棱柱棱錐的面積和體積

棱柱棱錐的面積和體積第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一棱柱的側(cè)面積和體積：S直棱柱側(cè)=ch,S斜棱柱側(cè)=c’l,V柱體＝Sh

hSLSS’第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一柱體體積公式的推導(dǎo)：等底面積等高的幾個(gè)柱體被平行于平面α的平面所截截面面積始終相等體積相等∵V長方體＝abc∴V柱體＝Sh

α第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。αh1S1h2S2hShS取任意兩個(gè)錐體，它們的底面積為S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面積始終相等＝兩個(gè)錐體體積相等第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS證明：取任意兩個(gè)錐體，設(shè)它們的底面積為S，高都是h。

把這兩個(gè)錐體放在同一個(gè)平面α上，這是它們的頂點(diǎn)都在和平面α平行的同一個(gè)平面內(nèi)，用平行于平面α的任一平面去截它們，截面分別與底面相似，設(shè)截面和頂點(diǎn)的距離分別是h1，截面面積分別是S1，S2根據(jù)祖搄原理，這兩個(gè)錐體的體積相等。第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一錐體的體積公式

定理三：如果一個(gè)錐體的底面積是S，高是h，那么它的體積是V錐體＝Sh第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一棱錐的側(cè)面積和體積1、正棱錐的側(cè)面積：S=ch’2、等底面積等高的兩個(gè)棱錐的體積相等。3、如果一個(gè)棱錐的底面積是S,高是h，那么它的體積是V錐體＝Sh第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例1：三棱柱的底面是邊長為5的等邊三角形，其中一條側(cè)棱與底面兩邊都成600的角，側(cè)棱長為4，求三棱柱的側(cè)面積。ABCA’B’C’第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例2.如圖是一石柱,石柱頂上部是一個(gè)正四棱錐,下部是一個(gè)正四棱柱.已知正四棱柱底面邊長0.5米,高1米,正四棱錐的高是0.3米.石料比重d為每一立方米2400千克.求這個(gè)石柱的重量.第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一解:V棱錐=V棱柱=所以石柱的重量

P=(V棱柱+V棱錐)×d=660(千克).0.5米1米0.3米第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例3.在三棱錐V-ABC中,AC=BC=13,AB=10，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角均為60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.O在三角形內(nèi)部。BACVEOFD(2)求：三棱錐的高.(3)求：三棱錐的體積.

(1)求證：O是△ABC的內(nèi)心.第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一OD為VD在平面ABC內(nèi)的射影,根據(jù)三垂線定理,得VD⊥AB.于是∠VDO為側(cè)面VAB與底面所成二面角的平面角，∠VDO=60o.同理∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）過O在平面ABC內(nèi)分別作AB、AC、BC的垂線,D、F、E為垂足.連結(jié)VD、VF、VE.AEOFDB因?yàn)閂O⊥平面ABC,OD⊥AB,顯然OD=OE=OF=VOctg60o,即點(diǎn)O到△ABC三邊距離相等.因此O是△ABC的內(nèi)心.第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一CVEOFDAB第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例4.已知正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角為120o,底面邊長a,求它的高、體積.ABCDSEO第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一ABCDSEO解：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)SO，則SO為正四棱錐的高.過B作BE⊥SC,E為垂足.連結(jié)DE,則∠DEB為二面角D-SC-B的平面角,所以DEB=120o.第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一ASBCDEO連結(jié)OE,第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例5.如圖三棱錐V-ABC中,D為BC上一點(diǎn),E為AV上一點(diǎn),BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱錐的體積.VABCDE第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一NEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一EVABCDBC=6,ED=4,AV=8.第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例6、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1B1上的點(diǎn),E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若點(diǎn)G在A1B1上滑動(dòng),H在C1D1上滑動(dòng),線段EF在AB上滑動(dòng),則VH-EFG的值有何變化?(2).若點(diǎn)G滑動(dòng)到B1,E、F滑動(dòng)到A、B點(diǎn),H滑動(dòng)到D1點(diǎn),則VH-EFG體積為多少?ABCDA1B1C1D1GHEF第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一ADBCE

θ

證明：在平面BCD內(nèi)，作DE⊥BC，垂足為E，連接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根據(jù)三垂線定理，AE⊥BC。

∴∠AED＝θ。例7：已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθ＝S△ABC

·ADcosθ＝×BC·AEcosθ·ADV三棱錐＝S△BCD·AD＝×BC·DE·AD第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例8：已知:三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

問題1、ADcosθ有什么幾何意義？

F

結(jié)論：V三棱錐＝S△ABC·DF

第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例9、已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

結(jié)論：V三棱錐＝VC-AED＋VB-AED

問題2、解答過程中的×BC·AEcosθ·AD其中AEcosθ·AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE與CE都垂直平面AED，故BE、CE分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。

分析：第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)1：將長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)三棱錐，這個(gè)三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？（請(qǐng)列出三棱錐體積表達(dá)式）ABCDA’C’B’D’問題1、你能有幾種解法？

問題2、如果這是一個(gè)平行六面體呢？或者四棱柱呢？第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)2:從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去四個(gè)三棱錐，得到一個(gè)正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？C

DAB

問題2、如果改為求棱長為a的正四面體A-BCD的體積。你能有幾種解法？問題1、你能有幾種解法？解一、補(bǔ)形，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體。解二、利用體積公式V四面體＝S△BCD·h

解三、將四面體分割為三棱錐C-ABE和三棱錐D-ABEE第25頁，共26頁，202