4-5-第一講不等式和絕對(duì)值不等式-二絕對(duì)值不等式-絕對(duì)值三角不等式優(yōu)秀

1.絕對(duì)值三角不等式(1)絕對(duì)值三角不等式的探究研究絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)絕對(duì)值和兩個(gè)實(shí)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義，正如教科書(shū)指出的，可以把“距離大小”作為解決絕對(duì)值不等式的基本出發(fā)點(diǎn).教科書(shū)利用“思考”向?qū)W生提出猜想絕對(duì)值不等式性質(zhì)的任務(wù)，這樣做主要是為了解決性質(zhì)的來(lái)源問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)提出問(wèn)題的方法.實(shí)際上，數(shù)有了運(yùn)算才變化無(wú)窮、力量無(wú)限，因此從運(yùn)算的角度考察絕對(duì)值不等式是一個(gè)非常自然的想法.關(guān)于這一點(diǎn)，以往的教科書(shū)中很少涉及，希望老師能夠給予關(guān)注.從運(yùn)算的角度看，最簡(jiǎn)單的當(dāng)然是關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，的絕對(duì)值，及其加減運(yùn)算結(jié)果，的大小關(guān)系問(wèn)題，教科書(shū)通過(guò)“探究”引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸研究與，之間的關(guān)系.教學(xué)中可以先讓學(xué)生自己在數(shù)軸上表示出，和，這時(shí)自然會(huì)出現(xiàn)按照，的符號(hào)分類討論的需要，再引導(dǎo)學(xué)生分析如何分類才能對(duì)，，三者的關(guān)系進(jìn)行不重不漏的討論，最后得出分>O，<0,=0三種情況進(jìn)行討論的結(jié)果：從數(shù)軸上可直觀地看到，當(dāng)b≥0時(shí)，=+；當(dāng)<O時(shí)，<+，從而對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，都有≤+.通過(guò)這個(gè)探究過(guò)程，得到了絕對(duì)值三角不等式≤+，同時(shí)這也是該不等式的一種幾何證法.把關(guān)于實(shí)數(shù)的絕對(duì)值三角不等式推廣到平面上，就是關(guān)于向量的絕對(duì)值三角不等式.關(guān)于向量的不等式≤+可以看成絕對(duì)值三角不等式的一種幾何背景.實(shí)際上，用向量，替換實(shí)數(shù)，時(shí)，問(wèn)題就從一維擴(kuò)展到二維.當(dāng)向量，不共線時(shí)，十b，，構(gòu)成三角形，有<+，當(dāng)向量，共線時(shí)，，同向(相當(dāng)于≥0)時(shí)，=+；，異向(相當(dāng)于<0時(shí)，<+.為了使學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)絕對(duì)值三角不等式，使學(xué)生熟悉絕對(duì)值不等式的證明方法，同時(shí)也為了數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性，教科書(shū)進(jìn)一步給出了它的代數(shù)證明.這個(gè)證明的基本思想是借助于恒等式=()和=，將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問(wèn)題，通過(guò)“放縮法”達(dá)到證明的目的.其難點(diǎn)是“分類討論”思想和“放縮法”的應(yīng)用.教學(xué)中要提醒學(xué)生注意這個(gè)證明中體現(xiàn)的思想方法.從上面的介紹可以看到，教科書(shū)先利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生猜想出絕對(duì)值三角不等式，再借助向量知識(shí)給出不等式的幾何意義.最后再?gòu)拇鷶?shù)推理的角度給出嚴(yán)格的證明，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了“聯(lián)系”的思想，使學(xué)生有機(jī)會(huì)從多種角度觀察、研究同一個(gè)問(wèn)題.這對(duì)學(xué)生理解和掌握絕對(duì)值三角不等式是非常有利的.教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地提醒學(xué)生注意“聯(lián)系”的思想，以使他們逐步養(yǎng)成用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問(wèn)題的習(xí)慣.關(guān)于絕對(duì)值的常用不等式，除了以上最基本的絕對(duì)值三角不等式外，還有另外的幾個(gè)重要不等式.為此，教科書(shū)安排了一個(gè)“探究”，讓學(xué)生自己思考，，，等之間的其他關(guān)系.教學(xué)中可以讓學(xué)生模仿上述不等式的得出和證明過(guò)程，通過(guò)自主探究獲得結(jié)論和證明，實(shí)際上，對(duì)于實(shí)數(shù)，，≤≤+.教科書(shū)指出，關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式是最基本、最重要的.在這個(gè)基礎(chǔ)上，用完全同樣的方法，就可以討論涉及多個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式，例如定理2可以用定理1加以證明，實(shí)際上定理2就是定理1的一般化.因?yàn)槎ɡ?可以看作是定理2中＝O時(shí)的特例.從幾何角度看，定理2與定理l的關(guān)系則是一個(gè)“平移變換”(將原點(diǎn)平移到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)).(2)例題的教學(xué)建議例1是絕對(duì)值三角不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，只要對(duì)不等式稍作變形，就可以應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式，可以由學(xué)生獨(dú)立完成.例2是絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用題.首先把實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸結(jié)為求解形如y=+的函數(shù)的極值問(wèn)題，這類問(wèn)題借助于絕對(duì)值三角不等式可以得到比較容易的解答.教科書(shū)在得出答案后，進(jìn)一步用函數(shù)圖像進(jìn)行了直觀解釋，實(shí)際上，也可以借助數(shù)軸給出解釋：當(dāng)10≤≤20時(shí)，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到10，20對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為常數(shù)10；取其他值時(shí)，這個(gè)距離之和都大于10.實(shí)際上這就是例5的思想方法.關(guān)于絕對(duì)值三角不等式，推廣到一般情形就是：如果都是實(shí)數(shù)，那么≤++…當(dāng)且僅當(dāng)都是非正(負(fù))數(shù)時(shí)取等號(hào).以上結(jié)論，在涉及多個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)是非常有用的，例如，在求形如y=++函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，就可以直接應(yīng)用以上不等式得到結(jié)果.(3)教學(xué)中，可以結(jié)合教學(xué)適當(dāng)復(fù)習(xí)關(guān)于絕對(duì)值的以下一些基本性質(zhì)：A，當(dāng)>O時(shí)，①=0，