理論力學之平面任意力系

TheoreticalMechanics第一篇理論力學第四章平面任意力系返回總目錄§4-1力的平移定理§4-2平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化§4-3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程§4-4考慮滑動摩擦時的平衡問題第四章平面任意力系目錄第四章平面任意力系各個力的作用線在同一平面內(nèi)，但不匯交于一點，也不都平行的力系稱為平面任意力系。平面任意力系的重要性：

2、平面任意力系的研究方法還可以用到空間力系------理論上重要。1、工程上遇到的力系多為平面任意力系------實踐上重要;平面任意力系實例第四章平面任意力系4.1力的平移定理可以把作用于剛體上點A的力F平行移到任一點0，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。——力的平移定理M=F.d=Mo(F)逆過程：

用力的平移定理的逆步驟，亦可把一個力和一個力偶合成一個力。(b)F為什么釘子有時會折彎？FF(a)(b)圖示兩圓盤運動形式是否一樣？M′F′FM4.1力的平移定理①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶②力平移的條件是附加一個力偶M，且M與d有關(guān)，M=F?d

③力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。說明：4.1力的平移定理F3F1F2O一、平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化·

主矢和主矩OOFR′MOF1′M1F1=F1′

M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′

M2=MO(F2)

F3′M3F3=F3′

M3=MO(F3)

簡化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′4.2平面任意力系的簡化主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面內(nèi)任一點O簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點O的主矩。4.2平面任意力系的簡化幾點說明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。2、平面任意力系的主矩與簡化中心O的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。4.2平面任意力系的簡化●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系簡化為一個力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★

因為力偶對于平面內(nèi)任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關(guān)。4.2平面任意力系的簡化二、平面任意力系向簡化的結(jié)果分析′O′FRO2.平面任意力系簡化為一個合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用線通過簡化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′dMO(FR)=FRd=MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)

平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的代數(shù)和。FR′OMoO′4.2平面任意力系的簡化——合力矩定理●

FR=0，MO=0′原力系平衡定理的應(yīng)用：（1）當力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用線位置。3.平面任意力系平衡的情形4.2平面任意力系的簡化例題4-1在長方形平板的O、A、B、C點上分別作用著有四個力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個力構(gòu)成的力系對點O的簡化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。解：取坐標系Oxy。 1、求向O點簡化結(jié)果：①求主矢FR：4.2平面任意力系的簡化F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°4.2平面任意力系的簡化ROABC

xy②求主矩：（2）、求合成結(jié)果：合成為一個合力R，R的大小、方向與R’相同。其作用線與O點的垂直距離為：R/OABC

xyLoRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°4.2平面任意力系的簡化一、平面任意力系的平衡條件和平衡方程FR=0MO=0′｝平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代數(shù)和也等于零。平衡方程4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程充要條件：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。（A、B、C三點不得共線）（x軸不得垂直于A、B兩點的連線）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程已知：M=Pa

求：A、B處約束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取剛架為研究對象解上述方程，得（2）畫受力圖（3）建立坐標系，列方程求解例題4-2

解法14.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程2a

PaMABCDFAxFAyFB

解法2解上述方程，得4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程解法熟3解上述麥方程，寨得2a

PaMABCDFAxFAyFB4.3匆平面任喝意力系年和平面?zhèn)髌叫辛A系的平咱衡方程AFAMAAFAxFAyMAAABqlF（1）固橫定端支座求：A處約束限反力。既不能移動，又不能轉(zhuǎn)動的約束——固定端原（插入珍端）約貧束固定端約束簡圖例題4-懷3（2）分貞布載荷的倡合力q(x)載荷集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB合力大就小：由合力餓之矩定翠理：合力作用失線位置：hxdxlx4.3命平面眾任意力系誤和平面平得行力系的車平衡方程☆兩個特例(a)凱均布載取荷Ph(b)三續(xù)角形分布耳載荷Phlq0qlxx4.3榆平面惰任意力系筍和平面平婆行力系的豎平衡方程ABqlF解：取AB梁為研槳究對象解上述方山程，得FAxFAyMAP4.3昌平面任獎意力系外和平面撿平行力扔系的平界衡方程FDECBAaaaMP例題4徐-4求：三尊桿對三干角平板ABC的約束舍反力。4.3諒平面愧任意力系扎和平面平赴行力系的汪平衡方程FAFBFCPACaaaMB解得:解：取三冶角形板ABC為研究對占象4.3誓平面咳任意力系囑和平面平韻行力系的爽平衡方程例4-幼5試求圖示裳兩外伸梁細的約束力FRA、FRB，其中FP=10屑kN，F(xiàn)P1=2擊0k瀉N，q=2斬0k財N/m省，d=0.柔8m。解：1.剛選擇研在究對象以解除連約束后仇的ABC梁為研欄究對象2.根貌據(jù)約束性泳質(zhì)分析約錦束力A處為固定積鉸鏈，約洗束力為鉛仆垂方向與擱水平方向廊的分力FAy和FAx；B處為輥軸馳支座，為垂鉛垂方向盛的約束力收，指向是芳未知的，阻可以假設(shè)坡為向上的FB。3.應(yīng)的用平衡方想程確定未冬知力FAyFBFAx4.3尺平面纖任意力系暈和平面平視行力系的嘆平衡方程FB=21掠kN（麥↑）FAy=1糖5k川N（↑宴）計算結(jié)果摧的校核FAyFBFAx4.3站平面任分意力系謊和平面括平行力窯系的平志衡方程例4-6外伸梁ABC上作用婆有均布漠載荷q=10網(wǎng)kN但/m，策集中力F=20柳kN，力妨偶矩m=10電kNm，求A、B支座的趕約束力某。解：以梁為銷研究對象虎，畫受力握圖，列平槍衡方程4.3崗平面膝任意力系牽和平面平銜行力系的籮平衡方程例4-6外伸梁ABC上作用蜂有均布凝載荷q=10謀kN/m鼠，集中力F=20齊kN，力培偶矩m=10外kNm，求A、B支座的約溪束力。解：以梁胖為研究靠對象，壇畫受力刻圖，列麗平衡方才程4.3罩平面任呢意力系芝和平面奸平行力裳系的平望衡方程要注意潑的問題防：根據(jù)題愛意選擇眠研究對史象。分析研究濟對象的受畢力情況，宵正確地畫嶺出其受力擴圖。研究對既象與其賣他物體絞相互連液接處的凡約束，侍按約束搶的性質(zhì)泄表示約英束反力套；正確地掙運用二研力桿的仙性質(zhì)和晌三力平靠衡定理猶來確定政約束反融力的方飼位；4.3塞平面超任意力系頸和平面平只行力系的蚊平衡方程兩物體究之間相鄉(xiāng)豐互作用碑的力要咬符合作鴿用與反狼作用定梳律。用幾何法垮求解時，居按比例尺縫作出閉合向的力多邊磁形，未知塔力的大小宏可按同一饞比例尺在偷圖上量出普；用解析法奧求解時，由應(yīng)適當?shù)靥x取坐標昆軸。為避趨免解聯(lián)立始方程，可允選坐標軸筋與未知力背垂直。根斯據(jù)計算結(jié)詠果的正負宜判定假設(shè)央未知力的餓指向是否題正確。4.3氧平面任劫意力系投和平面壁平行力臣系的平肚衡方程yxo（A、B兩點的念連線不姿得與各旬力平行比）F3F2F1Fn二個方原程只能才求解二煩個未知劫量二力矩訊式4.3逼平面鍬任意力系量和平面平爪行力系的進平衡方程二、平躬面平行嫁力系的揚平衡方住程解：取梁ABCD為研究松對象解得：已知：F=2kN，q=1張kN/m求：A、B支座反力偽。例題旨4-介7FNAFNBPD1m2m1mABCFq4.3計平面任掉意力系劍和平面渣平行力潑系的平曉衡方程物體系統(tǒng)畜：由若干選個物體膛通過適抄當?shù)募s賀束相互殼連接而硬成的系牽統(tǒng)。靜定問題版：單個物飛體或物德體系未析知量的迎數(shù)目正湖好等于赴它的獨謹立的平錄衡方程彎的數(shù)目裳。超靜定或襪靜不定：未知量的傷數(shù)目多于痰獨立的平友衡方程的攔數(shù)目。三、物填體系統(tǒng)構(gòu)的平衡4.3沿平面任皮意力系甲和平面恐平行力笛系的平強衡方程獨立的炭平衡方盾程數(shù)：效3未知力數(shù)亡：3獨立的平六衡方程數(shù)踩=未知力逃數(shù)獨立的潤平衡方蝦程數(shù)：傅3未知力數(shù)淘：4未知力數(shù)春>獨立的頸平衡方程億數(shù)靜定問敘題超靜定叫問題4.3枝平面悉任意力系戶和平面平擦行力系的壺平衡方程獨立的平濾衡方程數(shù)曲：6未知力憶數(shù)：6獨立的窩平衡方慢程數(shù)=啟未知力分數(shù)獨立的華平衡方拜程數(shù)：為6未知力數(shù)丘：7未知力數(shù)寄>獨立的槍平衡方程綢數(shù)靜定問捎題超靜定脆問題4.3須平面肺任意力系安和平面平翁行力系的善平衡方程求解過程蔥中應(yīng)注意姻以下幾點首先判討斷物體煎系統(tǒng)是技否屬于亮靜定問旁題恰當?shù)剡x縮慧擇研究對狡象在一般巡壽情況下遙，首先藏以系統(tǒng)紀的整體活為研究伴對象，列這樣則細不出現(xiàn)里未知的買內(nèi)力，泊易于解坦出未知仰量。當顛不能求追出未知蛋量時應(yīng)候立即選眠取單個葬物體或隨部分物匙體的組香合為研屢究對象全，一般噴應(yīng)先選抓受力簡德單而作咬用又已侄知力的添物體為黎研究對棕象，求愁出部分脂未知量鴿后，再典研究其夏它物體情。4.3緞平面任膽意力系拖和平面沉平行力丸系的平武衡方程受力分析①首誓先從二闊力構(gòu)件難入手，啄可使受飾力圖比邊較簡單加，有利園于解題豆。②解博除約束舞時，要仗嚴格地鋤按照約辱束的性趟質(zhì)，畫暖出相應(yīng)畏的約束作力，切臂忌憑主復觀想象陶畫力。暑對于一辰個銷釘為連接三外個或三掀個以上艱物體時晝，要明僵確所選罰對象中息是否包勻括該銷杯釘？解少除了哪相些約束象？然后褲正確畫蒙出相應(yīng)疤的約束扛反力。③畫受賓力圖時，徐關(guān)鍵在于顏正確畫出會鉸鏈約束估力，除二影力構(gòu)件外豬，通常用呈二分力表束示鉸鏈反類力。④不改畫研究魄對象的派內(nèi)力。⑤兩物榜體間的相墳互作用力啦應(yīng)該符合謝作用與反嗓作用定律宴。4.3款平面餃任意力系譽和平面平疑行力系的鉤平衡方程列平衡方脫程，求未簽知量①列出恰當截的平衡方備程，盡量習避免在方減程中出現(xiàn)宴不需要求萌的未知量嚼。為此可掩恰當?shù)剡\瞇用力矩方傻程，適當偉選擇兩個擺未知力的旋交點為矩撒心，所選的匯坐標軸傘應(yīng)與較亦多的未摔知力垂瓣直。②判斷清楚毅每個研究熱對象所受扯的力系及裙其獨立方珠程的個數(shù)展及物體系哨獨立平衡渴方程的總蓬數(shù)，避免列出我不獨立的狼平衡方程療。③解題時應(yīng)稅從未知力壘最少的方掛程入手，倡避免聯(lián)立忠解。④校核。求短出全部所緞需的未知雄量后，可啞再列一個咱不重復的巧平衡方程租，將計算初結(jié)果代入巷，若滿足仇方程，則獎計算無誤梅。4.3尾平面任智意力系脈和平面鬧平行力雨系的平踏衡方程例4-秒9佛圖中AD＝DB＝2m項，CD＝DE＝1.針5m圾，Q＝12頂0k肺N，不狗計桿和干滑輪的頭重量。徒試求支牛座A和B的約束力呆和BC桿的內(nèi)力輸。解：解欺除約束擇，畫整勿體受力盼圖列平衡方竹程4.3拼平面任費意力系孫和平面奸平行力輸系的平掘衡方程可用，驗算FAy如下：4.3董平面任遮意力系聽和平面鹿平行力咸系的平牧衡方程為求BC桿內(nèi)力F，取CDE桿連滑輪律為研究對說象，畫受哀力圖。列遍方程：F=–1溝50k緩N，說明BC桿受壓力憐。4.3酬平面慚任意力系攝和平面平封行力系的姓平衡方程求BC桿的內(nèi)端力，也杰可以取ADB桿為研究憲對象，畫梁受力圖。4.3若平面任威意力系嬸和平面桿平行力杏系的平傍衡方程例4-1路0某廠房用浩三鉸剛架庫，由于地缸形限制，他鉸A及B位于不傲同高度賓，。剛吸架上的矩載荷已裙簡化為欲兩個集其中力F1及F2。試求C處的約訪束力。分別取AC及BC兩部分為太研究對象撿，畫受力享圖。解：本題是弓靜定問題逐，但如以妥整個剛架你作為考察纏對象，不疲論怎樣選需取投影軸踢和矩心，免每一平衡煌方程中至臭少包含兩澤個未數(shù)，象而且不可迎能聯(lián)立求淘解。4.3返平面任給意力系舌和平面容平行力務(wù)系的平釋衡方程取AC為研究拳對象，腔畫受力舉圖。取BC為研究對計象，畫受味力圖。聯(lián)立求絲式解以上誦兩式，病可得4.3依平面獻任意力系灘和平面平爹行力系的險平衡方程例4-快11結(jié)構(gòu)上作乳用載荷分士布如圖，q1＝3奧kN/界m，q2＝0.5睜kN/萌m，力偶礙矩M＝2k脖Nm，試求鴉固定端A與支座B的約束反倡力和鉸鏈C的內(nèi)力取。解：先研究BC部分，性畫受力戶圖。簡化成合才力Fq＝q2×2。列馳方程如下倍：4.3棗平面任喂意力系姑和平面錘平行力飛系的平光衡方程再取AC部分畫受攪力圖，列蠅方程：4.3默平面曾任意力系瞎和平面平患行力系的含平衡方程例4-奔12三無重桿AC、B吧D、CD如圖鉸邁接，B處為光釘滑接觸嗽，ABC額D為正方形曉，在CD桿距C三分之一岸處作用一顫垂直力近，富求鉸鏈E處的反勺力。解：先你以整體菊為研究消對象，圈受力如券圖，建性立如圖直坐標。解得：4.3雞平面些任意力系生和平面平劣行力系的敞平衡方程下面用不么同的方法晨求解。解1：燭先以DC為研究慕對象，車受力如躺圖。再以BDC為研究對憶象，受力顧如圖，建什立如圖坐紙標。類似地工，亦可尼以DC溉和AC日D為研爺究對象炊，進行細求解。4.3寇平面產(chǎn)任意力系鉆和平面平印行力系的處平衡方程解2：弟分別以ACD和AC為研究對劣象，受力屈如圖。聯(lián)立求解沾以上兩方飯程即得同川樣結(jié)果。類似地賺，亦可膀以BDC和BD為研究奶對象，燃進行求此解。4.3追平面任第意力系薯和平面夜平行力樸系的平快衡方程解3：分憂別以BD和AC為研究對翠象，受力晨如圖。用、表示的約束反力和用、表示的約束反力本質(zhì)上是同一個力。4.3厭平面哪任意力系愿和平面平仗行力系的顫平衡方程思考：圖示結(jié)構(gòu)，在水平桿AB上作用一鉛垂向下的力，試證明AC桿所受的力與的作用位置無關(guān)。4.3惕平面任癢意力系剖和平面植平行力乞系的平惑衡方程例4-狗13：三根最等長同胃重均質(zhì)拔桿（重W）如圖在寸鉛垂面內(nèi)嚷以鉸鏈和鄭繩EF構(gòu)成正癢方形。區(qū)已知：E、F是AB、BC中點，AB水平，位求繩EF的張力。解1：先以AB為研究對象，受力如圖。設(shè)桿長為。再以整體步為研究對旁象，受力世如圖。——（2）（1）4.3界平面任慎意力系張和平面局平行力仗系的平請衡方程最后以DC為研究羊?qū)ο?，掠受力如繭圖?！?）聯(lián)立求解（1）（2）（3）得：解2：先壟以BC為研究對懲象，受力胖如圖?！?）再以DC為研究對身象，受力訂如圖。——（5）最后以沉整體為音研究對膨象，受搏力如圖織?！?）4.3督平面卵任意力系蘿和平面平飯行力系的概平衡方程聯(lián)立求解陡（4）—度（6）即腳可的同樣抓果。解3：慮先以BCD為研究帥對象，受力如圖位?！?）聯(lián)立求解佛（3）（炎6）（7慨）即可得墊同樣結(jié)果果。4.3吳平面任致意力系堆和平面串平行力緞系的平猾衡方程已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，

sin=4/5例題4-14求：支座A、C的反力。AQCBPFAxFAyFCxFCy解：(1)取整體為陣研究對象解上述方第程，得4.3末平面任詞意力系仰和平面后平行力稻系的平很衡方程AQCBPFAxFAyFCxFCy解上述方租程，得PABFBxFByFAxFAy解得:(2)取AB為研究衛(wèi)對象代入（3承）式得4.3醬平面任炒意力系恐和平面無平行力初系的平濾衡方程EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A、E的約束反力和BC桿內(nèi)力泰。例題鍬4-難15解：(佛1)取整體效為研究果對象解得：4.3執(zhí)平面鐮任意力系悔和平面平瞎行力系的碰平衡方程CDqCDFDxFDy(2)取曲桿CD為研究湯對象解得：FC4.3股平面任嗽意力系謠和平面桶平行力扇系的平密衡方程BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy

FB解：(1)取BC為研究對痛象解得:(2)取AC為研究對漿象解得:求：支座A、C的反力拒。例題4售-16已知：M=1槽0kN陳·m,q=2kN把/m4.3鮮平面任朵意力系兼和平面肢平行力濱系的平趣衡方程500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E的約束脈反力。解：(1)取CDE為研究務(wù)對象解上述方碎程，得(2)取整體援為研究斷對象解得:4.3找平面蟻任意力系澆和平面平援行力系的燦平衡方程500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFBGEBFGxFGyFB(3)取BEG為研究爛對象解得:代入（度3）式黃得:4.3旋平面錯任意力系先和平面平怒行力系的饅平衡方程解：(1)取整體跪為研究繞對象(2)取DEF桿為研灶究對象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的約束反激力。例題四4-174.3冶平面任趁意力系壓和平面岡平行力況系的平柄衡方程BDA(2)取DEF桿為研變究對象解得：PDFEFNEBFDyFDxFBxFByFAxFAy(3)取ADB桿為研愧究對象解得：4.3墊平面需任意力系些和平面平苗行力系的伙平衡方程aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)4.3旬平面任逝意力系散和平面秋平行力忽系的平社衡方程PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的約束反力。例題4-18解：(1)取BC桿為研粥究對象解得：(2)取AB桿為研蛾究對象解得：代入（3健）式解得描：4.3凝平面任召意力系申和平面華平行力戲系的平浪衡方程CD(3)取CD桿為研究議對象解得：FDxFDyMD4.3鴉平面牧任意力系姑和平面平吊行力系的鴿平衡方程qMABCDEH2m2m2m2m1m1m求：

A、B的約束反力。例題4-19已知：q=50kN/m,M=80kN·m解：(1)取DE桿為研撲究對象qMEDFDxFDyFHEH4.3作平面任民意力系趕和平面敲平行力目系的平臘衡方程qMABCDEH2m2m2m2m1m1m(2)取BDC桿為研易究對象BCDFCxFCyFNB(3)取整體為待研究對象解得：FNBFAxFAyMA4.3稀平面任癢意力系專和平面躺平行力匹系的平笑衡方程4.4浪考慮滑動弱摩擦時的電平衡問題一、摩貫擦現(xiàn)象類與摩擦之力當兩物體云的接觸表妙面有相對洽滑動或滑差動趨勢時傳，在接觸予面所產(chǎn)生賽的切向阻績力，稱為滑動摩擦翼力，簡稱摩擦力。所以增膜大摩擦閱力的途光徑為：①加大正體壓力Fn,②加大摩詠