算法設(shè)計(jì)與分析(第2版)-習(xí)題答案

習(xí)題1圖1.7七橋問題北區(qū)東區(qū)島區(qū)南區(qū)圖論誕生于七橋問題。出生于瑞士的偉大數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解決了該問題。七橋問題是這樣描述的：一個(gè)人是否能在一次步行中穿越圖1.7七橋問題北區(qū)東區(qū)島區(qū)南區(qū)七橋問題屬于一筆畫問題。輸入：一個(gè)起點(diǎn)輸出：相同的點(diǎn)一次步行經(jīng)過七座橋，且每次只經(jīng)歷過一次回到起點(diǎn)該問題無解：能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點(diǎn)都是偶點(diǎn)。另一類是只有二個(gè)奇點(diǎn)的圖形。2．在歐幾里德提出的歐幾里德算法中（即最初的歐幾里德算法）用的不是除法而是減法。請(qǐng)用偽代碼描述這個(gè)版本的歐幾里德算法1.r=m-n2.循環(huán)直到r=0

2.1??m=n

2.2???n=r

2.3??r=m-n

3?輸出m3．設(shè)計(jì)算法求數(shù)組中相差最小的兩個(gè)元素（稱為最接近數(shù)）的差。要求分別給出偽代碼和C++描述。//采用分治法//對(duì)數(shù)組先進(jìn)行快速排序//在依次比較相鄰的差#include<iostream>usingnamespacestd;intpartions(intb[],intlow,inthigh){intprvotkey=b[low];b[0]=b[low];while(low<high){while(low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while(low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];returnlow;}voidqsort(intl[],intlow,inthigh){intprvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high);//將第一次排序的結(jié)果作為樞軸qsort(l,low,prvotloc-1);//遞歸調(diào)用排序由low到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high);//遞歸調(diào)用排序由prvotloc+1到high}}voidquicksort(intl[],intn){qsort(l,1,n);//第一個(gè)作為樞軸，從第一個(gè)排到第n個(gè)}intmain(){inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};intvalue=0;//將最小差的值賦值給valuefor(intb=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<'';cout<<endl;quicksort(a,11);for(inti=0;i!=9;++i){if((a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1])) value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return0;}4．設(shè)數(shù)組a[n]中的元素均不相等，設(shè)計(jì)算法找出a[n]中一個(gè)既不是最大也不是最小的元素，并說明最壞情況下的比較次數(shù)。要求分別給出偽代碼和C++描述。#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){ inta[]={1,2,3,6,4,9,0};intmid_value=0;//將“既不是最大也不是最小的元素”的值賦值給它 for(inti=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]<a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } elseif(a[i+1]<a[i]&&a[i+1]>a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } }//for return0;}5.編寫程序，求n至少為多大時(shí)，n個(gè)“1”組成的整數(shù)能被2013整除。#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){doublevalue=0;for(intn=1;n<=10000;++n){ value=value*10+1;if(value%2013==0){ cout<<"n至少為:"<<n<<endl; break;}}//forreturn0;}6.計(jì)算π值的問題能精確求解嗎編寫程序，求解滿足給定精度要求的π值#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){doublea,b;doublearctan(doublex);//聲明a=16.0*arctan(1/5.0);b=4.0*arctan(1/239);cout<<"PI="<<a-b<<endl;return0；}doublearctan(doublex){inti=0;doubler=0,e,f,sqr;//定義四個(gè)變量初sqr=x*x;e=x;while(e/i>1e-15)//定義精度范圍{f=e/i;//f是每次r需要疊加的方程r=(i%4==1)?r+f:r-f;e=e*sqr;//e每次乘于x的平方i+=2;//i每次加2}//whilereturnr;}7.圣經(jīng)上說：神6天創(chuàng)造天地萬有，第7日安歇。為什么是6天呢任何一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)中都有1和它本身，所有小于它本身的因數(shù)稱為這個(gè)數(shù)的真因數(shù)，如果一個(gè)自然數(shù)的真因數(shù)之和等于它本身，這個(gè)自然數(shù)稱為完美數(shù)。例如，6=1+2+3，因此6是完美數(shù)。神6天創(chuàng)造世界，暗示著該創(chuàng)造是完美的。設(shè)計(jì)算法，判斷給定的自然數(shù)是否是完美數(shù)#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){intvalue,k=1;cin>>value;for(inti=2;i!=value;++i){while(value%i==0){k+=i;//k為該自然數(shù)所有因子之和value=value/i; }}//forif(k==value)cout<<"該自然數(shù)是完美數(shù)"<<endl; elsecout<<"該自然數(shù)不是完美數(shù)"<<endl; return0;}8.有4個(gè)人打算過橋，這個(gè)橋每次最多只能有兩個(gè)人同時(shí)通過。他們都在橋的某一端，并且是在晚上，過橋需要一只手電筒，而他們只有一只手電筒。這就意味著兩個(gè)人過橋后必須有一個(gè)人將手電筒帶回來。每個(gè)人走路的速度是不同的：甲過橋要用1分鐘，乙過橋要用2分鐘，丙過橋要用5分鐘，丁過橋要用10分鐘，顯然，兩個(gè)人走路的速度等于其中較慢那個(gè)人的速度，問題是他們?nèi)窟^橋最少要用多長時(shí)間由于甲過橋時(shí)間最短，那么每次傳遞手電的工作應(yīng)有甲完成甲每次分別帶著乙丙丁過橋例如：第一趟：甲，乙過橋且甲回來第二趟：甲，丙過橋且甲回來第一趟：甲，丁過橋一共用時(shí)19小時(shí)9．歐幾里德游戲：開始的時(shí)候，白板上有兩個(gè)不相等的正整數(shù)，兩個(gè)玩家交替行動(dòng)，每次行動(dòng)時(shí)，當(dāng)前玩家都必須在白板上寫出任意兩個(gè)已經(jīng)出現(xiàn)在板上的數(shù)字的差，而且這個(gè)數(shù)字必須是新的，也就是說，和白板上的任何一個(gè)已有的數(shù)字都不相同，當(dāng)一方再也寫不出新數(shù)字時(shí)，他就輸了。請(qǐng)問，你是選擇先行動(dòng)還是后行動(dòng)為什么設(shè)最初兩個(gè)數(shù)較大的為a,較小的為b，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為factor。

則最終能出現(xiàn)的數(shù)包括:factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor個(gè)。如果a/factor是奇數(shù)，就選擇先行動(dòng)；否則就后行動(dòng)。習(xí)題21．如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列問題：（1）證明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f(n)),O(g(n))}；（2）證明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n))；（3）舉例說明在什么情況下應(yīng)用加法定理和乘法定理。,（1）（2）（3）比如在for（f(n)）{for(g(n))}中應(yīng)該用乘法定理如果在“講兩個(gè)數(shù)組合并成一個(gè)數(shù)組時(shí)”，應(yīng)當(dāng)用加法定理（1）intStery(intn){（1）intStery(intn){intS=0;for(inti=1;i<=n;i++)S=S+i*i;returnS;}（2）intQ(intn){if(n==1)return1;elsereturnQ(n-1)+2*n-1;}完成的是1-n的平方和基本語句：s+=i*i，執(zhí)行了n次時(shí)間復(fù)雜度O（n）（2）完成的是n的平方基本語句：returnQ(n-1)+2*n–1，執(zhí)行了n次時(shí)間復(fù)雜度O（n）3.分析以下程序段中基本語句的執(zhí)行次數(shù)是多少，要求列出計(jì)算公式。（1）for(i=1;i<=n;i++)if(2*i<=n)（1）for(i=1;i<=n;i++)if(2*i<=n)for(j=2*i;j<=n;j++)y=y+i*j；（2）m=0;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=2*i;j++)m=m+1;基本語句2*i<n執(zhí)行了n/2次基本語句y=y+i*j執(zhí)行了2/n次一共執(zhí)行次數(shù)=n/2+n/2=O（n）基本語句m+=1執(zhí)行了(n/2)*n=O(n*n)4.使用擴(kuò)展遞歸技術(shù)求解下列遞推關(guān)系式：（1）（2）(1)intT(intn){if(n==1)return4;elseif(n>1)return3*T(n-1);}(2)intT(intn){if(n==1)return1;elseif(n>1)return2*T(n/3)+n;}5.求下列問題的平凡下界，并指出其下界是否緊密。（1）求數(shù)組中的最大元素；（2）判斷鄰接矩陣表示的無向圖是不是完全圖；（3）確定數(shù)組中的元素是否都是惟一的；（4）生成一個(gè)具有n個(gè)元素集合的所有子集Ω(n)緊密Ω(n*n)Ω(logn+n)（先進(jìn)行快排，然后進(jìn)行比較查找）Ω(2^n)7．畫出在三個(gè)數(shù)a,b,c中求中值問題的判定樹。aa<ba<b<c是是是否否否a<cb<cb<a<cb<cC<b<ab<c<aa<cC<a<ba<c<b否否是是8．國際象棋是很久以前由一個(gè)印度人Shashi發(fā)明的，當(dāng)他把該發(fā)明獻(xiàn)給國王時(shí)，國王很高興，就許諾可以給這個(gè)發(fā)明人任何他想要的獎(jiǎng)賞。Shashi要求以這種方式給他一些糧食：棋盤的第1個(gè)方格內(nèi)只放1粒麥粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，……，以此類推，直到64個(gè)方格全部放滿。這個(gè)獎(jiǎng)賞的最終結(jié)果會(huì)是什么樣呢#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){longdoubleresult=1;doublej=1;for(inti=1;i<=64;++i) { j=j*2; result+=j; j++;}cout<<result<<endl;return0;}習(xí)題3假設(shè)在文本"ababcabccabccacbab"中查找模式"abccac"，寫出分別采用BF算法和KMP算法的串匹配過//BF算法#include<iostream>usingnamespacestd;intBF(charS[],charT[]){intindex=0;inti=0,j=0;while((S[i]!='\0')&&(T[j]!='\0')){if(S[i]==T[j]) { i++; j++; }else{ ++index; i=index; j=0; }}if(T[j]=='\0') returnindex+1;else return0;}intmain(){ chars1[19]="ababcabccabccacbab"; chars2[7]="abccac";cout<<BF(s1,s2)<<endl; return0;}//KMP算法#include<iostream>usingnamespacestd;voidGetNext(charT[],intnext[])//求模式T的next值{inti,j,len;next[0]=-1;for(j=1;T[j]!='\0';j++)//依次求next[j]{for(len=j-1;len>=1;len--)//相等子串的最大長度為j-1 { for(i=0;i<len;i++)//依次比較T[0]~T[len-1]與T[j-len]~T[j-1] if(T[i]!=T[j-len+i])break;if(i==len){ next[j]=len;break;} }//for if(len<1)next[j]=0;//其他情況，無相等子串}//for}intKMP(charS[],charT[])//求T在S中的序號(hào){inti=0,j=0;intnext[80];//假定模式最長為80個(gè)字符GetNext(T,next);while(S[i]!='\0'&&T[j]!='\0'){if(S[i]==T[j]){i++;j++;}else{ j=next[j]; if(j==-1){i++;j++;} }}if(T[j]=='\0')return(i-strlen(T)+1);//返回本趟匹配的開始位置elsereturn0;}intmain(){ chars1[]="ababcabccabccacbab"; chars2[]="abccac";cout<<KMP(s1[],s2[])<<endl;return0;}2.分式化簡。設(shè)計(jì)算法，將一個(gè)給定的真分?jǐn)?shù)化簡為最簡分?jǐn)?shù)形式。例如，將6/8化簡為3/4。#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){intn;//分子intm;//分母intfactor;//最大公因子intfactor1;cout<<"輸入一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子與分母："<<endl;cin>>n>>m;intr=m%n;//因?yàn)槭钦娣謹(jǐn)?shù)所以分母一定大于分子factor1=m; factor=n;while(r!=0){factor1=factor;factor=r;r=factor1%factor;}cout<<"輸出該真分?jǐn)?shù)的最簡分?jǐn)?shù)："<<(n/factor)<<"/"<<(m/factor)<<endl;return0;}//將一個(gè)大整數(shù)看成一個(gè)數(shù)組//數(shù)組的奇數(shù)位對(duì)應(yīng)數(shù)的10倍加上數(shù)組偶數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)的本身//驗(yàn)證結(jié)果能否被11整除#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){ inta[9]={5,6,2,8,4,3,7,4,8}; intresult=0;//result為題目要求的各位之和 for(inti=0;i!=9;++i) { if(i%2==0) result+=a[i];//i為偶數(shù)位時(shí)，結(jié)果加上其對(duì)應(yīng)數(shù)組數(shù)的本身 else result+=a[i]*10;//i為奇數(shù)位時(shí)，結(jié)果加上對(duì)應(yīng)數(shù)組數(shù)的10倍 } if(result%11==0) cout<<"該整數(shù)能被11整除"<<endl; elsecout<<"該整數(shù)不能被11整除"<<endl; return0;}4.數(shù)字游戲。把數(shù)字1,2,…,9這9個(gè)數(shù)字填入以下含有加、減、乘、除的四則運(yùn)算式中，使得該等式成立。要求9個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，且數(shù)字1不能出現(xiàn)在乘和除的一位數(shù)中（即排除運(yùn)算式中一位數(shù)為1的平凡情形）。??×?＋???÷?－??=05.設(shè)計(jì)算法求解anmodm，其中a、n和m均為大于1的整數(shù)。（提示：為了避免an超出int型的表示范圍，應(yīng)該每做一次乘法之后對(duì)n取模）#include<iostream>usingnamespacestd;intsquare(intx){returnx*x;}//用遞歸思想intresultmod(inta,intn){if(n==0) return1;if(n%2==0) returnsquare(resultmod(a,n/2));//n為偶數(shù)的時(shí)，取n的一半防止溢出else returna*resultmod(a,n-1);//n為奇數(shù)時(shí)，取n-1；}intmain(){inta,n,m;cout<<"請(qǐng)輸入a，n,m:"<<"";cin>>a>>n>>m; cout<<endl;intresult=resultmod(a,n);cout<<"a^nmodm的結(jié)果為："<<result%m<<endl; return0;}6.設(shè)計(jì)算法，在數(shù)組r[n]中刪除所有元素值為x的元素，要求時(shí)間復(fù)雜性為O(n)，空間復(fù)雜性為O(1)。設(shè)計(jì)算法，在數(shù)組r[n]中刪除重復(fù)的元素，要求移動(dòng)元素的次數(shù)較少并使剩余元素間的相對(duì)次序保持不變。#include<iostream>usingnamespacestd;voiddeletere(inta[],intN){ intb[100]={0}; inti,k; k=0; staticintj=0; for(i=0;i<N;i++) b[a[i]]++; for(i=0;i<100;i++) { if(b[i]!=0) { if(b[i]==2) { k++; } a[j]=i; j++; } } for(i=0;i<N-k;i++) cout<<a[i]<<endl;}intmain(){ inta[]={1,2,1,3,2,4}; deletere(a,6); return0;}//在數(shù)組查找相同的元素//把其中一個(gè)相同的數(shù)值的元素位置設(shè)成一個(gè)“特殊數(shù)值”//輸出所求函數(shù)#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){inta[]={1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5}; inti,j;for(i=0;i<12;i++) {for(j=0;j<i;j++) { if(a[j]==a[i]) } }//forfor(i=0;i<12;i++) {cout<<a[i]<<""; } cout<<endl; return0;}8.設(shè)表A={a1,a2,…,an}，將A拆成B和C兩個(gè)表，使A中值大于等于0的元素存入表B，值小于0的元素存入表C，要求表B和C不另外設(shè)置存儲(chǔ)空間而利用表A的空間。//先對(duì)A進(jìn)行快排//將大于0的元素給B，小于0的元素給C#include<iostream>usingnamespacestd;intpartions(intl[],intlow,inthigh){intprvotkey=l[low];l[0]=l[low];while(low<high){while(low<high&&l[high]>=prvotkey)--high;l[low]=l[high];while(low<high&&l[low]<=prvotkey)++low;l[high]=l[low];}l[low]=l[0];returnlow;}voidqsort(intl[],intlow,inthigh){intprvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high);//將第一次排序的結(jié)果作為樞軸qsort(l,low,prvotloc-1);//遞歸調(diào)用排序由low到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high);//遞歸調(diào)用排序由prvotloc+1到high}}voidquicksort(intl[],intn){qsort(l,1,n);//第一個(gè)作為樞軸，從第一個(gè)排到第n個(gè)}intmain(){ inta[11]={-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39};quicksort(a,11);for(inti=1;i<11;i++){ if(a[i]<0)cout<<"C:"<<a[i]<<''; else cout<<"B:"<<a[i]<<'';}cout<<endl;return0;}9.荷蘭國旗問題。要求重新排列一個(gè)由字符R,W,B（R代表紅色，W代表白色，B代表蘭色，這都是荷蘭國旗的顏色）構(gòu)成的數(shù)組，使得所有的R都排在最前面，W排在其次，B排在最后。為荷蘭國旗問題設(shè)計(jì)一個(gè)算法，其時(shí)間性能是O(n)。//0代表紅；1代表白；2代表藍(lán)#include<iostream>usingnamespacestd;constintN=20;voidswap_ab(int*p,int*q){inttmp=*p;*p=*q;*q=tmp;}voidprocess(inta[],intn){int*p,*q;p=q=a;while(p!=a+n-1)//p向前遍歷，直到便利完畢{if(*(p+1)<*p){q=p+1;while(*q<*(q-1)){swap_ab(q,q-1);--q;//q指針后移}}//if++p;}//while}intmain(){ inta[N]={0,2,1,2,0,1,0,2,2,1,0,1,2,1,1,0,0,1,1,2};//待處理的數(shù)組cout<<"處理后的數(shù)組序列:"<<endl;process(a,N);for(inti=0;i<N;++i)cout<<a[i]<<"";cout<<endl;return0;}10.設(shè)最近對(duì)問題以k維空間的形式出現(xiàn)，k維空間的兩個(gè)點(diǎn)p1=(x1,x2,…,xk)和p2=(y1,y2,…,yk)的歐幾里德距離定義為：。對(duì)k維空間的最近對(duì)問題設(shè)計(jì)蠻力算法，并分析其時(shí)間性能。11．設(shè)計(jì)蠻力算法求解小規(guī)模的線性規(guī)劃問題。假設(shè)約束條件為：（1）x+y≤4；（2）x+3y≤6；（3）x≥0且y≥0；使目標(biāo)函數(shù)3x+5y取得極大值。#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){intx,y,x0,y0;intsummax=0,temp=0;for(x0=0;x0<=4;++x0){for(y0=0;(x0+y0<=4)&&(x0+3*y0<=6);++y0)temp=3*x0+5*y0; if(temp>=summax) { summax=temp; x=x0;//符合sum最大值的x y=y0;//符合sum最大值得y }}//forcout<<"x="<<x<<"y="<<y<<"summax="<<summax<<endl;return0;}12．設(shè)計(jì)算法，判定一個(gè)以鄰接矩陣表示的連通圖是否具有歐拉回路。算法描述：輸入：鄰接矩陣(n*n)輸出：如有證明有歐拉回路，則輸出該回路，否則，輸出無解信息1對(duì)矩陣的對(duì)角線是否有>0的元素進(jìn)行判斷1.1循環(huán)變量i從1—n重復(fù)進(jìn)行下述操作：1.1.1計(jì)算矩陣i次方，如果矩陣對(duì)角線上有>0的元素，則跳轉(zhuǎn)到1.21.1.2否則++i;1.2如果矩陣對(duì)角線有>0的元素，則輸出該回路2輸出無解信息；13．找詞游戲。要求游戲者從一張?zhí)顫M字符的正方形表中，找出包含在一個(gè)給定集合中的所有單詞。這些詞在正方形表中可以橫著讀、豎著讀、或者斜著讀。為這個(gè)游戲設(shè)計(jì)一個(gè)蠻力算法14.變位詞。給定兩個(gè)單詞，判斷這兩個(gè)單詞是否是變位詞。如果兩個(gè)單詞的字母完全相同，只是位置有所不同，則這兩個(gè)單詞稱為變位詞。例如，eat和tea是變位詞。//判斷qwer和rewq是否是變位詞#include<iostream>#include<string>usingnamespacestd;intmain(){ chars[5]="qwer"; chart[5]="rewq"; for(inti=0;i!=4;++i) { if(s[i]!=t[3-i]) { cout<<"qwer和rewq不是變位詞"<<endl; return0; break; } } cout<<"qwer和rewq是變位詞"<<endl; return0;}15．在美國有一個(gè)連鎖店叫7-11店，因?yàn)檫@個(gè)商店以前是早晨7點(diǎn)開門，晚上11點(diǎn)關(guān)門。有一天，一個(gè)顧客在這個(gè)店挑選了四樣?xùn)|西，然后到付款處去交錢。營業(yè)員拿起計(jì)算器，按了一些鍵，然后說：“總共是$7.11?！边@個(gè)顧客開了個(gè)玩笑說：“哦難道因?yàn)槟銈兊牡昝?-11，所以我就要付$7.11嗎”營業(yè)員沒有聽出這是個(gè)玩笑，回答說：“當(dāng)然不是，我已經(jīng)把這四樣?xùn)|西的價(jià)格相乘才得出這個(gè)結(jié)果的！”顧客一聽非常吃驚，“你怎么把他們相乘呢你應(yīng)該把他們相加才對(duì)！”營業(yè)員答道：“噢，對(duì)不起，我今天非常頭疼，所以把鍵按錯(cuò)了?！比缓?，營業(yè)員將結(jié)果重算了一遍，將這四樣?xùn)|西的價(jià)格加在一起，然而，令他倆更為吃驚的是總和也是$7.11。設(shè)計(jì)蠻力算法找出這四樣?xùn)|西的價(jià)格各是多少該算法為：int$7.11(floata[],floatb[],floatc[],floatd[],intn){for(inti=0;i!=n;++i)for(intj=0;j!=n;++j)for(intk=0;k!=n;++k)for(intm=0;m!=n;++m){if((a[i]+b[j]+c[k]+d[m])==7.11&&a[i]*b[j]*c[k]*d[m]==7.11)cout<<a[i]<<b[j]<<c[k]<<d[m]<<endl;return0;}return0;}習(xí)題41.分治法的時(shí)間性能與直接計(jì)算最小問題的時(shí)間、合并子問題解的時(shí)間以及子問題的個(gè)數(shù)有關(guān)，試說明這幾個(gè)參數(shù)與分治法時(shí)間復(fù)雜性之間的關(guān)系。2.證明：如果分治法的合并可以在線性時(shí)間內(nèi)完成，則當(dāng)子問題的規(guī)模之和小于原問題的規(guī)模時(shí)，算法的時(shí)間復(fù)雜性可達(dá)到O(n)。O(N)=2*O(N/2)+xO(N)+x=2*O(N/2)+2*xa*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x由此可知，時(shí)間復(fù)雜度可達(dá)到O(n);3.分治策略一定導(dǎo)致遞歸嗎如果是，請(qǐng)解釋原因。如果不是，給出一個(gè)不包含遞歸的分治例子，并闡述這種分治和包含遞歸的分治的主要不同。不一定導(dǎo)致遞歸。如非遞歸的二叉樹中序遍歷。這種分治方法與遞歸的二叉樹中序遍歷主要區(qū)別是：應(yīng)用了棧這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。4.對(duì)于待排序序列(5,3,1,9)，分別畫出歸并排序和快速排序的遞歸運(yùn)行軌跡。歸并排序：第一趟：（5,3）（1,9）；第二趟：（3,5,1,9）；第三趟：（1,3,5,9）；快速排序：第一趟：5（,3,1,9）；//5為哨兵，比較9和5第二趟：5（1,3,,9）；//比較1和5，將1挪到相應(yīng)位置；第三趟：5（1,3,,9）;//比較3和5；第四趟：（1,3,5,9）;5.設(shè)計(jì)分治算法求一個(gè)數(shù)組中的最大元素，并分析時(shí)間性能。//簡單的分治問題//將數(shù)組均衡的分為“前”，“后”兩部分//分別求出這兩部分最大值，然后再比較這兩個(gè)最大值#include<iostream>usingnamespacestd;externconstintn=6;//聲明intmain(){ inta[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化 intmid=n; intnum_max1=0,num_max2=0; for(inti=0;i<=n;++i)//前半部分 { if(a[i]>num_max1) num_max1=a[i]; } for(intj=n+1;j<n;++j)//后半部分 { if(a[j]>num_max2) num_max2=a[j]; } if(num_max1>=num_max2) cout<<"數(shù)組中的最大元素："<<num_max1<<endl; elsecout<<"數(shù)組中的最大元素："<<num_max2<<endl; return0;}時(shí)間復(fù)雜度：O（n）6.設(shè)計(jì)分治算法，實(shí)現(xiàn)將數(shù)組A[n]中所有元素循環(huán)左移k個(gè)位置,要求時(shí)間復(fù)雜性為O(n)，空間復(fù)雜性為O(1)。例如，對(duì)abcdefgh循環(huán)左移3位得到defghabc。//采用分治法//將數(shù)組分為0-k-1和k-n-1兩塊//將這兩塊分別左移//然后再合并左移#include<iostream>usingnamespacestd;voidLeftReverse(char*a,intbegin,intend){for(inti=0;i<(end-begin+1)/2;i++)//交換移動(dòng){inttemp=a[begin+i];a[begin+i]=a[end-i];a[end-i]=temp;}}voidConverse(char*a,intn,intk){LeftReverse(a,0,k+1);LeftReverse(a,k,n+1);LeftReverse(a,0,n-1);for(inti=0;i<n;i++)cout<<a[i]<<"";cout<<endl;}intmain(){chara[7]={'a','b','c','d','e','f','g'};Converse(a,7,3);return0;}7.設(shè)計(jì)遞歸算法生成n個(gè)元素的所有排列對(duì)象。#include<iostream>usingnamespacestd;intdata[100];//在m個(gè)數(shù)中輸出n個(gè)排列數(shù)（n<=m）voidDPpl(intnum,intm,intn,intdepth){if(depth==n){for(inti=0;i<n;i++)cout<<data[i]<<"";cout<<endl;}for(intj=0;j<m;j++){if((num&(1<<j))==0){data[depth]=j+1;DPpl(num+(1<<j),m,n,depth+1);}}//for}intmain(){DPpl(0,5,1,0);DPpl(0,5,2,0);DPpl(0,5,3,0);DPpl(0,5,4,0);DPpl(0,5,5,0);return0;}8.設(shè)計(jì)分治算法求解一維空間上n個(gè)點(diǎn)的最近對(duì)問題。參見4.4.1最近對(duì)問題的算法分析及算法實(shí)現(xiàn)9.在有序序列(r1,r2,…,rn)中，存在序號(hào)i（1≤i≤n），使得ri=i。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分治算法找到這個(gè)元素，要求算法在最壞情況下的時(shí)間性能為O(log2n)。//在有序數(shù)組中//采用二分法查找符合條件的元素#include<iostream>usingnamespacestd;voidFindnum(int*a,intn){intlow=0;inthigh=n-1;while(low<=high){intmid=(low+high)/2; if(a[mid]==mid) { cout<<"這個(gè)數(shù)是："<<a[mid]<<endl;break; } elseif(a[mid]>mid) high=mid-1; else low=mid+1;}}intmain(){ inta[7]={1,0,2,5,6,7,9};Findnum(a,7); return0;}時(shí)間復(fù)雜度為O(log2n)。10.在一個(gè)序列中出現(xiàn)次數(shù)最多的元素稱為眾數(shù)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法尋找眾數(shù)并分析算法的時(shí)間復(fù)雜性。//先對(duì)序列進(jìn)行快速排序//再進(jìn)行一次遍歷//輸出眾數(shù)的重復(fù)次數(shù)#include<iostream>usingnamespacestd;intpartions(intb[],intlow,inthigh){intprvotkey=b[low];b[0]=b[low];while(low<high){while(low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while(low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];returnlow;}voidqsort(intl[],intlow,inthigh){intprvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high);//將第一次排序的結(jié)果作為樞軸qsort(l,low,prvotloc-1);//遞歸調(diào)用排序由low到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high);//遞歸調(diào)用排序由prvotloc+1到high}}voidquicksort(intl[],intn){qsort(l,1,n);//第一個(gè)作為樞軸，從第一個(gè)排到第n個(gè)}intmain(){ inta[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1}; inti=0; intcount=0; intmax=0;//max表示出現(xiàn)的次數(shù) qsort(a,0,10); while(i<10) { intj; j=i+1; if(a[i]=a[j]&&i<10) { count++; i++; } if(count>max) { max=count; count=0; } }//whilecout<<"重復(fù)次數(shù)："<<max<<endl;return0;}時(shí)間復(fù)雜度nlog(n)11.設(shè)M是一個(gè)n×n的整數(shù)矩陣，其中每一行（從左到右）和每一列（從上到下）的元素都按升序排列。設(shè)計(jì)分治算法確定一個(gè)給定的整數(shù)x是否在M中，并分析算法的時(shí)間復(fù)雜性。12.設(shè)S是n（n為偶數(shù)）個(gè)不等的正整數(shù)的集合，要求將集合S劃分為子集S1和S2，使得|S1|=|S2|=n/2，且兩個(gè)子集元素之和的差達(dá)到最大。//先用快速排序進(jìn)行一趟排序//如果s1（大的數(shù)集）的的個(gè)數(shù)大于n/2//將（i<=n/2-low-1）個(gè)最小的數(shù)排到后面//如果s1（大的數(shù)集）的的個(gè)數(shù)小于n/2//將s2（小的數(shù)集）n/2-low-1排到前面//將排好的數(shù)組的前n/2個(gè)數(shù)賦值給s1//將排好的數(shù)組的后n/2個(gè)數(shù)賦值給s2#include<iostream>usingnamespacestd;constintn=8;voidpartions(inta[],intlow,inthigh){ //進(jìn)行一趟快排intprvotkey=a[low];a[0]=a[low];while(low<high){while(low<high&&a[high]<=prvotkey)--high;a[low]=a[high];while(low<high&&a[low]>=prvotkey)++low;a[high]=a[low];}a[low]=prvotkey;//如果s1（大的數(shù)集）的的個(gè)數(shù)大于n/2if(low>=n/2){for(inti=0;i<=n/2-low-1;++i){for(intj=0;j<n-i;++j) { if(a[j]<a[j+1]) { inttemp=a[j]; a[j]=a[j+1]; a[j+1]=temp; } }//for}}//if//如果s1（大的數(shù)集）的的個(gè)數(shù)小于n/2elsefor(inti=0;i<=n/2-low-1;++i){for(intk=n-1;k<n-i;++k) { if(a[k]>a[k-1]) { inttemp1=a[k]; a[k]=a[k-1]; a[k-1]=temp1; } }//for}}intmain(){ inta[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8}; partions(a,0,n-1);for(inti=0;i<n;++i){if(i<4){cout<<"屬于子集s1的："<<endl;cout<<a[i]<<endl;}else{cout<<"屬于子集s2的："<<endl;cout<<a[i]<<endl;}} return0;}13.設(shè)a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一個(gè)排列，如果i<j且ai>aj，則序偶(ai,aj)稱為該排列的一個(gè)逆序。例如，2,3,1有兩個(gè)逆序：(3,1)和(2,1)。設(shè)計(jì)算法統(tǒng)計(jì)給定排列中含有逆序的個(gè)數(shù)。//用歸并進(jìn)行排序//當(dāng)一個(gè)子集的一個(gè)數(shù)大于第二個(gè)子集的一個(gè)數(shù)，為逆序，即a[i]>a[j]//則逆序數(shù)為end-j+1;#include<iostream>usingnamespacestd;intcount;voidMerge(inta[],inta1[],intbegin,intmid,intend)//合并子序列{inti=begin,j=mid+1,k=end;while(i<=mid&&j<=end){if(a[i]<=a[j]) a1[k++]=a[i++];//取a[i]和a[j]中較小者放入r1[k] else { a1[k++]=a[j++]; count+=(end-j+1); }}while(i<=mid) a1[k++]=a[i++];while(j<=end) a1[k++]=a[j++];}voidMergeSort(inta[],intbegin,intend){intmid,a1[1000];if(begin==end) return;else{ mid=(begin+end)/2;MergeSort(a,begin,mid); MergeSort(a,mid+1,end); Merge(a,a1,begin,mid,end); }}intmain(){ inta[6]={6,5,4,3,2,1}; count=0; MergeSort(a,0,6); cout<<count<<endl; return0;}14.循環(huán)賽日程安排問題。設(shè)有n=2k個(gè)選手要進(jìn)行網(wǎng)球循環(huán)賽，要求設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下要求的比賽日程表：（1）每個(gè)選手必須與其他n-1個(gè)選手各賽一次；（2）每個(gè)選手一天只能賽一次。采用分治方法。將2^k選手分為2^k-1兩組，采用遞歸方法，繼續(xù)進(jìn)行分組，直到只剩下2個(gè)選手時(shí)，然后進(jìn)行比賽，回溯就可以指定比賽日程表了15.格雷碼是一個(gè)長度為2n的序列，序列中無相同元素，且每個(gè)元素都是長度為n的二進(jìn)制位串，相鄰元素恰好只有1位不同。例如長度為23的格雷碼為(000,001,011,010,110,111,101,100)。設(shè)計(jì)分治算法對(duì)任意的n值構(gòu)造相應(yīng)的格雷碼。//構(gòu)造格雷碼#include<iostream>usingnamespacestd;intn;chara[100];voidgelei(intk){if(k==n){cout<<a<<endl; return;}gelei(k+1);a[k]='0'?'1':'0';//取反gelei(k+1);}intmain(){while(cin>>n&&n!=0){ memset(a,'0',sizeof(a));//初始化，全部置零a[n]='\0'; gelei(0); cout<<endl;}return0;}16.矩陣乘法。兩個(gè)n×n的矩陣X和Y的乘積得到另外一個(gè)n×n的矩陣Z，且Zij滿足（1≤i,j≤n），這個(gè)公式給出了運(yùn)行時(shí)間為O(n3)的算法。可以用分治法解決矩陣乘法問題，將矩陣X和Y都劃分成四個(gè)n/2×n/2的子塊，從而X和Y的乘積可以用這些子塊進(jìn)行表達(dá)，即從而得到分治算法：先遞歸地計(jì)算8個(gè)規(guī)模為n/2的矩陣乘積AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花費(fèi)O(n2)的時(shí)間完成加法運(yùn)算即可。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)分治算法實(shí)現(xiàn)矩陣乘法，并分析時(shí)間性能。能否再改進(jìn)這個(gè)分治算法習(xí)題5下面這個(gè)折半查找算法正確嗎如果正確，請(qǐng)給出算法的正確性證明，如果不正確，請(qǐng)說明產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。intBinSearch(intr[],intn,intk){intlow=0,high=n-1;intmid;while(low<=high){mid=(low+high)/2;if(k<r[mid]) high=mid;else if(k>r[mid])low=mid;elsereturnmid;}return0;}錯(cuò)誤。正確算法：intBinSearch1(intr[],intn,intk){intlow=0,high=n-1;intmid;while(low<=high){mid=(low+high)/2;if(k<r[mid]) high=mid-1;else if(k>r[mid])low=mid+1;elsereturnmid;}return0;}請(qǐng)寫出折半查找的遞歸算法，并分析時(shí)間性能。//折半查找的遞歸實(shí)現(xiàn)#include<iostream>usingnamespacestd;intdigui_search(inta[],intlow,inthigh,intx){if(low>high)return0;intmid=(low+high)/2;if(a[mid]==x)returnmid;elseif(a[mid]<x)digui_search(a,low,mid-1,x);elsedigui_search(a,mid+1,high,x);}intmain(){ inta[6]={0,1,2,9,5,3};intresult=digui_search(a,0,5,5);cout<<a[result]<<endl; return0;}修改折半查找算法使之能夠進(jìn)行范圍查找。所謂范圍查找是要找出在給定值a和b之間的所有元素（a≤b）修改第二題算法并實(shí)現(xiàn)：//折半查找算法使之能夠進(jìn)行范圍查找#include<iostream>usingnamespacestd;//折半進(jìn)行范圍查找函數(shù)：voiddigui_search(intmin,intmax,inta[],intlow,inthigh){intmid;mid=(low+high)/2;if(a[mid]<min)digui_search(min,max,a,mid,high);elseif(a[mid]>max)digui_search(min,max,a,low,mid);else{for(inti=mid;a[i]>=min&&i>=low;i--)cout<<a[i]<<""; cout<<endl;for(intj=mid+1;a[j]<=max&&j<=high;j++)cout<<a[j]<<""; cout<<endl;}}voidmain(){intr[6],min,max;cout<<"請(qǐng)輸入數(shù)組元素："<<endl;for(inti=0;i<6;i++)cin>>r[i];cout<<"請(qǐng)輸入查找范圍最小值min和最大值max："<<"";cin>>min>>max;digui_search(min,max,r,0,5);cout<<endl;}4.求兩個(gè)正整數(shù)m和n的最小公倍數(shù)。（提示：m和n的最小公倍數(shù)lcm(m,n)與m和n的最大公約數(shù)gcd(m,n)之間有如下關(guān)系：lcm(m,n)=m×n/gcd(m,n)）//求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(void){inta,b;inti=1;cin>>a>>b;while((i%a!=0)||(i%b!=0)) ++i;cout<<"a,b最小公倍數(shù)為："<<i<<endl;return0;}(該算法比較直接，要使其改進(jìn)，可用歐幾里得算法求得兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，然后套用上面的公式再求最小公倍數(shù))5.插入法調(diào)整堆。已知（k1,k2,…,kn）是堆，設(shè)計(jì)算法將（k1,k2,…,kn,kn+1）調(diào)整為堆（假設(shè)調(diào)整為大根堆）。參照：voidSiftHeap(intr[],intk,intn){inti,j,temp;i=k;j=2*i+1;//置i為要篩的結(jié)點(diǎn)，j為i的左孩子while(j<n)//篩選還沒有進(jìn)行到葉子{if(j<n-1&&r[j]<r[j+1])j++;//比較i的左右孩子，j為較大者 if(r[i]>r[j])//根結(jié)點(diǎn)已經(jīng)大于左右孩子中的較大者 break; else{ temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;//將被篩結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)j交換 i=j;j=2*i+1;//被篩結(jié)點(diǎn)位于原來結(jié)點(diǎn)j的位置 }}}進(jìn)行調(diào)堆！6.設(shè)計(jì)算法實(shí)現(xiàn)在大根堆中刪除一個(gè)元素，要求算法的時(shí)間復(fù)雜性為O(log2n)。//將要?jiǎng)h除的a[k]與最后一個(gè)元素a[n-1]交換//然后進(jìn)行調(diào)堆voidde_SiftHeap(intr[],intk,intn){inti,j,temp,temp1;i=k;j=2*i+1;if(i<0||i>n-1)returnerror;elseif(i==n-1)free(a[i]);else//置i為要篩的結(jié)點(diǎn)，j為i的左孩子while(j<n)//篩選還沒有進(jìn)行到葉子{temp1=a[i];//將a[n-1]與a[k]交換；a[i]=a[n-1];a[n-1]=temp1;if(j<n-1&&r[j]<r[j+1])j++;//比較i的左右孩子，j為較大者 if(r[i]>r[j])//根結(jié)點(diǎn)已經(jīng)大于左右孩子中的較大者 break; else{ temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;//將被篩結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)j交換 i=j;j=2*i+1;//被篩結(jié)點(diǎn)位于原來結(jié)點(diǎn)j的位置 }}}nm5065251301301226065203104010401208020803250圖5.15俄式乘法+7.計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)n和m的乘積有一個(gè)很有名的算法稱為俄式乘法，其思想是利用了一個(gè)規(guī)模是n的解和一個(gè)規(guī)模是n/2的解之間的關(guān)系：n×m＝n/2×2m（當(dāng)n是偶數(shù)）或：n×m＝(n-1)/2×2m＋nm5065251301301226065203104010401208020803250圖5.15俄式乘法+//俄式乘法#include<iostream>usingnamespacestd;intfun(intm,intn){intsum=0;inttemp=n;while(m!=1){if(m%2==0)//如果n是偶數(shù){n=n*2;m=m/2;}else//如果n是奇數(shù){n=n*2;sum+=temp;m=(m-1)/2;}temp=n;//記錄倒數(shù)第二個(gè)n的值}returnsum+n;}intmain(){inta,b;while(cin>>a>>b){cout<<fun(a,b)<<endl;}}8.拿子游戲?？紤]下面這個(gè)游戲：桌子上有一堆火柴，游戲開始時(shí)共有n根火柴，兩個(gè)玩家輪流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家為獲勝方。請(qǐng)為先走的玩家設(shè)計(jì)一個(gè)制勝的策略（如果該策略存在）。如果桌上有小于4根的火柴，先手必勝，如果是5根，先手必輸；依次類推，同理15、20、25…….都是必輸狀態(tài)；所有每次把對(duì)手逼到15、20、25…….等必輸狀態(tài)，就可以獲勝。9.競(jìng)賽樹是一棵完全二叉樹，它反映了一系列“淘汰賽”的結(jié)果：葉子代表參加比賽的n個(gè)選手，每個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)代表由該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)所代表的選手中的勝者，顯然，樹的根結(jié)點(diǎn)就代表了淘汰賽的冠軍。請(qǐng)回答下列問題：（1）這一系列的淘汰賽中比賽的總場(chǎng)數(shù)是多少（2）設(shè)計(jì)一個(gè)高效的算法，它能夠利用比賽中產(chǎn)生的信息確定亞軍。（1）因?yàn)閚人進(jìn)行淘汰賽，要淘汰n-1人，所有要進(jìn)行n-1場(chǎng)比賽。（2）10.在120枚外觀相同的硬幣中，有一枚是假幣，并且已知假幣與真幣的重量不同，但不知道假幣與真幣相比較輕還是較重?？梢酝ㄟ^一架天平來任意比較兩組硬幣，最壞情況下，能不能只比較5次就檢測(cè)出這枚假幣將120枚平均分為三組，記為：A，B，C；先將A,B比較，如果A,B重量不同（假如B