山東省煙臺(tái)市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第18頁/共18頁第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求出作答.【詳解】依題意，，所以.故選：B2.已知向量、的夾角為，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?、的夾角為，，，則，因此，.故選：B.3.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以，所以.故選：C4.故宮是世界上規(guī)模最大，保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮“乾清宮”宮殿房檐的設(shè)計(jì)在夏至前后幾天屋檐遮陰，在冬至前后幾天正午太陽光就會(huì)通過地磚反射到“正大光明”匾上，驚艷絕倫．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角為73°，冬至前后正午太陽高度角為，如圖，測(cè)得，則房檐A點(diǎn)距地面的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的邊角關(guān)系及正弦定理解決本題即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A在地面的射影為D，由已知得，，則；在三角形ABC中，由正弦定理，得.在直角三角形ABD中，.故選：D5.在中，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，記，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，利用基向量，結(jié)合向量的運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為BC中點(diǎn)，所以；因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以；所以.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)、、，利用正切函數(shù)的單調(diào)性以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，，因?yàn)椋瑒t，即.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)在上的值域，再根據(jù)已知求出m的范圍作答.【詳解】，，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，，，而，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，即，依題意，，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為是.故選：C8.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為．若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)正弦定理邊化角，再消去，可得，利用三角形是銳角三角形，可得，進(jìn)而求出，對(duì)化簡(jiǎn)，可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是銳角，則，則，，所以，即，所以，解得，所以.，則，則，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.z的虛部為 B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C. D.z是關(guān)于x方程的一個(gè)根【答案】BCD【解析】【分析】把復(fù)數(shù)化成，利用復(fù)數(shù)的意義判斷A；求出、判斷BC；利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的虛部為，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，B正確；，，則，C正確；，即z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，D正確.故選：BCD10.已知向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則與夾角的余弦值為 B.若，則C.若，則與的夾角為銳角 D.向量在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；由平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；分析可知且與不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，若，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若與夾角為銳角，則，解得，且與不共線，所以，，所以，當(dāng)且時(shí)，與的夾角為銳角，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在上的投影向量，D對(duì).故選：ABD.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值2D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，，即，而，解得，，有，因?yàn)辄c(diǎn)與在函數(shù)圖象上相鄰，因此，解得，于是，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，C正確；對(duì)于D，取，有，此時(shí)有，而，D錯(cuò)誤.故選：AC12.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，O為外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.外接圓面積為C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面積公式、數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷各選項(xiàng)作答.【詳解】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯(cuò)誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用差角的正弦求解作答.【詳解】因?yàn)椋瑑蛇吰椒降茫?，解得，又，即，則，所以,故答案為：14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：______．（寫出一個(gè)符合條件的即可）①對(duì)于任意，都有；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③的值域?yàn)椋敬鸢浮浚ù鸢覆晃ㄒ唬窘馕觥俊痉治觥坑尚再|(zhì)①可得的周期為，再由性質(zhì)②③寫出滿足3個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)即可.【詳解】任意，，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則由性質(zhì)①，可令，由性質(zhì)②知，，而，則，由性質(zhì)③知，，解得，于是，所以同時(shí)滿足給定三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)可以為.故答案為：15.在中，，，D是邊AB上一點(diǎn)，且滿足，則的值為______．【答案】2【解析】【分析】由可得為邊上的高，利用邊長(zhǎng)關(guān)系可求，再利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化后可求的值.詳解】因?yàn)?，故即，故為邊上的高，?又可化為，而，所以，整理得到：，故，故即故答案為：2.16.趙爽是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，給出了“趙爽弦圖”：四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，正方形EFGH邊長(zhǎng)為1，則的值為______；______．【答案】①.6②.【解析】【分析】根據(jù)給定的“趙爽弦圖”，利用勾股定理求出的值，再利用向量數(shù)量積的定義求出，利用和角的正切求出作答.【詳解】依題意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案為：6；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）已知，，，求與夾角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，求得與，從而求出，由兩角和的正切公式即可求出的值;（2）根據(jù)向量的模的公式和兩個(gè)向量的夾角公式，即可求出.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，即且，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以.（2）因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，所以，，設(shè)與夾角為，,因?yàn)?，所以，故與夾角為.18.已知向量，向量與的夾角為，且．（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量，，向量，若，求的最大值并求出此時(shí)x的取值集合．【答案】（1）或；（2）3，.【解析】【分析】（1）設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積和向量的模建立方程組并求解作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合確定向量，再求出并借助輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求解任何.【小問1詳解】設(shè)，依題意，，，而，因此，解得或，所以向量的坐標(biāo)是或.【小問2詳解】向量，且，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意，即，則，，因?yàn)?，則當(dāng)，即時(shí)，，所以的最大值是3，此時(shí)x的取值集合是.19.在中，角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角C的大??；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)求得，由此可得.（2）由三角形面積公式可求得，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，由此可得三角形周長(zhǎng).【小問1詳解】在中，由正弦定理及得：，整理得：，而，則，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，依題意，，解得，由余弦定理得：，解得：，所以的周長(zhǎng).20.觀察以下各式：；；．分析以上各式的共同特點(diǎn)，寫出一個(gè)能反映一般規(guī)律的等式，并證明該等式．【答案】見解析【解析】【分析】利用兩角和與差的正切公式即可證明.【詳解】，其中，證明：，則，則左邊右邊.故等式成立.21.綠水青山就是金山銀山．近年來，祖國(guó)各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)蓬勃發(fā)展．某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域，如圖，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備在中間區(qū)域打造兒童樂園，M，N都在邊AC（不含A，C）上且，設(shè)．（1）若，求的值；（2）求面積的最小值和此時(shí)角值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的條件，利用同角公式、誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式計(jì)算作答.（2）利用正弦定理用正余弦表示，再利用三角形面積公式列式，借助三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】依題意，，則，而，.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，而，，則，在中，，，，在中，由正弦定理得，，而，，，，顯然，有，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最小值.22.設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范圍．【答案】（1）；（2）①2；②.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)