2023屆上海市靜安區(qū)上戲附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為假命題，則均為假命題；③命題，則，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．設(shè)，，，則大小關(guān)系是()A． B．C． D．3．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件B．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率超過50%，在3月最高C．從兩圖來看2019年1~4月中的同一個(gè)月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致D．從1~4月來看，該省在2019年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長5．函數(shù)過原點(diǎn)的切線的斜率為（）A． B．1 C． D．6．記函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．2018年6月14日，世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕.通過隨機(jī)調(diào)查某小區(qū)100名性別不同的居民是否觀看世界杯比賽，得到以下列聯(lián)表：觀看世界杯不觀看世界杯總計(jì)男402060女152540總計(jì)5545100經(jīng)計(jì)算的觀測值.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828參照附表，所得結(jié)論正確的是（）A．有以上的把握認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別無關(guān)”8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的值為時(shí)，則輸入的（）A． B． C． D．9．若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為()A． B． C． D．10．某班有50人，從中選10人均分2組（即每組5人），一組打掃教室，一組打掃操場，那么不同的選派法有（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－12．若函數(shù)f(x)=x2lnx與函數(shù)A．(-∞,1e2-1e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，則t的取值范圍為________.14．函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________.15．若滿足約束條件則的最大值為__________．16．在的展開式中的系數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）思南縣第九屆中小學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年6月13日在思南中學(xué)舉行，組委會(huì)在思南中學(xué)招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.男女9157789998161245898650172345674211801119（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達(dá)式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.20．（12分）已知集合，其中。表示集合A中任意兩個(gè)不同元素的和的不同值的個(gè)數(shù)。(1)若，分別求和的值；(2)若集合，求的值，并說明理由；(3)集合中有2019個(gè)元素，求的最小值，并說明理由。21．（12分）寧德市某汽車銷售中心為了了解市民購買中檔轎車的意向，在市內(nèi)隨機(jī)抽取了100名市民為樣本進(jìn)行調(diào)查，他們月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布及有意向購買中檔轎車人數(shù)如下表：月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)頻數(shù)6243020155有意向購買中檔轎車人數(shù)212261172將月收入不低于6千元的人群稱為“中等收入族”，月收入低于6千元的人群稱為“非中等收入族”．（Ⅰ）在樣本中從月收入在[3，4)的市民中隨機(jī)抽取3名，求至少有1名市民“有意向購買中檔轎車”的概率.（Ⅱ）根據(jù)已知條件完善下面的2×2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認(rèn)為有意向購買中檔轎車與收入高低有關(guān)？非中等收入族中等收入族總計(jì)有意向購買中檔轎車人數(shù)40無意向購買中檔轎車人數(shù)20總計(jì)1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：22．（10分））已知.（I）試猜想與的大小關(guān)系；（II）證明（I）中你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：“若，則”的逆否命題為“若，則”，為真命題；若為假命題，則至少有一為假命題；命題，則，所以正確的個(gè)數(shù)是1，選B.考點(diǎn)：命題真假【名師點(diǎn)睛】若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，首先要對兩個(gè)簡單命題進(jìn)行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式（組）求解即可.2、A【解析】

根據(jù)三個(gè)數(shù)的特征，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出的大小關(guān)系.【詳解】解:考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷三個(gè)數(shù)大小問題，根據(jù)三個(gè)數(shù)的特征構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由題意結(jié)合所給的統(tǒng)計(jì)圖確定選項(xiàng)中的說法是否正確即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬件，所以A是正確的；對于選項(xiàng)B：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為，均超過，在3月最高，所以B是正確的；對于選項(xiàng)C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%，而收入的同比增長率為30%，所以C是正確的；對于選項(xiàng)D，1，2，3，4月收入的同比增長率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長，D錯(cuò)誤.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖及其應(yīng)用，新知識(shí)的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、A【解析】分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入（0，0），求切點(diǎn)坐標(biāo)，切線的斜率．詳解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切線的斜率是，切線的方程為y﹣lna=（x﹣a），將（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切線的斜率是=故選：A．點(diǎn)睛：與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略①已知切點(diǎn)求切線方程．解決此類問題的步驟為：①求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率；②由點(diǎn)斜式求得切線方程為．②已知斜率求切點(diǎn)．已知斜率，求切點(diǎn)，即解方程.③求切線傾斜角的取值范圍．先求導(dǎo)數(shù)的范圍，即確定切線斜率的范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決．6、C【解析】

列不等式求出集合，設(shè)，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故原題等價(jià)于，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性以及分離參數(shù)思想可得在上恒成立，根據(jù)的范圍即可得結(jié)果.【詳解】由得，即設(shè)，，即函數(shù)在上為奇函數(shù)，又∵和為增函數(shù)，∴既是奇函數(shù)又是增函數(shù)由得，則，∴即在上恒成立，∵，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、C【解析】分析：根據(jù)題目的條件中已經(jīng)給出這組數(shù)據(jù)的觀測值，把所給的觀測值同節(jié)選的觀測值表進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它大于7.879，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”．詳解：由題意算得，，參照附表，可得

在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”．

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．8、B【解析】

分析：根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，依次算出每個(gè)循環(huán)單元的值，同時(shí)判定是否要繼續(xù)返回循環(huán)體，即可求得S的值．詳解:因?yàn)楫?dāng)不成立時(shí)，輸出，且輸出所以所以所以選B點(diǎn)睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)在程序框圖中的應(yīng)用，按照要求逐步運(yùn)算即可，屬于簡單題．9、D【解析】

由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，求出常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，列方程即可求解.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】

根據(jù)先分組，后分配的原則得到結(jié)果.【詳解】由題意，先分組，可得，再一組打掃教室，一組打掃操場，可得不同的選派法有.故選A．【點(diǎn)睛】不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．11、D【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時(shí)斜率最?。O(shè)切線方程為y-2=k(x+3)，即12、B【解析】

通過參數(shù)分離得到a=lnx2x-x2lnx【詳解】若函數(shù)f(x)=x2lnx2ln設(shè)t=t=lnxx?t'=1-lnx畫出圖像：a=t2-

a=t2-t1t2=故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，參數(shù)分離換元法是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象以及基本不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】由于當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x++t在x=1時(shí)取得最小值為2+t，由題意當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此時(shí)最小值為f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此時(shí)0≤t≤2，若t＜0，則f（t）＜f（0），條件不成立．故答案為：[0，2]．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】，令，此時(shí)函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為考點(diǎn)：：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.15、6【解析】分析：首先繪制出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.16、45【解析】分析：根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中的系數(shù)，即可得出的展開式中的系數(shù)是多少.詳解：展開式的通項(xiàng)公式為：，令，得的系數(shù)為，且無項(xiàng)，的展開式中的系數(shù)為45.故答案為：45.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析.【解析】

(1)由題意及莖葉圖,有“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子”18人,利用用分層抽樣的方法,每個(gè)人被抽中的概率是,利用對立事件即可（2）由于從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知的取值為0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一個(gè)值對應(yīng)事件的概率,有期望的公式求出即可【詳解】（1）根據(jù)莖葉圖,有“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子”18人,用分層抽樣的方法,每個(gè)人被抽中的概率是,所以選中的“高個(gè)子”有人,“非高個(gè)子”有人.用事件A表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”,則它的對立事件表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”,則因此,至少有一人是“高個(gè)子”的概率是.（2）依題意,的取值為0,1,2,3.

的分布列為:0123P所以【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.解題時(shí)要注意莖葉圖的合理運(yùn)用.18、(1);(2)-2.【解析】分析：（1）由在其定義域上是增函數(shù)，∴恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題，然后進(jìn)行分離參數(shù)求解新函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可.（2）當(dāng)時(shí)，，得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后根據(jù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，列出等價(jià)不等式求解即可.詳解：（1）∵定義域?yàn)?，，∵在其定義域上是增函數(shù)，∴，，∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，由得，由得，∴在處取得極大值，在處取得極小值，∴是一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，，故只需且，∵，，∴的最大值為-2.點(diǎn)睛：考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用以及零點(diǎn)問題，對于此類題型求參數(shù)的取值范圍，優(yōu)先要想到能否參變分離，然后研究最值即可，二對于零點(diǎn)問題則需研究函數(shù)圖像和x軸交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合解此類題是關(guān)鍵，屬于較難題.19、（I）；（II）證明見解析.【解析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達(dá)式；（II）分和兩步證明.【詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時(shí)，，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)猜想成立.綜上，對于一切均成立.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.20、(1)＝5，＝10(2)見解析；(3)最小值是4035【解析】

（1）根據(jù)題意進(jìn)行元素相加即可得出和的值；(2)因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．由集合，任取，由此能出的值；（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．由此能出的最小值．【詳解】（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10．（2）證明：因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．又集合，不妨設(shè)，m＝1，2，…，n．，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即所有的值兩兩不同，因此．（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．事實(shí)上，設(shè)成等差數(shù)列，考慮，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此每個(gè)和等于中的一個(gè)，或者等于中的一個(gè)．所以最小值是4035。【點(diǎn)睛】本題考查，，，的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意集合性質(zhì)、分類討論思想的合理運(yùn)用．21、(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握認(rèn)為有意向購買中高檔轎車與收入高低有關(guān)【解析】

（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式計(jì)算出“至少有名市民有意向購買者中檔轎車”的對立事件“沒有市民愿意購買中檔轎車”的概率，然后利用對立事件的概率公式計(jì)算出所求事件的概率；解法2