2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學理

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）

數(shù)學試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類）

滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦

干凈后，再選其他答案標號.

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

5.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1-z

2.”是“J—i〉。”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

3.已知lim（二一+竺二!0=2,則。=

msx-13x

A.—6B.2C.3D.6

4.（l+3x）"（其中且〃26）的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則『

A.6B.7C.8D.9

5.下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=|歷（2—幻|在其上為增函數(shù)的是

4~|「3

A.（-QO,1]B.—1,—C.0,—）D.[1,2）

6.若AABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足（a+b>-c?=4,且C=60°,則ab的值為

A.—B.8—4-^3C.1D.一

33

14

7.已知a>0,b>0,a+b=2,則丫=一+一的最小值是

ab

79

A.—B.4C.—D.5

22

8.在圓x2+y2—2x—6y=0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形

ABCD的面積為

A.572B.lOx/2C.1572D.20V2

9.高為它的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同

4

一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為

A.—B.—C.1D.V2

42

10.設(shè)m,k為整數(shù)，方程處2一辰+2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為

A.-8B.8C.12D.13

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上

11.在等差數(shù)列｛4｝中，q+%=37,則4+4+。6+4=

12.已知單位向量4,e2的夾角為6?！?，貝"儂一021=

13.將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率

14.已知sina=，+cosa,且ae(0,工］,則一事當—的值為________

2I2J.(7T\

sina——

I4j

15.設(shè)圓C位于拋物線j/=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C的半徑能取

到的最大值為

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

16.(本小題滿分13分)

設(shè)a￡R,/(x)=cossinx-cosx)+cos21］一1)滿足/(一()二/(0)，求函數(shù)

/(x)在［2,U］上的最大值和最小值.

424

17.（本小題滿分13分）（I）小問5分，（n）小問8分）

某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且

申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中：

（I）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；

（II）申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)J的分布列與期望

18.（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分.）

設(shè)/（幻=丁+如2+加+1的導數(shù)/（幻滿足/⑴=2”,/⑵=_），其中常數(shù)

（I）求曲線y=/（x）在點（1J⑴）處的切線方程；

(II)設(shè)g(x)=7'(x)er,求函數(shù)g(x)的極值.

19.（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.）

如題（19）圖，在四面體ABCD中，平面ABC，平面AC。，ABYBC,AD=CD,

ZCAD=30°.

（I）若AD=2,A3=23C,求四面體A3CO的體積；

（II）若二面角C-—O為60°,求異面直線AO與3c所成角的余弦值.

題（19）圖

20.(本小題滿分12分，(I)小問4分，(H)小問8分.)

,、*A/2

如題(20)圖，橢圓的中心為原點。,離心率e=——一條準線的方程為x=20.

2

(I)求該橢圓的標準方程；

UUUUUllUUUI

(H)設(shè)動點P滿足：OP=OM+2ON,其中是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率

之積為-g，問：是否存在兩個定點耳,6，使得|P￡|+|尸鳥|為定值？若存在，求百，居

的坐標；若不存在，說明理由.

題(20)圖

21.(本小題滿分12分,(I)小問5分，(II)小問7分)

設(shè)實數(shù)數(shù)列｛4｝的前n項和S“,滿足S?+1=an+iS?(n@N*)

(I)若-2〃2成等比數(shù)列，求和。3；

4

(H)求證：對々23有0?以+[?見(§

參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

1—5CADBD6—10ACBCD

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分25分.

nr11rz

11.7412.13.—14.--------15.\6-1

322

三、解答題：滿分75分.

16.(本題13分)

解：/(x)=6?sinxcosx-cos2x+sin2x

=—sin2x-cos2x.

2

由/(--)=f(0)W—,—+—=-1,角不得Q=2A/3.

3222

因此/(%)=\/3sin2x-cos2x=2sin(2x-—).

6

當XG亨g時,2尤-9G［y,1］,/(X)為增函數(shù),

當xw［J,粵］時,2x-Jw［g,亨］,/(x)為減函數(shù)，

324624

所以/(x)在［工,?。萆系淖畲笾禐閒(C)=2.

443

又因為/(g)=Gj(等)=收，

424

故/(x)在［2,?。萆系淖钚≈禐?(如)=V2.

42424

17.(本題13分)

解：這是等可能性事件的概率計算問題.

(I)解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式C：-22種，從

而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為

C："_8

34-27,

解法二：設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.

記“申請A片區(qū)房源”為事件A,則P(A)=1.

從而，由獨立重復試驗中事件A恰發(fā)生2次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概

率為

（II）&的所有可能值為1,2,3.又

'‘一，一y—27,

3=受寫2=熱或S=中喈

尸4=3）=^^=2（或尸?=3）=孚=&）.

349349

綜上知，&有分布列

€123

P1144

27279

從而有

14.465

EJ=lx—+2：<—+3x—=—.

2727927

8

解：(I)因/'(x)=V+6次~+灰+1,故/"(X)=+2ax+〃.

令x=1,彳W⑴=3+2a+b,

由已知/'⑴=2a,因此3+2a+匕=2。,解得人=-3.

又令x=2,得/⑵=12+4。+。,由已知廣⑵=—b,

一3

因此12+4。+Z?=—b,解得。——.

2

35

因此y(x)=x3——X2-3X+1,從何⑴=—不

3

又因為(⑴=2x(―1)=—3,故曲線y=/(幻在點(1J⑴)處的切線方程為

y-(-g)=-3(x-1),BP6x+2y-1=0.

(II)由⑴知g(x)=(3f—3x—3)H",

從而有g(shù)'(x)=(-3x2+9x)e-\

令g'(x)=0,得一3x?+9x=0,角星彳導百=0,x2=3.

當XE(YO,0)時,g'O)vO,故^(x)在(-oo,0)上為減函數(shù)；

當工￡(0,3)時,g'(x)>0,故g(x)在(0,3)上為增函數(shù)；

當天￡(3,+8)時，且'。)〈0,故且(%)在(3,+8)上為減函數(shù)；

從而函數(shù)g（x）g=0處取得極小值g（0）=—3,在々=3處取得極大值g⑶=15e-3.

19.（本題12分）

（I）解：如答（19）圖1,設(shè)F為AC的中點，由于AD=CD,所以DF_LAC.

故由平面ABCJ_平面ACD,知DF_L平面ABC,

即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30。=1,AF=ADcos30°=瓜

在RtAABC中，因AC=2AF=2g，AB=2BC,

由勾股定理易知BC=3叵,A8=生叵

55

故四面體ABCD的體積

答（19）圖1

3AAsc32555

（II）解法一：如答（19）圖1,設(shè)G,H分別為邊CD,BD的中點，則FG//AD,GH//BC,從

而NFGH是異面直線AD與BC所成的角或其補角.

設(shè)E為邊AB的中點，則EF〃BC,由AB_LBC,知EFJ_AB.又由（I）有DFJ_平面ABC,

故由三垂線定理知DELAB.

所以/DEF為二面角C—AB—D的平面角，由題設(shè)知NDEF=60°

設(shè)A。=。,則=A。與11。/1。=0.

2

kRAC"尸市FFnFfFFa扣拒

在AfAZ）￡F中,EF=DF?cotDEF=-------=——a,

236

從而GH==BC=EF=昱&

26

ElRtAADE^RtABDE,故BD=AD=n,從而，在RtzXBDF中，F(xiàn)H=-BD=-

22

又/G=LA。=g,從而在△FGH中，因FG=FH,由余弦定理得

22

FG2+GH2-FH2GH

cosFGH=

2FGGH~2TG

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為匚.

6

解法二：如答（19）圖2,過F作FM_LAC,交AB于M,己知AD=CD,

平面ABC,平面ACD,易知FC,FD,FM兩兩垂直，以F為原點，射線FM,FC,FD分別為

x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系F—xyz.

不妨設(shè)AD=2,由CD=AD,ZCAD=30°,易知點A,C,D的坐標分別為

A(0,-嶼,0),C(0,V3,0),0(0,0,1),

則A。=(0,6,1).

顯然向量左=(0,0,1)是平面ABC的法向量.

己知二面角c—AB—D為60°,

故可取平面ABD的單位法向量n=,

使得<n,k>-60，從而加=—.

2

由〃_LA￡),有+〃=0,從而m=---答（19）圖2

6

由尸+m2+H2=1,得/=

3

設(shè)點B的坐標為B（x,y,O）;由AB_LBC,〃_LAB,取/=?，有

f+/=3,4n

x=0,

爭一］(y+6)=0,解之得,（舍去）

y=-V3

易知/=一直與坐標系的建立方式不合，舍去.

3

,0）.所以。8=（逑，一會

因此點B的坐標為

從而

cos<AD,CB〉=ADCB=

皿即叼即1部6

V99

故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為

6

20.（本題12分）

解：（I）由e==立^，上=2母,

ale

解得a=2,c=叵,/=/一。2=2,故橢圓的標準方程為

（H）設(shè)P（x,y）,M（x”M）,N（X2，%），則由

OP=OM+2ON得

（蒼丁）=（石,凹）+2（%2，%）=。+2孫X+2%）,

即x=%]+2X2,y=x+2y2-

因為點M,N在橢圓￡+2；/=4上，所以

答（20）圖

x；+2y；=4芯+=4,

22

故x+2y=（x；+4考+4%々）+2（3+4貨+4y,y2）

=（x；+2y；）+4（考+2貨）+4（x^2+2y%）

=20+4（玉々+2弘為）-

設(shè)自”分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知

-koN==_：，因此玉%+2y%=°，

xxx22

所以f+2y2=20.

22

所以P點是橢圓■-+-L-=1上的點,設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1,F2，則由橢圓的

（2V5）2（V10）2

定義|PB|+|PF2|為定值，又因c=J（20"一（而尸=加,因此兩焦點的坐標為

耳（-Vi5,o），6G/i5,o）.

21.（本題12分）

（I）解：由題意4得s；=_2S2,

SS]ciy,

由S2是等比中項知§2#0.因此邑=-2.

由$2+生=§3=03s2解得

S,-22

a-,=—=-=------=—.

S2-1-2-13

（II）證法一：由題設(shè)條件有S,,+%+i=an+]Stl,

故S”。1，%+|。1且。"+|=<"],S"=-Sj",

S“-lan+l-1

從而對423有

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