般力系的平衡方程雖有三種形式，但不論采用哪種形式，都能夠?qū)懗觥⑶抑荒軐懗鋈齻€(gè)獨(dú)立的平衡方程。所以，對于平面一般力系來說，應(yīng)用平衡方程，只能求解三個(gè)未知量。在實(shí)際解題時(shí)，所選的平衡方程形式應(yīng)盡可能使計(jì)算簡便，力求在一個(gè)方程中只包含一個(gè)未知量，避免求解聯(lián)立方程?！纠?-1】一鋼筋混凝土剛架受荷在作用及支承情況如圖4-6(a)所示。已知P=5kN，m=2kN·m，剛架自重不計(jì)，試求A、B處的支座反力。(a)(b)解取剛架為研究對象，剛架的受力圖如圖4-6(b)所示。作用在剛架上的有已知的力P和力偶m，未知的支座反力RA和FXB、FYB，它們組成一個(gè)平面一般力系。剛架在力系作用下平衡，可用三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求解三個(gè)未知力。作用在剛架上有一個(gè)力偶荷載。由于力偶在任一軸上的投影均為零，因此，力偶在投影方程中不出現(xiàn)；由于力偶對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)，因此，在力矩方程中可直接將力偶矩列入。取坐標(biāo)系如圖4-6(b)所示，則由∑FX=0，P-FXB=0得FXB=P=5kN(←)由∑mA(F)=0，-P×3-m+FYB×3=0得FYB=(3P+m)／3=(3×5+2)／3=5.67kN(↑)由∑FY=0，RA+FYB=0得RA=-FYB=-5.67kN(↓)本題中RA值為負(fù)，說明RA的實(shí)際指向與假設(shè)指向相反，在答案后面的括號內(nèi)應(yīng)標(biāo)注出實(shí)際指向；FXB和FYB值為正，說明FXB、FYB的實(shí)際指向與假設(shè)指向一致?！纠?-2】受有集度為q的均布荷載，并在B端作用一集中力P，如圖4-7(a)，設(shè)梁長為l，試求固定端A的約束反力。

(a)(b)圖4-7解固定端支座A處，有FXA和FYA兩個(gè)未知力和一個(gè)約束反力偶mA，如圖4.7(b)所示。此時(shí)梁AB在已知荷載q、P和未知的約束反力作用下平衡。列平衡方程時(shí)，均布荷載q可用其合力Q表示，Q=ql，方向與均布荷載方向相同，作用在AB段的中點(diǎn)。選取坐標(biāo)系如圖4.7b所示?！艶X=0FXA=0；∑FY=0FYA-ql-p=0得FYA=ql+P(↑)∑mA(F)=0，mA-ql·l／2-Pl=0得mA=ql／2+Pl()建筑工程中的雨篷、陽臺等，它們一端牢固地嵌入墻內(nèi)，另一端無約束，這類結(jié)構(gòu)叫做懸臂結(jié)構(gòu)。在力學(xué)計(jì)算時(shí)，它們都作為懸臂梁來考慮。懸臂結(jié)構(gòu)因其受力情況的特殊性，比較容易發(fā)生倒塌事故?！纠?-3】如圖4-8(a)，梁AC在C處受集中力P作用，設(shè)P=30kN，試求A、B支座的約束反力。解以外伸梁為研究對象，畫其受力圖，并選取坐標(biāo)軸，如圖4.8(b)所示作用在外伸梁上的有已知力P，未知的支座反力FXA、FYA和RB，運(yùn)用三個(gè)獨(dú)立的平衡方程可求解三個(gè)未知力。

(a)(b)圖4.8由∑mA(F)=0，RB×3-Psin30°×4=0得RB=Psin30°×4/3=30×0.5×4/3=20kN(↑)由∑FX=0，F(xiàn)XA-Pcos30°=0得FXA=Pcos30°=30×0.866=25.98kN(→)由∑mc(F)=0，-FYA×4-RB×1=0得FYA=-RB/4=-20/4=-5kN(↓)力系既然平衡，則力系中各力在任一軸上的投影的代數(shù)和必然等于零，力系中各力對于任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和也必然等于零，因此可再列出其它的平衡方程，用以校核計(jì)算的正確與否。校核：∑FY=FYA+RB-Psin30°=-5+20-30×0.5=0說明求得的FYA和RB之值是正確的?！纠?-4】圖4-9(a)所示的位置時(shí)平衡。已知吊桿AB長10m，吊桿重G=10kN，重心在吊桿AB的中點(diǎn)，起吊物重Q=30kN，α=45°，β=30°，試計(jì)算鋼絲繩所受的拉力和鉸鏈A所受的反力。(a)(b)圖4.9解取吊桿AB為研究對象。作用在吊桿AB上的已知力有重物的重力Q及吊桿的重力G，未知力有鋼絲繩的拉力T和鉸A的約束反力FXA、FYA。以上各力組成了平衡的平面一般力系。吊桿的受力圖及選取的坐標(biāo)軸如圖4-9(b)所示。用平面一般力系的平衡方程可以求解三個(gè)未知力，由∑mA(F)=0T×10×sin30°-G×5×cos45°-Q×10×cos45°=0得T=10×5×0.70170+30×10×0.707／10×0.5=49.5kN(↙)由∑FX=0，F(xiàn)XA-T·cosl5°=0得FXA=T·cosl5°=49.5×0.966=47.8kN(→)由∑FY=0，F(xiàn)YA-Tsin15°-G-Q=0得FYA=T·sin15°+G+Q=49.5×0.259+10+30=52.8kN(↑)計(jì)算結(jié)果中不帶負(fù)號，說明各約束反力的假設(shè)指向與實(shí)際指向一致。校核：∑mB(F)=FXA×10×sin45°+G×5×sin45°-FYA×10×cos45°=47.8×10×0.707+10×5×0.707-52.8×10×0.707=338+35.3-373.3=0說明求得的反力大小FXA和FYA是正確的。通過以上營例題的分謹(jǐn)析，可將臂求解平面替一般力系匹平衡問題納的解題步緣瑞驟和方法協(xié)歸納如下趟：(1)根瞇據(jù)題意選報(bào)取適當(dāng)?shù)陌櫻芯繉ο箸R。(2)孕對研究珠對象進(jìn)元行受力妨分析，指畫出受歉力圖。矛要根據(jù)洽各種約輕束的性紫質(zhì)來畫蜘約束反召力。當(dāng)鹿反力的謊指向不慰能確定含時(shí)，可喂以任意吊假設(shè)其福指向。環(huán)若計(jì)算誰結(jié)果為澡正，則穴表示假橋設(shè)的指彩向與實(shí)崖際指向肌一致；林若計(jì)算促結(jié)果為柏負(fù)，則陸表示假泄設(shè)的指們向與實(shí)微際指向吉相反。蘇畫受力商圖時(shí)，媽注意不傭要遺漏泛作用在亮研究物趙體上的足主動(dòng)力困。(3)選辰用適當(dāng)形敢式的平衡菜方程，最換好是一個(gè)顛方程只包爽含一個(gè)未塑知量，這金樣可免于典解聯(lián)立方洲程，簡化抬計(jì)算。為命此，要選貪取適當(dāng)?shù)慕甲鴺?biāo)軸和哭矩心，當(dāng)巧所選的坐茶標(biāo)軸與未慨知力作用鮮線垂直時(shí)四，該未知巷力在此軸狡上的投影氧為零，可予使所建立司的投影方盞程中未知烤量個(gè)數(shù)減劈燕少，但也杜要照顧到凝計(jì)算各力典投影的方鳥便。盡可雙能將矩心艇選在兩個(gè)侮未知力的主交點(diǎn)上，描這樣，通孩過矩心的酸這兩個(gè)未列知力的力喊矩等于零巡壽，可使力畢矩方程中奇含的未知再量減少；灑當(dāng)然，按新上述做法辱時(shí)，也應(yīng)會照顧到計(jì)求算各力對肌所選矩心探的力臂簡栗便。(4)求警出所有未圾知量后，朱可利用其趕它形式的勝平衡方程償對計(jì)算結(jié)福果進(jìn)行校械核。4.5滾平面平移行力系斗平衡的傳條件在平面盞力系中對如各力餅的作用查線互相嶺平行，叫這樣的賽力系就聞是平面淹平行力朝系。平面平行詢力系是平挺面一般力緞系的特殊以情況，因爽此，它的喊平衡方程元可由平面逢一般力系甲的平衡方惱程導(dǎo)出。臟如果取x軸與平行刪力系各力辰的作用線攔垂直，y枕軸與各力集平行(圖歪4-10械)，則不善論力系是稻否平衡，版各力在x櫻軸上的投正影恒為零偵。于是，∑FX=0成為恒幅等式，笛而不必孫再列出就。因此，挽由平面肚一般力銅系平衡妥方程的撫基本形慈式可得勝平面平掉行力系李的平衡趙方程為∑FY=0∑mo(F)=0因各力與y軸平行福，因此∑FY=0就是各個(gè)儲力的代數(shù)腐和等于零張。這樣，投平面平行燙力系平衡訴的必要和坊充分條件享是：力系共中所有各搜力的代數(shù)弟和等于零薯，力系中岡各力對任腔一點(diǎn)的力窮矩的代數(shù)婆和等于零括。同樣，孝由平面攪一般力裕系平衡鐮方程的羊二力矩市形式可爹得平面乞平行力釀系平衡鎮(zhèn)方程的拋另一形鐮式是∑mA(F)=0∑mB(F)=0其中A壓、B兩憐點(diǎn)的連的線不與利力系平圾行。平面平恒行力系珠只有兩企個(gè)獨(dú)立銀的平衡事方程，呀因而只室能求解歉兩個(gè)未酷知量。圖4-繩10(a)幅(b冒)圖4-1犁1【例4燦-5】簡支梁A捆B受荷及內(nèi)尺寸如圖筐4-11循(a)所義示。已知天均布荷載鑰的集度q罰=20窯kN／m巴，試求支打座A、B超的反力。解取梁AB債為研究對蒼象，畫出領(lǐng)受力圖如泉圖4-1風(fēng)1(b)辯所示。作搖用在梁上受的有已知疼荷載q，次未知力有RB、FYA和FXA。除FXA外，以上維各力都互漲相平行，攤顯然在∑FX=0式中，疊FXA必然為零顯，于是，腐可按平面舊平行力系摟的平衡方乖程求出FYA和RB。根據(jù)合窄力矩定妥理，均聞布荷載春對某矩戴心力矩雨之和，免等于它說們的合梁力Q對該矩宏心的力叨矩。均棚布荷載已的合力勿大小Q紗=20高×4=龜80總kN，察方向與旱均布荷篩載相同斃，作用脹在BC莫段的中雅點(diǎn)。由∑mB(F)=0，健80嘩×2-FYA×6=蜻0得FYA=80×居2/6=絮26.6添7kN(叢↑)由∑mA(F)=0，趙RB×6-型80×串4=0得RB=80榨×4/條6=5獵3.3簽3k缺N(↑漆)校核：∑FY=26.解67-8撇0+53嬌.33=穿0經(jīng)校核說距明計(jì)算正付確?！纠?-罷6】一橋梁柿桁架受仆荷載P1，和P2作用，墳桁架各邁桿的自仇重不計(jì)扔，尺寸豆如圖4圣-12友所示。案已知賤P1=50翁kN棚，P2=30裂kN涼，試求資A、B饑支座的支反力。圖4.12解以整個(gè)桁意架為研究址對象，支墨座A的反嶺力應(yīng)與各拆力作用線墨平行，因資此作用在煌桁架上的括已知力P1、P2和未知力保RA、RB組成了平傻衡的平面周平行力系窗。列平衡秩方程求解并支座反力RA和RB：由∑mA(F)=0，RB×20-仇P1×4-粗P2粗×12洪=0得RB=(50燃×4+3器0×12篩)/20均=28泥kN(↑)由∑FY=0，RA+RB-P1-P2=0得RA=P1+P2-RB=50底+30尖-28裝=52貨kN(↑)本例也可皺以用∑益mB(F)=爆0求RA?，F(xiàn)在，我決們用它來冰校核：∑mB(F)=P雄1×16筒+P2漠×8-區(qū)RA×20=50×排16+3守0×8-供52×2源0=0經(jīng)校核振說明計(jì)閱算正確秩?！纠?店-7】圖4-1咳3為某廠糾房預(yù)制鋼鼓筋混凝土慰柱的示意烤圖。根據(jù)膏柱的尺寸零，計(jì)算出郊柱的自重委為q=4宣kN／螞m，求剛獲起吊時(shí)繩迅的拉力及丙A點(diǎn)的反漢力。解剛起吊時(shí)襖，可將柱伐近似地視賽為一根水堅(jiān)平放置的完外伸梁。菌主動(dòng)力是叉均勻分布辣的構(gòu)件，腎自重q蛇；地面在筍A點(diǎn)的支菌承作用相興當(dāng)于一個(gè)走不動(dòng)鉸支云座，反力探是FYA；繩的溉拉力FYB作用于B點(diǎn)。骨上述各力子構(gòu)成了平咳面平行力降系。均布荷載陜q的合力彈大小Q=鈴4×6=解24kN間，作用于餅構(gòu)件中點(diǎn)嘉，至A端差距離為3松m，至超B點(diǎn)距離程為1m躺。由∑mA(F)=0胞，4咳FYB-24×扇3=0得紐奉FYB=24×歪3／4=臟18k謙N(↑)由潔∑循mB(F)芳=0，封24×鳳1-FYA×4=壓0得劇FYA=24∕腳4=6猛kN(↑托)校核：申∑FY=-24搬+18+晶6=0經(jīng)校核說些明計(jì)算正滴確。需要說玻明的是憲柱子在凍剛起吊斥時(shí)，構(gòu)昨件處于晉加速運(yùn)濤動(dòng)狀態(tài)糕，實(shí)際帝的反力杜FYA及拉力FYB的值要比慶靜力平衡希方程算出童的數(shù)值大略，在設(shè)計(jì)就時(shí)還需要央乘以動(dòng)力篇系數(shù)。圖4.1班3罵圖4.限14【例4姐-8】圖4-1泳4中的塔桂式起重機(jī)稼，機(jī)身總繩重量W=削220鋸kN，最五大起重量融P=50階kN，辜平衡錘重告Q=30像kN。皂試求空載芳及滿載時(shí)單，軌道A唱、B的約妨束反力。南并問此起提重機(jī)在空社載和滿載械時(shí)會不會測翻倒。解取起重父機(jī)為研忍究對象童。作用忠在起重?cái)U(kuò)機(jī)上的業(yè)主動(dòng)力乓有W、Q、P，它們都塞是鉛垂向洲下的，還菌有軌道對漠輪子的約醋束反力RA、RB，它們瘦是垂直褲向上的等。以上季各力構(gòu)憑成了平暮面平行受力系。袍由平衡雙條件∑mB(F)=0捷，則Q網(wǎng)(6+2敵)+W×澆2一P(禍12—2膛)-RA封×4=0物(a)∑mA(F)無=0則Q亭(6-2祖)-W×值2-P(踏12+2件)+RB烤×4程=0獸(b釘)解得稱RA=2Q聾+0.虧5W-紛2.5薪PRB=-Q搬+0.才5W+畜3.5潮P描(c鋤)當(dāng)滿載血時(shí)，P瞞=50鉛kN配，代入魯式(c盆)得昨RA=2×3喂0+0.菜5FX2倉20-2內(nèi).5FX徑50=攜45k遲N(↑)RB=-30曠+0.5俗×220班+3.5林×50=箭255僅kN(↑診)當(dāng)空載時(shí)才，P=0遮，代入式日(c)得煌RA=2×3資0+0.裕5×22消0=17萌0kN(臥↑)RB=-3殼0+1蒜10=漁80萬kN(膨↑)滿載時(shí)，龍為了保證河起重機(jī)不耳致繞B點(diǎn)鑼翻倒，要摔求軌道對并A輪的約續(xù)束反力RA大于零立；空載研時(shí)，為匪了保證時(shí)起重機(jī)故不致繞怒A點(diǎn)翻徑倒，要殃求軌道廚對B輪種的約束必反力RB大于零母。本例案計(jì)算結(jié)朝果表明榮：滿載筆時(shí)，RA=45獨(dú)kN>0旨；空載時(shí)云RB=80盡kN往>0。麥因此，檢起重機(jī)食在使用暢過程中傭不會翻抓倒。4.6汁平面一禮般力系憲平衡方嫌程的應(yīng)月用在工程中丟，常常遇吹到由多個(gè)永物體通過隙一定的約肥束聯(lián)系在假一起的系此統(tǒng)，這種紹系統(tǒng)稱為夠物體系統(tǒng)拜。例如圖輝4-15谷(a)所殃示的組合口梁，就是夜由梁AB炕和粱BC聽′通過鉸袋B連接，紗并支承在仍A、C支艇座而組成貝的一個(gè)物到體系統(tǒng)。咬所謂物體辟系統(tǒng)的平伙衡是指組豆成系統(tǒng)的橡每一物體荷及系統(tǒng)整敬體都處于切平衡狀態(tài)曾。研究物體圾系統(tǒng)的平夸衡問題，縮慧不僅要求恒解支座反拋力，而且頌還需要計(jì)飲算系統(tǒng)內(nèi)礙各物體之籌間的相互茄作用力。(a)(b)(c)(d)圖4-號15我們把猴作用在漢物體系景統(tǒng)上的面力分為圣外力和河內(nèi)力。祥所謂外蛙力，就琴是系統(tǒng)掉以外的彩物體作陵用在這井系統(tǒng)上巧的力；披所謂內(nèi)陡力，就材是在系跡統(tǒng)內(nèi)各缸物體之殘間相互照作用的旱力。例畢如組合器梁所受伶的荷載第與A、拋C支座山的反力掘就是外驕力(圖隆4-1蘋5(b頭))，猛而在B淋鉸處左翻右兩段巧梁相互花作用的昂力就是煙組合梁曉的內(nèi)力古。要暴迷露內(nèi)力陷必須將國物體系辣統(tǒng)拆開抖，將各穩(wěn)物體在徐它們相倒互聯(lián)系鈔的地方左拆開，烤分別分踐析單個(gè)爪物體的校受力情德況，畫釋出它們纖的受力廢圖，如湯將組合寬梁在鉸奶B處拆約開為兩蠟段梁，廟分別畫振出這兩快段梁的頂受力圖林(圖4貼-15與(c)任、(d惰))。酬外力和銷內(nèi)力的甜概念是牽相對的俱，決定拌于所選倆取的研究究對象受。例如節(jié)圖4-龍15組探合梁在排B鉸處妙兩段梁控的相互優(yōu)作用力歷，對組時(shí)合梁整無體來說靠，就是厚內(nèi)力；滴而對左踏段梁或拆右段梁悼來說，鎮(zhèn)就成為釣外力了鮮。求解物遠(yuǎn)體系統(tǒng)推的平衡宵問題，載就是計(jì)艦算出物添體系統(tǒng)茫的內(nèi)、凍外約束橋反力。厭解決問允題的關(guān)饑鍵在于膝恰當(dāng)?shù)嘏f選取研隊(duì)究對象拼，一般店有兩種盲選取的逆方法：1．先取鬧整個(gè)物體情系統(tǒng)作為紀(jì)研究對象悅，求得某個(gè)些未知量描；再取其丘中某部分俗物體(一色個(gè)物體或薄幾個(gè)物體月的組合)肉作為研究爭對象，求蹤蝶出其他未招知量。2．先遵取某部慰分物體冰作為研盤究對象忽，再取乳其他部奔分物體唐或整體宰作為研燦究對象鏈，逐步您求得所豆有的未宿知量。不論取標(biāo)整個(gè)物妖體系統(tǒng)腦或是系架統(tǒng)中某寨一部分里作為研那究對象夠。都可先根據(jù)研發(fā)究對象營所受的壩力系的醋類別列伙出相應(yīng)抱的平衡偉方程去欲求解未盞知量。尋例如要詠求圖4拒-15隸a所示趨組合粱植在A、穗B、C聞處的約代束反力柜，可先姑取BC趁梁作為半研究對紙象，畫勉其受力燥圖(圖搭4-1深5c)絨，所受級各力組貼成平面灑一般力定系，列豆出三個(gè)嗎平衡方勝程，求群得RC、FXB、FYB三個(gè)未遷知力；讀再取A家B梁作換為研究游對象，憶由其受星力圖(互圖4-后15d融)可見腐所受各率力也組聚成平面萬一般力濱系，而泡且FXB′、FYB′和FXB、FYB是作用與刷反作用關(guān)顏系已經(jīng)求山得，這樣藝，余下三圖個(gè)未知量FXA、FYA、漿mA可由三晨個(gè)平衡限方程求薯解。一鎖般說；濱系統(tǒng)由旺n個(gè)物稈體組成污，而每腿個(gè)物體職又都是兼受平面凍一般力慘系作用牧，則共絲式可列出喇3n個(gè)小獨(dú)立的囑平衡方思程，從課而可以掘求解3莫n個(gè)未秩知量。殿如果系謝統(tǒng)中的田物體受專的是平蹈面匯交激力系或塵平面平禍行力系躬作用，旨則獨(dú)立議的平衡扒方程的針個(gè)數(shù)將咸相應(yīng)減忽少，而雄所能求腥的未知觀量的個(gè)訴數(shù)也相浮應(yīng)減少撒。下面舉例粱說明求解門物體系統(tǒng)展平衡問題兔的方法?！纠?-遵9】組合梁銅受荷載朗如圖4典-16承(a)漏所示。池已知q=5k疫N／m，P=3盟0kN，梁自重罷不計(jì)，求低支座A、執(zhí)B、D的扔反力。解組合梁日由兩段喜AC、然CD在桌C處用聾鉸鏈連挽接并支閑承于三妻個(gè)支座設(shè)上而構(gòu)拜成；若取整贏個(gè)梁為存研究對盤象，畫梯其受力拐圖如圖宵4-1煤6(d造)所示惡。由受雄力圖可旋知，它和在平面味平行力莫系作用瞇下平衡晨，有RA、RB和RD三個(gè)未知遷量，而獨(dú)趟立的平衡劣方程只有久兩個(gè)，不芝能求解。胖因而需要迫將梁從鉸非C處拆開牙，分別考估慮CD段漫和AC段默的平衡，盒畫出它們居的受力圖甘如圖4-納21(b推)、(c波)所示。蕉在梁CD沖段上，作圣用著平面裂平行力系問，只有兩攤個(gè)未知量甩，應(yīng)用平經(jīng)衡方程可篇求得RD,RD求出后，境再考慮整拜體平衡(喬圖4-1穗5(d)口)，RA、RB也可求末出。(a)(b)(c)(d)圖4-伏16綜上分析死，求法如裁下：(1)期取梁CD芒段為研究醒對象(圖希4-15掏(b))丈,∑MC=0，RD×4-逗P×2盈=0祝RD=2P紗/4=杯2×3伶0/4榜=15竹kN大(↑)(2)秧取整個(gè)組租合梁為研電究對象(漢圖4-1記5(d)列)∑MA=0假RB×6+惑RD×12乒-q×野4×2晴一P×君10=樓0RB=（8q怕+10P洪-12RD）/6=雹（8×5咐+10×華30-1宰2×15仔）/6=載26.7窯kN(↑)∑MB=0掛q×4×周4-P×乘4-RA×6+RD×6=轉(zhuǎn)0RA=（16廣q-4p禍+6RD）/6拌=（1貨6×5偽-4×鑄30+值6×1會5）/任6=良8.3瓜3k斥N(↑)校核：振對整個(gè)戒組合梁蜻，列出∑FY=RA+RB+RD-q×省4-P撲=8.節(jié)33+編26.渾7+1笨5-5揮×4-北30≈薄0可見計(jì)催算正確棒。本題還可撥先取梁C恰D段為研夏究對象，掛求解RC和RD；再取梁怕AC段為鹽研究對象絮，求解RA和RB。但這妙一種解湯法不如汁上述解擋法簡單線?！纠?-示10】鋼筋混凝讀土三鉸剛喘架受荷載訴如圖4-閣17(a件)所示，井已知P=12壟kN，肢q=8村kN／m，求支座會A、B及測頂鉸C處氏的約束反定力。解：三鉸爬拱由左破、右兩號半拱組飯成。分跪別分析第整個(gè)三承鉸拱和卸左、右黨兩半拱掀的受力優(yōu)，畫出財(cái)它們的譯受力圖壤，如圖寇4-1饒7(b款)、(處c)、鏡(d)碗所示。強(qiáng)由圖可吉見，不逢論是整弟個(gè)三鉸霸拱或是勒左、右擁半拱都糾各有四孕個(gè)未知凝數(shù)，不蜘過總的焰未知數(shù)勉個(gè)數(shù)只港有六個(gè)竹。因而相分別選枝取整體心和左(徑或右)富半拱為衡研究對貫象，列貞出六個(gè)尤平衡方察程，可辨以求解袋六個(gè)未胸知數(shù)；脈也可以次分別選次取左、蕩右兩半為拱為研撫究對象鐘，求解何六個(gè)未墨知數(shù)。噴但是，飲這樣解忙法計(jì)算夜較繁。勁我們注偵意到整俱個(gè)三鉸隱拱雖有拌四個(gè)未添知力，耐但若分富別以A識和B為交矩心，蛇列出力袋矩方程匠，可以遙方便地怖求出FYB和FYA。然后，費(fèi)再考慮一凳個(gè)半拱的員平衡，這猜時(shí)，每個(gè)禍半拱都只尚剩下三個(gè)潤未知力，覆問題就迎獲刃而解了雙。圖4-1至7綜上分析攔；計(jì)算如籮下：(1)真取整個(gè)犧三鉸拱突為研究磁對象(島圖4-諸17(宏b)墾)由∑MA=0，-愛q×6×宇3-P×漢8+FYB×12=詢0得FYB=（18聽q+8p莊）/12蟲=（18描×8+8習(xí)×12）扒/12=科20k區(qū)N(↑)由∑MB=0臣q×辦6×9+徹p×4-宜FYA×12華=0得FYA=（5尊4q+清4p）慨/12躍=40翁kN(↑)由∑FX=0冊FX括A-F濤XB=挺0得FXA=FXB(2)取藍(lán)左半拱為改研究對象額(圖4-擠17(c姥))，由∑MC=0絨FXA×8-緞FYA×6+q南×6×3壤=0得FXA=（6FYA-18q擇）/8需=（6梢×40每-18桂×8）尸/8=同12k猶N(→)由∑FX=0照FXA-FXC=0得FXC=FXA=12捧kN由∑FY=0顆FYA+FYC-q×醫(yī)6=0得FYC=6q至-FYA=6×8吉-40=調(diào)8kN將FXA的值代入窄式(a)王，可得FXB=FXA=12桐kN(←)校核：考慮右半油拱的平衡刻，由于∑FX=FXC′-FXB=FXC-FXB=12-扇12=0∑FY=FYB-FYC′-P=夕FYB-FYC-P=2潮0-8-陰12=0∑MC=-p禁×2-FXB×8+贈FYB×6=-零12×2活-12×溫8+20魯×6=0可見計(jì)傾算正確標(biāo)。通過以上窄實(shí)例的分抽析，可見塔物體系統(tǒng)抱平衡問題睜的解題步漁驟與單個(gè)彎物體的平徐衡問題基因本相同。漫現(xiàn)將物體茫系統(tǒng)平衡禽問題的解傲題特點(diǎn)歸跡納如下：價(jià)．1．適當(dāng)桿選取研究遺對象。如整個(gè)系女統(tǒng)的外約且束力未知臂量不超過羽三個(gè)，或杜者雖然超杯過三個(gè)但系不拆開也灣能求出一丑部分未知蔑量時(shí)，可憲先選擇整梁個(gè)系統(tǒng)為勾研究對象躁。如整個(gè)系逐統(tǒng)的外約盞束力未知嘗量超過三洗個(gè)，必須證拆開才能危求出全部鍵未知量時(shí)召，通常先假選擇受力砍情形最簡議單的某一隸部分(一甜個(gè)物體或罷幾個(gè)物體崇)作為研謙究對象，請且最好這庫個(gè)研究對粥象所包含妥的未知量藍(lán)個(gè)數(shù)不超拒過此研究悄對象所受山的力系的跪獨(dú)立平衡肉方程的數(shù)救目。需要飽將系統(tǒng)拆騙開時(shí)，要芒在各個(gè)物渣體連接處結(jié)拆開，而患不應(yīng)將物皮體或桿件再切斷，但暑對二力桿東可以切斷莫。選取研廉究對象潮的具體威方法是債：先分情析整個(gè)簡系統(tǒng)及敵系統(tǒng)內(nèi)蜻各個(gè)物暴體的受美力情況玻，畫出謎它們的剝受力圖螞，然后談選取研徹究對象稈。2．畫