人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級上冊第十一章全等三角形章復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎

專題總結(jié)及應(yīng)用1.三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用例1如圖13－76所示，BD，CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB.求證：（1）AP=AQ，（2）AP⊥AQ.（分析）(1)欲證AP=AQ，只需證對應(yīng)的兩個三角形全等，即△ABP≌△QCA即可.(2)在(1)的基礎(chǔ)上證明∠PAQ=90°.證明：(1)∵BD,CE分別是△ABC的邊AC,AB上的高，∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△AEC和Rt△ADB中，∠ABP=90°-∠BAD，∠ACE=90°-∠DAB，∴∠ABP=∠ACE.在△ABP和△QCA中，∴△ABP≌△QCA（SAS）.∴AP=AQ（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.（2）∵△ABP≌△QCA，∴∠P=∠CAQ（全等三角形的對應(yīng)角相等）.又∵∠P+∠PAD=90°,∴∠CAQ+∠PAD=90°,即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ.例2若兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，試判斷這兩個三角形的第三邊所對的角之間的關(guān)系，并說明理由.（分析）運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，探討兩角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論，題中沒有圖形，需自己根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證和證明.已知：如圖13-77所示，在△ABC和△ABC中，AB=AB，BC=BC，AD，AD分別是BC，B′C′上的高，且AD=A′D′.求證：∠B=∠B′.證明：∵AD，A′D′分別是BC，B′C′邊上的高.∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL).∴∠B=∠B′(全等三角形的對應(yīng)角相等).小結(jié)邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個條件使之組合可以得到關(guān)于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假.例3如圖13－78所示，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC，∠DAB分別對折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，你能獲得哪些結(jié)論？（分析）折痕前后重合的部分是全等的，從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論，這是一道開放性試題.解：(1)AD=AF，ED=EF=EC，BC=BF.(2)AD+BC=AB，DE+EC=2EF.(3)∠1=∠2，∠3=∠4，∠D=∠AFE，∠C=∠EFB，∠DEA=∠FEA，∠CEB=∠FEB.(4)∠AEB=90°或EA⊥EB.(5)S△DAE=S△EAF，S△ECB=S△EFB.……小結(jié)本題是一道融操作、觀察、猜想、推理于一體的試題，需要具有一定的綜合能力.推理論證既是說明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的途徑.善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，需要注意的是，通常面臨以下情況時，我們才考慮構(gòu)造全等三角形：(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結(jié)論需要全等三角形；(2)從題設(shè)條件中無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構(gòu)造全等三角形.2.三角形全等條件的探索例4如圖13－79所示，AD，A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中邊BC，B′C′上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補(bǔ)充條件（只需填寫一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）:.（分析）這是一道探索三角形全等條件的開放性試題，關(guān)鍵是找到△ABC和△A′B′C′中已知的條件和隱含（可證）的條件，再利用SSS，SAS，ASA，AAS來考慮需補(bǔ)充的條件，具體情況如下：∵AD，A′D′分別是BC，B′C′邊上的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL).∴∠B=∠B′（全等三角形的對應(yīng)角相等）.所以，在△ABC和△A′B′C′中，已知條件是:AB=A′B′.已證條件是：∠B=∠B′.①若用SAS來判定△ABC≌△A′B′C′則填入BC=B′C′；②若用ASA來判定△ABC≌△A′B′C′,則填入∠BAC=∠B′A′C′；③若用AAS來判定△ABC≌△面A′B′C′,則填入∠C=∠C′.答案：BC=B′C′或∠BAC=∠B′A′C′或∠C=∠C′，從中任選其一小結(jié)探索三角形全等的條件時，首先盡量挖掘欲證兩個三角形中的隱含條件，再結(jié)合題中已知條件，用三角形全等的判定方法來補(bǔ)充條件.例5如圖13－80所示，在△ABD和△ACE中，有下列四個論斷：①AB=AC； ②AD=AE； ③∠B=∠C； ④BD=CE.請以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出一個正確的數(shù)學(xué)題（用序號的形式寫出）:.（分析）解決本題一方面用分類討論